《直角三角形的判定》典型例题
直角三角形全等的判定
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定 全等.
证明:只要举一个反例即可.如图:
B B′ B′
A
●
C A′ (1)
●
(2)
C′A′
●
(3) C′
因此,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不 一定全等. 切记!!! 两边及其中一边的对角对应相等的两个三 角形不一定全等. 即(SSA)是一个假冒产品!!!
B
B′
C
A C′
A′
直角三角形全等的判定定理
定理:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等(斜边,直角边或HL).
如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 , ∵ AC=A′C ′
AB=A′B′
B
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
B′
C
A C′
A′
知识在于积累
回味无穷
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之于人. • 证明的规范性在于：条理清晰，因果 相应,言必有据.这是初学证明者谨记 和遵循的原则.
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有生死离别，但也充满了坑坑坎坎。从女儿的出生、送人到今天的相聚，一幕幕场景在脑海中浮现„„人有悲欢离合， 月有阴晴圆缺，此事古难全。想着想着，渐渐地进入了梦乡。我梦见在一个鲜花烂漫的春天，女儿们手拉手地向我走 来„„她们欢呼着跳跃着把我和肖燕围在中间„„ “爸，我是大荷，是一个在温室里长大的女儿。我的人生没有经过 任何分吹雨打，一路从幸福中走来。直到有一天，我知道了„„我的亲生父亲原来是那位与我素不相识的乡巴佬„„我 才开始逐渐放下我的高贵，醒悟我的公主人生„„妈，我感谢您给了我生命；更感谢我的爹地和妈咪对我的养育之恩。 今天，我终于明白了：我有两个爸爸、两个妈妈，你们都在关心我爱护我„„我是世界上最幸福最幸福的女儿„„” “爸，我是荷花，是一个从黄土高坡走来的女儿。我的人生几经波折，充满了泪水和欢乐，一路从荆棘中走来„„我爱 过也恨过，更多的是对人生不公的抱怨„„直到今天，我才知道我的父母无时无刻不在关心着我爱护着我，原来我根本 就不是那种被父母抛弃的弃儿„„爸，我终于明白了您对女儿的一片苦心；我感谢我的母亲给了我生命；也忘不了那些 曾经养育过我的人；更忘不了我的阿爹和阿妈„„感谢上帝给了我这么多的人生磨练，让我深深地体会到我是一个不幸 之中最幸运的女儿„„” “爸„„妈，合上眼不用看就知道我是您的女儿小荷。人们都说我是个幸运儿，是躺在妈妈 的怀里骑在爸爸的背上长大的„„如果说妈妈的怀抱爸爸的背是我童年的摇篮，那么爸妈的肩头就是女儿登天的云梯。 直到今天，我才知道„„爸妈把所有的付出所有的爱都给与了我一个人，我就是爸妈的唯一„„如果不是为了我，我坚 信我的人生会彻底改写，我的爸妈也绝对不是现在的样子，也许您就是某一家国有企业的老板或者拥有自己的公司„„ 然而，您现在却什么也没有，除了老人和孩子„„但是，在女儿的心里你们才是世界上最伟大的父母！是世界上最富有 的人!爸„„妈，如果人生真的有来世，我一定还做您的女儿！”„„„„深夜，万籁俱静，我独自一人思前想后，一 个念头跳入我的脑际，如果能把我过去的一切写下来，不也是一件很有意义的事情吗？于是，我写下了这部不成文的东 西，自名为《把往事写下来》，把它留给我的儿女们，让他们自己去品尝去回味„„这样，也总算是了却了我人生的一 件心事。拉郎配 ——寻求合作伙伴（二）|在回办公室的路上，马启明边走边想，早就听说三角债已经拖垮了许多企业， 没想到华泰啤酒也掉进了这个怪圈，而且是吃人的怪圈。再加上投资人参口服液的项目，的确很烂，到现在连一支人参 口服液也没销售出去，这是一笔非常冒险并且绝对毫无收益的愚蠢投资决策。投资失误！雪上
《直角三角形的判定》综合练习
直角三角形的判定1．假设△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，则△ABC是______三角形，_____=90°，这个定理叫做_______．2．一个命题成立，那么它的逆命题_______成立．◆课堂测控1．已知△ABC的三边长a，b，c分别为6，8，10，则△ABC______（•填“是”或“不是”）直角三角形．2．△ABC中，AB=7，AC=24，BC=25，则∠A=______．3．△ABC的三边分别为以下各组值，其中不是直角三角形三边的是（）A．a=41，b=40，c=9 B．a=1.2，b=1.6，c=2C．a=12，b=13，c=14D．a=35，b=45，c=14．（分析判断题）在解答“判断由长为65，2，85的线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中，小明是这样做的：解：设a=65，b=2，c=85．因为a2+b2=（65）2+22=136642525=c2．所以由a，b，c组成的三角形不是直角三角形，你认为小明的解答准确吗？•请说明理由．测试点二逆命题与逆定理5．以下各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？（1）内错角相等，两直线平行；（2）对顶角相等；（3）全等三角形的对应角相等；（4）假设两个实数相等，那么它们的绝对值相等．◆课后测控1．以以下数组为三角形的边长：（1）5，12，13；（2）10，12，13；（3）7，24，25；（4）6，8，10，其中能构成直角三角形的有（）A．4组B．3组C．2组D．1组2．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中准确的是（）3．以下命题中，真命题是（）A．假设三角形三个角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形B．假设直角三角形两直角边的长分别为a和b，那么斜边的长为a2+b2 C．若三角形三边长的比为1：2：3，则这个三角形是直角三角形D．假设直角三角形两直角边分别为a和b，斜边为c，那斜边上的高h的长为ab c4．以下命题的逆命题是真命题的是（）A．若a=b，则a2=b2B．全等三角形的周长相等C．若a=0，则ab=0 D．有两边相等的三角形是等腰三角形5．△ABC中，BC=n2－1，AC=2n，AB=n2+1（n>1），则这个三角形是______．6．假设三角形的三边长为1.5，2，2.5，那么这个三角形最短边上的高为______．7．A，B，C三地的位置及两两之间的距离如下列图，则点C•在点B•的方位是_____．8．如下列图，四边形ABCD中，BA⊥DA，AB=2，AD=23，CD=3，BC=5，求∠ADC的度数．9．写出以下命题的逆命题，并判断真假．（1）假设a=0，那么ab=0；（2）假设x=4，那么x2=16；（3）面积相等的三角形是全等三角形；（4）假设三角形有一个内角是钝角，则其余两个角是锐角；（5）在一个三角形中，等角对等边．10．如下列图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，假设同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？◆拓展创新11．能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，•观察以下表格所给出的三个数a，b，c，a<b<c．（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论．（2）写出当a=17时，b，c的值．参考答案回顾归纳3，4，5 32+42=52 5，12，13 52+122=132 7，24，25 72+242=252 9，40，41 92+402=412……17，b，c 172+b2=c21．直角，∠C，勾股定理的逆定理2．不一定课堂测控1．是2．90°点拨：BC2=AB2+AC23．C 点拨：计算两短边的平方和与最长边的平方比较．4．不准确．因为65<2，85<2，且（65）2+（85）2=22，即a2+c2=b2，所以此三角形为直角三角形．5．（1）两直线平行，内错角相等．成立．（2）假设两个角相等，那么它们是对顶角，不成立．（3）假设两个三角形的对应角相等，则它们全等．不成立．（4）假设两个实数的绝对值相等，那么它们相等，不成立．课后测控1．B 点拨：有（1）（3）（4）三组．2．C 3．D 4．D5．直角三角形点拨：BC2+AC2=AB2．6．6 57．正南方向8．∵AB⊥AD，AB=2，∴，∴AB=12BD，∠ADB=30°，∵BD2+DC2=42+32=52，∴BD2+DC2=BC2．∴∠BDC=90°，∴∠ADC=120°．9．（1）的逆命题是：假设ab=0，那么a=0，它是一个假命题．（2）的逆命题是：假设x2=16，那么x=4，它是一个假命题．（3）的逆命题是：全等三角形的面积相等．它是一个真命题．（4）的逆命题是：假设三角形有两个内角是锐角，那么另一个内角是钝角，它是一个假命题．（5）的逆命题是：在一个三角形中，等边对等角，它是一个真命题．10．先求AB=9，BC=12，AC=15，由AB 2+BC 2=AC 2可得△ABC 是直角三角形．所以S △PBQ =12BP·BQ=12×（9－3）×6=18cm 2． 拓展创新11．（1）以上各组数的共同点能够从以下方面分析：①以上各组数均满足a 2+b 2=c 2；②最小的数（a ）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：设m 为大于1的奇数，将m 2拆分为两个连续的整数之和，即m 2=n+（n+1）， 则m ，n ，n+1就构成一组简单的勾股数．证明：∵m 2=n+（n+1）（m 为大于1的奇数），∴m 2+n 2=2n+1+n 2=（n+1）2，∴m ，n ，（n+1）是一组勾股数．（2）使用以上结论，当a=17时，∵172=289=144+145，∴b=144，c=145．。
《直角三角形的性质和判定1》ppt课件
小结与复习
1.本节课我们学习了哪些内容?
1：直角三角形两锐角互余；
直角三角形的性质：
2：在直角三角形中，斜边上的中线等于 斜边的一半；
……
1：有一个角内角等于90°的三角形是直角 三角形。 2：三角形一边上的中线等于这条边的一半 的三角形是直角三角形； 3：有两个角互余的三角形是直角三角形；
直角三角形的判定：
A 提示：延长CD，使得CD=DE, 连结BE, 先证△ACD≌ △BED， 然后证△ACB≌ △EBC，得 1 AB=CE，最后说明 CD AB
2
D
B
E
例1 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半， 求证：这个三角形是直角三角形.
如图，已知：CD是△ABC的AB 1 CD AB 边上的中线，且 2 求证： △ABC是直角三角形.
结论
直角三角形的判定定理：
三角形一边上的中线等于这条边的一半的 三角形是直角三角形.
例2：如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中 点，试判断DE与CE是否相等，并说明理由。
D C
A
E
B
变式训练．已知，如图， BD 、 CE 分别是△ ABC 的高， M、N分别是BC、DE的中点，分别连结ME，MD。 求证：MN⊥ED
A
E
F
D
C
思考与探究：
如图，已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是AB上 的中点，CH⊥AB于H，CD平分∠ACB （1） 求证：∠1=∠2 （2） 过点M作AB的垂直平分线交CD延长线于 E， 求证：CM=EM （3） △AEB是什么三角形？证明你的猜想
C
21
H A M D B
E
我们的生活离不开数学， 我们要做生活的有心人。
2022年《直角三角形全等的判定》专题练习(附答案)
1.3 直角三角形全等的判定一、选择题(本大题共8小题)1. 在以下条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )2. 如下图,AB=CD,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,AE=CF,那么图中全等的三角形有( )第2题图第5题图第6题图3.以下说法中正确的选项是〔〕A．a，b，c是三角形的三边长，那么a2+b2=c2B．在直角三角形中，两边长和的平方等于第三边长的平方C．在Rt△ABC中，假设∠C=90°，那么三角形对应的三边满足a2+b2=c2D．在Rt△ABC中，假设∠A=90°，那么三角形对应的三边满足a2+b2=c24. 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′，AB=B′A，那么以下结论中正确的选项是〔〕A. AC=A′C′B.BC=B′C′C.AC=B′C′D.∠A=∠A′5. 如下图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交D点，E、F分别是DB、DC的中点，那么图中全等三角形的对数是〔〕6. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，那么△BCE的面积等于〔〕A．10 B．7 C．5 D． 47. 在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,那么以下条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF8. 如图,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC交AB于点E,那么有( )A.DE=DBB.DE=AEC.AE=BED.AE=BD第8题图第9题图二、填空题(本大题共4小题)9. ：如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AE=DF，AB=DC，那么△ABE≌△__________.10. 如图,BD⊥AE于点B,C是BD上一点,且BC=BE,要使Rt△ABC≌Rt△DBE,应补充的条件是∠A=∠D或__________或__________或__________.第10题图第11题图11. 如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，假设根据“HL〞判定，还需要加一个条件__________.12. ：如图，AB=CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF，∠D=60°，那么∠A=__________.三、计算题(本大题共4小题)13. ：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE求证：OB=OC.14. ：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE15. 如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：〔1〕CF=EB．〔2〕AB=AF+2EB．16. 如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF.(1)求证：BF=2AE;(2)假设CD=2，求AD的长.参考答案：一、选择题(本大题共8小题)1.A2. D3. C4. C5. D6. B7. B8. C二、填空题(本大题共6小题)9.分析：根据直角三角形全等的条件HL判定即可。
有答案-直角三角形全等判定(基础)知识讲解
有答案-直角三角形全等判定(基础)知识讲解本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March直角三角形全等判定要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS ”，“ASA ”或“SAS ”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、 已知：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ．求证：（1）AB ＝CD ：（2）AD ∥BC ．【思路点拨】先由“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △CDB ，再由内错角相等证两直线平行.【答案与解析】证明：（1）∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠CDB ＝90°在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，AD BC BD DB⎧⎨=⎩＝∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB ＝∠CBD∴AD ∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．【答案】证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴∠DAE ＝∠CBA ＝90°在Rt △DAE 与Rt △CBA 中，ED AC AE AB ⎧⎨⎩＝＝，∴Rt △DAE ≌Rt △CBA （HL ）∴∠E ＝∠CAB∵∠CAB ＋∠EAF ＝90°，∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°即ED ⊥AC ．2、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）（2）一个锐角和斜边对应相等； （ ）（3）两直角边对应相等； （ ）（4）一条直角边和斜边对应相等． （ ）【答案】（1）全等，“AAS ”；（2）全等，“AAS ”；（3）全等，“SAS ”；（4）全等，“HL ”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（ ）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC 和△DBC 中，AB ＝DB ，AE 和DF 是其中一边上的高，AE ＝DF（3）×. 在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AD ＝AC ，AE 为第三边上的高，3、已知：如图，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ．求证：AD ＝BC ；【答案与解析】证明：连接DC∵AD ⊥AC ，BC ⊥BD∴∠DAC ＝∠CBD ＝90°在Rt △ADC 与Rt △BCD 中，DC CD AC BD=⎧⎨⎩＝∴Rt △ADC ≌Rt △BCD （HL ）∴AD ＝BC .（全等三角形对应边相等）【变式】已知，如图，AC 、BD 相交于O ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90° .求证：OC ＝OD.【答案】∵∠C ＝∠D ＝90°∴△ABD 、△ACB 为直角三角形在Rt △ABD 和Rt △BAC 中AB BA BD AC =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △BAC(HL)∴AD ＝BC在△AOD 和△BOC 中D C AOD BOC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD ≌△BOC(AAS)∴OD ＝OC ．4、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.【答案与解析】解：全等三角形为：△ACD ≌△CBE.证明：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE在△ACD 与△CBE 中，90ADC CEB CAD BCEAC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△CBE （AAS ）.【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.【巩固练习】一、选择题1．下列说法正确的是 （ ）A ．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B ．斜边相等的两个直角三角形全等C ．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D ．一边长相等的两等腰直角三角形全等2．如图，AB ＝AC ，AD ⊥ BC 于D ，E 、F 为AD 上的点，则图中共有（ ）对全等三角形．A ．3B ．4C ．5D ．63. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A.斜边相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等4. 在Rt △ABC 与Rt △'''A B C 中, ∠C ＝ ∠'C ＝ 90, A ＝ ∠'B , AB ＝''A B , 那么下列结论中正确的是( ) A. AC ＝ ''A C ＝ ''B C C. AC ＝ ''B C D. ∠A ＝ ∠'A5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ）A ．形状相同B ．周长相等C ．面积相等D ．全等6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（ ）A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二、填空题7．如图，BE ，CD 是△ABC 的高，且BD ＝EC ，判定△BCD ≌△CBE 的依据是“______”．8. 已知，如图，∠A ＝∠D ＝90°，BE ＝CF ，AC ＝DE ，则△ABC ≌_______.9. 如图，BA ∥DC ，∠A ＝90°，AB ＝CE ，BC ＝ED ，则AC ＝_________.10. 如图，已知AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，EC ⊥AC ，AC ＝EC ，若DE ＝2，AB ＝4，则DB ＝______.11．有两个长度相同的滑梯，即BC ＝EF ，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯的水平方向的长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝________．12. 如图，已知AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且BF ＝AC ，FD ＝CD.则∠BAD ＝_______.三、解答题13. 如图，工人师傅要在墙壁的O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B 点处打开，墙壁厚是35cm ，B点与O 点的铅直距离AB 长是20cm ，工人师傅在旁边墙上与AO 水平的线上截取OC ＝35cm ，画CD ⊥OC ，使CD ＝20cm ，连接OD ，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从B 点处打出，这是什么道理呢请你说出理由．13.【解析】解：在Rt △AOB 与Rt △COD 中，(3590AOB COD AO CO A C ∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠=︒⎩对顶角相等） ∴Rt △AOB ≌Rt △COD （ASA ） ∴AB ＝CD ＝20cm14. 如图，已知AB ⊥BC 于B ，EF ⊥AC 于G ，DF ⊥BC 于D ，BC ＝DF. 求证：AC ＝EF.证明：由EF ⊥AC 于G ，DF ⊥BC 于D ，AC 和DF 相交，可得：∠F ＋∠FED ＝∠C ＋∠FED ＝90°即 ∠C ＝∠F （同角或等角的余角相等），在Rt △ABC 与Rt △EDF 中B EDF BC DF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△EDF （ASA ），∴AC ＝EF （全等三角形的对应边相等）.15. 如图，已知AB ＝AC ，AE ＝AF ，AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，垂足分别是点E 、F.求证：∠1＝∠ 2.证明：∵AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，∴△AEC 、△AFB 为直角三角形在Rt △AEC 与Rt △AFB 中AB AC AE AF⎧⎨⎩＝＝∴Rt △AEC ≌Rt △AFB （HL ）∴∠EAC ＝∠FAB∴∠EAC －∠BAC ＝∠FAB －∠BAC ，即∠1＝∠2.【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C ； 【解析】等腰直角三角形确定了两个锐角是45°，可由AAS 定理证明全等.2. 【答案】D ；【解析】△ABD ≌△ACD ；△ABF ≌△ACF ；△ABE ≌△ACE ；△EBF ≌△ECF ；△EBD ≌△ECD ；△FBD ≌△FCD.3. 【答案】D ；4. 【答案】C ；【解析】注意看清对应顶点，A 对应'B ，B 对应'A .5. 【答案】C ；【解析】等底等高的两个三角形面积相等.6. 【答案】C ；【解析】如果这对角不是直角，那么全等，如果这对角是直角，那么不全等.二、填空题7. 【答案】HL ；8. 【答案】△DFE9. 【答案】CD ；【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △CDE.10.【答案】6；【解析】DB ＝DC ＋CB ＝AB ＋ED ＝4＋2＝6；11.【答案】90°；【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △DEF ，∠BCA ＝∠DFE.12.【答案】45°；【解析】证△ADC 与△BDF 全等，AD ＝BD ，△ABD 为等腰直角三角形.。
三角形全等的判定(含例题)
1．判定两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS）（1）基本事实：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“__________”或“SSS”．（2）这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因．2．判定两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS）（1）基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“__________”．（2）此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．【注意】（1）此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等．（2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件．3．判定两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA）（1）基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“__________”．（2）用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识．4．判定两个三角形全等的基本事实：角角边（AAS）（1）基本事实：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“__________”．（2）这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等．5．直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边（HL）（1）基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“________”．（2）“HL ”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立． 【归纳】判定两个三角形全等常用的思路方法如下： HL SAS SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎩一直角边一斜边—已知两边找夹角—找另一边—边为角的对边—找任一角—找夹角的另一边—已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角—找边的对角—找夹边—已知两角找任一角的对边—K 知识参考答案：1．（1）边边边2．（1）SAS 3．（1）ASA4．（1）AAS5．（1）HLK —重点 三角形全等的判定K —难点 三角形全等的判定和性质的综合运用 K —易错三角形全等的判定一、用边边边（SSS ）证明三角形全等明确要证明全等的两个三角形，在书写两个三角形全等时，“≌”左边三角形的三边与“≌”右边三角形的三边的前后顺序要保持一致．【例1】如图，ABC △中，AB AC =，EB EC =，则由“SSS ”可判定A ．ABD △≌ACD △B ．ABE △≌ACE △△D．以上答案都不对C．BDE△≌CDE【答案】B二、用边角边（SAS）证明三角形全等此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．【例2】如图，AB=AC，添加下列条件，能用SAS判断△ABE≌△ACD的是A．∠B=∠C B．∠AEB=∠ADC C．AE=AD D．BE=DC【答案】C【解析】∵AB=AC（已知），∠A=∠A（公共角），∴只需要AE=AD，∴△ABE≌△ACD，故选C．三、用角边角、角角边（ASA、AAS）证明三角形全等1．不能说“有两角和一边分别相等的两个三角形全等”，这是因为：假设这条边是两角的夹边，则根据角边角可知正确；假设一个三角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全等．2．有三个角对应相等的两个三角形不一定全等．【例3】如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长，就得出AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是A．SSS B．SASC．SAA D．ASA【答案】D【解析】∵BF⊥AB，DE⊥BD，∴∠ABC=∠BDE．又∵CD=BC，∠ACB=∠DCE，∴△EDC≌△ABC（ASA）．故选D．【例4】如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠A=∠D，BF=EC，AB∥DE，若∠1=80°，求∠BFD 的度数．四、用斜边、直角边（HL）证明直角三角形全等1．当证明两个直角三角形全等时，若不适合应用“HL”，也可考虑用“SAS”“ASA”或“AAS”来证明．2．在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可，在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法．【例5】如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌△Rt△DCF，则还需要添加一个条件是A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC【答案】D五、全等三角形的判定和性质的综合寻找解决问题的思路方法可以从求证的结论出发，结合已知条件，逐步寻求解决问题所需要的条件．同时要注意对图形本身隐含条件的挖掘，如对顶角、公共角、公共边等．【例6】如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为A．50°B．30°C．80°D．100°【答案】B【解析】∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB（SAS），∴∠D=∠B=30°．故选B．【例7】如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC．求证：BC=AD．【解析】∵∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC，∴∠DAB=∠CBA．在△ADB与△BCA中，CAB DBA AB ABDAB CBA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADB≌△BCA（ASA），∴BC=AD．。
勾股定理及直角三角形的判定
勾股定理及直角三角形的判定知识要点分析1、勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的验证勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。
我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。
另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。
3、如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。
其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。
我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。
4、勾股数满足条件a2+b2=c2的三个正整数a、b、c称为勾股数。
友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。
【典型例题】考点一：勾股定理例1：在△ABC中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c=__________；（2）若a=6，c=10，则b=__________；（3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________.例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。
解：考点二：勾股定理的验证例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2）是以c为直角边的等腰三角形。
请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
专题12.2 三角形全等的判定(解析版)
专题12.2 三角形全等的判定全等三角形的判定定理（1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.（2）边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（3）角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.（4）角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（5）斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （只适用两个直角三角形）【例题1】如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD【答案】D．【解析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．∵AB=AC，∠A为公共角，A．如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；B．如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；C．如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；D．如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．【点拨】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．【例题2】如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．【答案】见解析。
【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，在△ADF和△BCE中，，∴△ADF≌△BCE（SAS），∴AF＝CE．【点拨】由SAS证明△ADF≌△BCE，即可得出AF＝CE．【例题3】如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．【答案】见解析。
直角三角形全等的判定_典型例题
典型例题直角三角形全等的判定例1：求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。
分析：首先要分清题设和结论，然后按要求画出图形，根据题意写出、已知求证后，再写出证明过程。
已知：如图1，在Rt△ABC、Rt△中，∠ACB=∠=Rt∠，BC=，CD⊥AB于D，⊥于，D=求证：Rt△ABC≌Rt△证明：在Rt△CDB和Rt△中∵∴Rt△CDB≌Rt△（HL）由此得∠B=∠在Rt△ABC与Rt△△中∵∴Rt△ABD≌△（ASA）说明：文字证明题的书写格式要标准。
例2 ：如图2，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F.求证：BE＝CF分析： BE和CF分别在△BDE和△CDF中，由条件不能直接证其全等，但可先证明△AED≌△AFD，由此得到DE＝DF证明：（略）说明：本题容易误认为AD⊥BC。
根据图形的直观“好象相等”或“好象垂直”要避免这种错误，要把“好象”变为确定。
例3：如图3，已知△ABC中，∠BAC＝，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：（1） BD＝DE+CE（2）若直线AE绕A点旋转到图4位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何，请证明；（3）若直线AE绕A点旋转到图5时（BD＞CE），其余条件不变，BD与DE、CE的关系怎样？请直接写出结果，不须证明归纳（1）、（2）、（3），请用简捷的语言表述BD、DE、CE的关系。
分析：（1）由已知出发容易得到：BD＝AE，再分析观察AE＝AD+DE又易证AD＝EC。
（2）猜想规律，再运用几何知识证明。
解：（1）略（2）BD＝DE－CE（3）BD＝DE－CE（4）结论：当B、C在异侧时，BD＝DE+CE；当B、C在同侧时，BD＝DE－CE说明：本题是阅读理解题，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法和思想。
浙教版八年级数学上册 第二章《特殊三角形》专题提升直角三角形的判定与性质
2020学年浙教版第二章《特殊三角形》专题提升：直角三角形的判定与性质专题一：直角三角形的性质例1：如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，D是AB上的一点，过点D作DE⊥AB，交BC于点F，交AC的延长线于点E，连结CD，∠DCA= ∠DAC.有下列结论:①∠DCB= ∠B；②CD= 12AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E= 30°，则DE= EF+ CF.其中正确的是 _________ （填序号）.变式1 - 1 如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1= 6，S3= 15，则S2 = _________ .变式1 - 2 在△ABC中，AB =8，BC = 1，∠ABC = 45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD = 90°，连结CD，则线段CD的长为 _________ .专题二：直角三角形的判定例2：如图，AD，BF分别是△ABC的高线与角平分线，BF，AD相交于点E，∠1 = ∠2.求证:△ABC是直角三角形.变式2 - 1 有下列结论:①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC 的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+ AC2= AB2，则∠A= 90°；③在△ABC中，若∠A:∠B:∠C= 1:5:6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边之比为3:4:5，则该三角形是直角三角形.其中错误的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个变式2 - 2 在△ABC中，∠A:∠B:∠C = 2:1:1，则△ABC是 _________ 三角形.巩固练习1.（大连中考）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为D.若E是AB的中点，CD = DE = a，则AB的长为A.2aB.22aC.3aD.334a2.如图，在四边形ABCD中，∠B = 90°，AB = 4，BC = 3，CD = 13，AD = 12，则四边形ABCD 的面积为（）A.12B.24C.36D.483.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3 m处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，则这棵树在折断前的高度为 _________ m.4.在△ABC中，∠A= 50°，∠B= 30°，点D在AB边上，连结CD.若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 _________ .5.如图，以正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，且四边形EFGH为正方形，这样的图形我们称为弦图.将正方形ABCD放入右边每个小正方形的边长为1的网格中，若正方形的四个顶点A，B，C，D和四个直角顶点E，F，G，H都在格点上，我们把这样的图形称为格点弦图，问:当格点弦图中的正方形ABCD的边长为5时，正方形EFGH的面积的所有可能值是_________ .6.如图，P是等边三角形ABC内一点，PA = 6，PB = 8，PC = 10，则∠APB = _________ .7.（温州中考）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.（1）求∠F的度数.（2）若CD = 2，求DF的长.8.（1）如图①，这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论:在直角三角形中两直角边a，b与斜边c满足关系式a2 + b2 = c2.该结论也称为勾股定理.证明:∵大正方形的面积可表示为S = c2，又可表示为S = 4 ×12ab + （b-a）2，∴4 ×12ab + （b-a）2 = c2，∴a2 + b2 = c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形，如图②，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程.（3）如图③，∠ABC = ∠ACE = 90°，请你添加适当的辅助线证明结论:a2 + b2 = c2.。
三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)
三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)本文讲述了全等三角形的判定方法，重点是边角边和角边角。
边角边指两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，可以简写成“SAS”。
需要注意的是，必须是两边及其夹角，不能是两边和其中一边的对角。
例如，在图中的△ABC和△ABD中，虽然有一个角和两边相等，但是这两个三角形不全等。
但是在例1中，如果AC=AD，且∠CAB=∠DAB，则可以证明△ACB≌△ADB。
在例2中，如果AD∥BC，且∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF，则可以证明BF=CE。
角边角是指两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“ASA”。
例如，在例2中，如果AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则可以直接判定△ABD≌△ACD。
在例3中，如果在Rt△ABC中，BC=2cm，CD⊥AB，且EC=BC，EF=5cm，则可以求出AE的长度。
除了边角边和角边角外，还有三种判定全等三角形的条件。
在例5中，如果在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，且有一个角相等，则可以证明△ABC≌△DEF。
在例6中，如果AB∥DE，AB=DE，BF=CE，则可以证明△ABC≌△DEF。
在例7和例8中，分别是通过角平分线和垂线的判定方法来证明两个三角形全等。
总之，掌握全等三角形的判定方法对于解决几何问题非常重要。
1.如图所示，在三角形ABC中，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB。
根据角角边相等可知，∠ACB=∠DCB。
又因为AB=DC，所以BC=AC。
因此，根据SSS（边边边）相等可知，△ABC≌△DCB。
同时，∠ACB=∠DCB，AC=BC=DC。
2.如图所示，在三角形ABD和ABF中，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE。
根据角角边相等可知，∠ABD=∠BCE。
又因为AD=CE，所以BD=BE。
因此，根据SAS（边角边）相等可知，△ABD≌△BCE。
同时，∠ABD=∠BCE，AD=CE=BE。
《直角三角形全等的判定》练习(有答案)
直角三角形全等的判定同步练习1．选择：（1）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（）个①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等A．0 B．1 C．2 D．3（2）在下列定理中假命题是（）A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形（3）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC，则AC：BD=（）A．1：1 B．3：1 C．4：1 D．2：3（4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF是∠ACB的平分线. 则∠1与∠2的关系是（）A．∠1<∠2 B．∠1=∠2; C．∠1>∠2 D．不能确定（5）在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB的度数是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．解答：（1）已知：如图，∠B=∠E=90°，AC=DF，FB=EC，求证：AB=DE.（2）已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC，求证：AD//BC.（3）已知如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F，求证：CE=DF.参考答案（1）C; （2）D; （3）D设BC=x 则AC=2x ，CD=2x ∴BD=3x ∴AC ：BD=2：3 （4）B∵CE 为△ABC 中线,∴AE=EC ∴∠3=∠A ∵CF 平分∠ACB∴∠ACF=∠FCB 即∠3+∠1=∠2+∠4 ∵CD ⊥AB ，∠ACB=90°∴∠4=∠A ∴∠3+∠1=∠2+∠A ∴∠1=∠2 （5）C∠ADC=60°∴∠ADB=120° 2．（1）∵FB=CE∴BC=FE在Rt △ABC 与Rt △DEF 中⎩⎨⎧==EF BC DF AC∴Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ）∴AB=DE（2）∵AB ⊥BD CD ⊥BD∴∠ABD=∠BDC=90°∴在Rt △ABD 与Rt △CDB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BD BD BDC ABD DCAB∴△ABD ≌△CDB （SAS ） ∴∠ADB=∠DBC ∴AD//BC（3）在Rt △ACB 与Rt △ABD 中⎩⎨⎧==ABAB ADBC ∴Rt △ACB ≌Rt △BDF （HL ） ∴∠CAB=∠DBA ，AC=BD ∴在Rt △CAE 与Rt △BDF 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BD AC DBF CAE DFB CEA ∴△CAE ≌△BDF （AAS ） ∴CE=DF.。
直角三角形的全等判定
两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
×
斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的
两个直角三角形全等.
两直角边对应相等的两个直角三角形全等;
想一想
你能够用几种方法说明两个直角 三角形全等？
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判 定全等的方法，还有直角三角形特有的判定方法“HL”. 判断直 角三角 形全等 条件 三边对应相等 SSS
C
C′
A
D
B A′
D′
B′
变式1：若把例题中的∠ACB＝∠A′C′B′改为AB＝A′B′， △ABC与△A′B′C′全等吗？请说明思路。 变式2：若把例题中的∠ACB＝∠A′C′B′改为BC＝B′C′， △ABC与△A′B′C′全等吗？请说明思路。
变式3：：请你把例题中的∠ACB＝∠A′C′B′改为另一 个适当条件，使△ABC与△A′B′C′仍能全等。试说明证 明思路。
数学112 蔡际钧
１．三角形全等的判定定理有哪些?
做一做：如图，具有下列条件的Rt△ABC和
Rt A B C 是否全等：
A
A
(1) AC AC , A A
(2) AC A C , BC B C
C B
C B
(3) AB AB, B B
剪下这个三角形，和其他同学所作的 三角形进行比较，它们能重合吗？
a
c
从上面画直角三角形中，你发现了什么？
直角三角形全等的判定方法
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写：“斜边、直角边定理”或“HL” A' A
B
∵
八年级数学下册 .3 直角三角形全等的判定《斜边直角边》典型例题素材
《斜边直角边》典型例题例1 如图，已知DE BF AC BF AC DE CD AB =⊥⊥=,,,，求证：CD AB //。
例2 如图，点C 在DAB ∠内部，AD CD ⊥于AB CB D ⊥,于CB CD B =,，若4=AD ，求AB 的长．例3 已知：如图,AD 是ABC ∆的中线，AB DE ⊥于AC DF E ⊥,于F ，且CF BE =．问AD 是否平分BAC ∠？如果是请说明理由．例4 如图,D 是AOB ∠的平分线OC 上一点，过点D 的直线交AO 、BO 于点E 、F,并且OC EF ⊥，求证:DF DE =参考答案例1 分析：要证CD AB //，可以证明ECD CAB ∠=∠；要证明ECD CAB ∠=∠，可以通过证明DEC ∆≌BFA ∆,或者DCA ∆≌BAC ∆。
再看已知:两个垂直条件（垂直可以得到直角三角形），还有DE BF CD AB ==,（是两个直角三角形的斜边、直角边），故可以利用“HL”来证明DEC ∆≌BFA ∆。
解：AC BF AC DE ⊥⊥,∴︒=∠=∠90BFA DEC在Rt DEC ∆和Rt BFA ∆中，CD AB =DE BF =∴Rt DEC ∆≌Rt BFA ∆（HL)∴ECD CAB ∠=∠(全等三角形的对应角相等）∴CD AB //（内错角相等，两直线平行）例2 分析：观察图可以发现,最好能说明AD AB =，只要连结AC ，问题就变成了说明Rt ADC ∆≌Rt ABC ∆了．解：连结AC在ABC ∆和ADC ∆中，因为︒=∠=∠90ADC ABC 且AC CB CD ,=是公用边．所以Rt ABC ∆≌Rt ADC ∆，所以4==AD AB ．说明：这种判断三角形全等的方法只有在两个三角形都是直角三角形时才能使用，题中的连线叫做辅助线，目的是通过做辅助线建立已知和所求之间的联系，这是几何中常用的方法．例3 分析:（如图）AED FAD EAD ∆←∠=∠Rt ≌⎩⎨⎧==←DF DE AD AD AFD ∆Rt DEB ∆Rt ←≌⎩⎨⎧←=←=←∆已知已知CD BD CF BE DFC Rt 解:AD 平分BAC ∠理由：在DEB ∆Rt 和DFC ∆Rt 中，已知⎭⎬⎫==CD BD CF BE 由（HL)可知DEB ∆Rt ≌DFC ∆Rt ,所以DF DE =， 在AED ∆Rt 和AFD ∆Rt 中，⎭⎬⎫==AD AD DF DE 由（HL ）可知在AED ∆Rt ≌AFD ∆Rt 所以FAD EAD ∠=∠,即AD 平分BAC ∠．例4 分析：要证明DF DE =，可以通过证明DEO ∆≌DFO ∆，由OC EF ⊥得，DEO ∆和DFO ∆都是直角三角形，要证明两个直角三角形全等，首先考虑“HL”，但有时也要用到其他判定方法．本题由OC 是AOB ∠的平分线得BOC AOC ∠=∠,另外有两个直角、一条公共边，故可以利用“ASA”来证明全等．解：OC EF ⊥ ，∴︒=∠=∠90ODF ODEOC 是AOB ∠的平分线∴BOD AOD ∠=∠在ODE ∆和ODF ∆中，BOC AOC ∠=∠ （已证）OD OD =(公共边)︒=∠=∠90ODF ODE (已证）∴DEO ∆≌DFO ∆（ASA ）∴DF DE =（全等三角形的对应边相等）。
2020-2021学年 北师大版八年级数学下册 第一章 三角形的证明 之直角三角形综合练(一)
北师大版下册第一章《三角形的证明》之直角三角形综合练（一）1．如图1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC．（1）求证：∠ACE＝∠ABC；（2）求证：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；（3）求证：∠CEF＝∠CFE．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC 的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：BE ∥DF．3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是△ABC的角平分线，CD⊥AB，垂足D，延长CE 与外角∠ABG的平分线交于点F．（1）若∠A＝60°，求∠DCE和∠F的度数；（2）若∠A＝n°（0＜n＜90）直接写出用含n的代数式表示∠DCE和∠F．（3）在图中画△FCB高FH和∠DCB的角平分线交于点Q，在（2）的条件下求∠CQH的度数，请直接写出∠CQH的度数．4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠DEC＝25°，求∠B的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．5．我们知道定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，这个定理的逆命题也是真命题．（1）请你写出这个定理的逆命题是；（2）下面我们来证明这个逆命题：已知：如图，CD是△ABC的中线，CD＝AB．求证：△ABC为直角三角形．请你写出证明过程：6．如图在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BC，AB，CD上的点，连接EF，GH．①若EF⊥GH，则必有EF＝GH．②若EF＝GH，则必有EF⊥GH．判断上述两个命题是否成立，若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例．7．在△AOB中，∠AOB＝90°，点C为直线AO上的一个动点（与点O，A不重合），分别作∠OBC和∠ACB的角平分线，两角平分线所在直线交于点E．（1）若点C在线段AO上，如图1．①依题意补全图1；②求∠BEC的度数；（2）当点C在直线AO上运动时，∠BEC的度数是否变化？若不变，请说明理由；若变化，画出相应的图形，并直接写出∠BEC的度数．8．已知△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G．（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠A＝50°，直接求出∠G的度数；（2）如图2，若∠ACB≠90°，试判断∠G与∠A的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若FE∥AD，求证：∠DFE＝∠ABC+∠G．9．如图1，直线PQ⊥直线MN，垂足为O，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与直线PQ交于点C．（1）若∠A＝∠AOC＝30°，则BC BO（填“＞”“＝”“＜”）；（2）如图2，延长AB交直线MN于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB＝∠EOB，∠AEO＝α，求∠AOE的度数（用含α的代数式表示）；（3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点R，∠A＝36°，当△AOB绕O点旋转时（斜边AB与直线PQ始终相交于点C），问∠R的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．10．锐角三角形ABC中，AC＞BC，点D是边AC的中点，点E在边AB上．①如果DE∥BC，那么DE＝BC②如果DE＝BC，那么DE∥BC．判断上述两个命题是否成立，若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例．11．如图，在△ABC中，AC＝CB，∠ACB＝90°，在AB上取点F，过A作AB的垂线，使得AD＝BF，连接BD，CD、CF，CE是∠ACB的角平分线，交BD于点M，交AB于点E．（1）若AC＝6，AF＝4．求BD的长：（2）求证：2CM＝AF12．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，∠ABC＝60°，∠ECD＝15°．（1）直接写出∠ADB的度数是；（2）求证：BD＝AB；（3）若AB＝2，求BC的长．13．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P 运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？参考答案1．证明：（1）∵CE⊥AD，∠ACD＝90°，∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠D．∵∠D＝∠ABC，∴∠ACE＝∠ABC；（2）∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，∴∠ACB＝∠DAC，∴AD∥BC，∵CE⊥AD，∴CE⊥BC，∴∠BEC+∠EBC＝90°，∵∠D+∠ECD＝90°，∠D＝∠ABC，∴∠ABC+∠ECD＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC∴2∠EBC+∠ECD＝90°，∴2∠EBC+∠ECD＝∠BEC+∠EBC，即∠EBC+∠ECD＝∠BEC；（3）∵∠ABF+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFE，∴∠ABF+∠CFE＝90°，∵∠CBE+∠CEF＝90°，∠ABF＝∠CAE，∴∠CEF＝CFE．2．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝54°，∴∠CBD＝126°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝63°；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝63°，∴∠CEB＝90°﹣63°＝27°．又∵∠F＝27°，∴∠F＝∠CEB＝27°，∴DF∥BE3．解：（1）∵CD⊥AB，∠A＝60°，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，∵CF平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠FCB＝∠ACB＝45°，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝45°﹣30°＝15°，∵∠ABG＝∠A+∠ACB＝150°，∵BF平分∠ABG，∴∠FBG＝∠ABG＝75°，∵∠FBG＝∠F+∠FCB，∴∠F＝75°﹣45°＝30°．（2）∵CD⊥AB，∠A＝n°，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝90°﹣n°，∵CF平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠FCB＝∠ACB＝45°，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝45°﹣90°+n°＝n°﹣45°，∵∠ABG＝∠A+∠ACB＝90°+n°，∵BF平分∠ABG，∴∠FBG＝∠ABG＝45°+n°∵∠FBG＝∠F+∠FCB，∴∠F＝n°．（3）如图，∵FH⊥CG，∴∠FHC＝90°，∵∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°∴∠A＝∠DCB＝n°，∵CQ平分∠DCB，∴∠QCH＝n°，∴∠CQH＝90°﹣n°．4．解：（1）∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝25°，∴∠BDE＝50°，又∵DE⊥AB，∴Rt△BDE中，∠B＝90°﹣∠BDE＝90°﹣50°＝40°；（2）∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°＝∠ACB，又∵DE＝DC，AD＝AD，∴△AED≌△ACD（HL），∴AE＝AC，∴点D在CE的垂直平分线上，点A在CE的垂直平分线上，∴直线AD是线段CE的垂直平分线．5．解：（1）∵“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，∴它逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；（2）∵CD是△ABC的中线∴AD＝BD＝AB，∵CD＝AB，∴AD＝CD＝BD，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCB，在△ABC中，∠A+∠B+∠ACD+∠DCB＝180°∴∠A+∠B+∠A+∠B＝180°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴△ABC为直角三角形．6．解：①成立，②不成立；理由如下：①作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，如图1所示：则∠GMH＝∠FNE＝90°，GM⊥FN，GM＝AD，FN＝AB，∴∠OGQ+∠OQG＝90°，∵EF⊥GH，∴∠PFQ+∠PQF＝90°，∵∠OQG＝∠PQF，∴∠OGQ＝∠PFQ，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∴FN＝GM，在△EFN和△HGM中，，∴△EFN≌△HGM（ASA），∴EF＝GH；②作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，如图2所示：则∠GMH＝∠FNE＝90°，GM⊥FN，GM＝AD，FN＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∴FN＝GM，在Rt△EFN和Rt△HGM中，，∴Rt△EFN≌Rt△HGM（HL），∴∠OGQ＝∠PFQ，∵∠OGQ+∠OQG＝90°，∠OQG＝∠PQF，∴∠PQF+∠PFQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴EF⊥GH；作GH关于GM的对称线段GH'，则GH'＝GH＝EF，显然EF与GH'不垂直；综上所述，若EF＝GH，则必有EF⊥GH．不成立．7．解：（1）①图形如图所示．②设∠EBO＝∠EBC＝x，∠OCE＝∠ECK＝y．则有：，可得∠E＝×90°＝45°．（2）如图，当点C在OA的延长线上时，结论∠BEC＝135°．理由：∵∠AOB＝90°，∴∠OBC+∠OCB＝90°，∵∠EBC＝∠OBC，∠ECB＝∠OCB，∴∠EBC+∠ECB＝×90°＝45°，∴∠BEC＝180°﹣45°＝135°．如图当点C在AO的延长线上时，同法可证：∠BEC＝135°．8．解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠ABC＝40°，∵BG平分∠ABC，∴∠CBG＝20°，∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD＝90°，∵DG平分∠ADE，∴∠CDF＝45°，∴∠CFD＝45°，∴∠BFD＝180°﹣45°＝135°，∴∠G＝180°﹣20°﹣135°＝25°；（2）如图2，∠A＝2∠G，理由是：由（1）知：∠ABC＝2∠FBG，∠CDF＝∠CFD，设∠ABG＝x，∠CDF＝y，∵∠ACB＝∠DCF，∴∠A+∠ABC＝∠CDF+∠CFD，即∠A+2x＝2y，∴y＝，同理得∠A+∠ABG＝∠G+∠CDF，∴∠A+x＝∠G+y，即∠A+x＝∠G++x，∴∠A＝2∠G；（3）如图3，∵EF∥AD，∴∠DFE＝∠CDF，由（2）得：∠CFD＝∠CDF，△FBG中，∠G+∠FBG+∠BFG＝180°，∠BFG+∠DFC＝180°，∴∠DFC＝∠G+∠FBG，∴∠DFE＝∠CFD＝∠FBG+∠G＝+∠G．9．解：（1）∵△AOB是直角三角形，∴∠A+∠B＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，∵∠A＝∠AOC＝30°，∴∠B＝∠BOC＝60°∴△BOC是等边三角形，∴BC＝BO故答案为：＝；（2）∵OD⊥AB，∠AEO＝α，∴∠DOE＝90°﹣α，∵∠DOB＝∠BOE，∴∠BOE＝＝（90°﹣α）＝45°﹣α，∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝90°+45°﹣＝135°﹣；（3）∠R的度数不变，∠R＝27°．理由如下：设∠AOM＝β，则∠AOC＝90°﹣β，∵OF平分∠AOM，∴∠FOM＝∠RON＝，∴∠COR＝∠CON+∠RON＝90°+，∵∠OCB＝∠A+∠AOC＝36°+90°﹣β＝126°﹣β，∵CR平分∠BCO，∴∠OCR＝＝63°﹣，∴∠R＝180°﹣（∠OCR+∠COR）＝180°﹣63°+﹣90°﹣＝27°，∴∠R的度数不变，∠R＝27°．10．解：①∵锐角三角形ABC中，AC＞BC，点D是边AC的中点，DE∥BC，∴AE＝EB，即DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC故①正确；②令E为AB中点，可以在AB上取到一点F，使DF＝DE，但DF与BC不平行．故②错误．11．解：（1）∵AC＝CB＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝12∵AF＝4，∴BF＝AB﹣AF＝12﹣4＝8，∴AD＝BF＝8，在Rt△ADB中，BD＝＝4；（2）∵AC＝CB，∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，∴AE＝BE＝CE＝AB，CE⊥AB，∵∠DAB＝∠MEB＝90°，∠DBA＝∠MBE，∴△MBE∽△DBA，∴＝＝，∴ME＝AD，∴ME＝BF，∵CE＝AB，∴CM+ME＝（BF+AF），∴CM+BF＝BF+AF，∴CM＝AF，即AF＝2CM．12．解：（1）∵CE⊥BE，∴∠E＝90°，∵∠ECD＝15°，∴∠ADB＝∠CDE＝90°﹣15°＝75°故答案为75°．（2）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵∠ADB＝75°，∴∠A＝75°，∴∠A＝∠ADB，∴AB＝DB．（3）过点D作DF⊥BC，交BC于F点．∵DF⊥BC，∴∠DFB＝∠DFC＝90°，∵∠DBF＝30°，∴DF＝BD，∵BD＝AB＝2，∴DF＝1，∴FB＝，∵CE⊥BE，∴∠E＝90°，∵∠DBC＝30°，∴∠ECB＝60°，∵∠ECD＝15°，∴∠DCB＝45°，∴∠DCF＝∠FDC＝45°，∴FD＝FC＝1，∴BC＝．13．解：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP＝BC＝10；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，不合题意．综上所述，当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等．。
《直角三角形全等的判定》优质学案
姓名年级：八年级学科：数学第次课课时课题《直角三角形全等的判定》教学目标1. 掌握直角三角形全等的判定方法2. 理解并掌握角平分线的性质重点难点直角三角形全等的判定（HL）教学过程【知识梳理】1. 判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）2. 直角三角形全等判定方法：（1）SSS；（2）SAS；（3）ASA；（4）AAS；（5）HL【经典例题】【例1】下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（）A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等C．一条边对应相等 D．两条直角边对应相等【例2】如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（）A．AC=AD B．AB=AB C．∠ABC=∠ABD D．∠BAC=∠BAD例2图例3图【例3】如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）A．AC=A′C′，BC=B′C′ B．∠A=∠A′，AB=A′B′C．AC=A′C′，AB=A′B′ D．∠B=∠B′，BC=B′C′【变式训练】1. 列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两条直角边对应相等B．有两条边对应相等C．斜边和一锐角对应相等D．一条直角边和斜边对应相等2. 如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么在下列各条件中，不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（）A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3 B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3 D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°第2题第3题3. 如图，∠C＝∠D＝90°，若添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则以下给出的条件适合的是（）A. AC＝ADB. AB＝ABC. ∠ABC＝∠ABDD. ∠BAC＝∠BAD【例4】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高线AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长为（）A. 2 2 B. 4 C. 3 2 D. 4 2例4图例5图【例5】如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，连结EF.若AB＝6，BC＝4 6，则FD的长为（）A. 2B. 4C. 6D. 2 3【变式训练】1. 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高线AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为（）A．2 2 B．4 C．3 2 D．4 22. 如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D，B，C分别在直线MN和PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝_______．第2题第3题3. 如图，点P到OA，OB的距离相等，且∠AOP＝23°，则∠AOB＝_________．【例6】如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.求证：△ADE≌△BE C.【变式训练】1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E.若AC＝6，BC＝8， CD ＝3.（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．2. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F.求证：△ABE≌△ADF.【知识梳理】1. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等2. 角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上【经典例题】【例1】如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小关系是（）A. ∠1=∠2B. ∠1＞∠2C. ∠1＜∠2D. 无法确定例1图例2图【例2】如图，∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是（）A. AF平分BCB. AF平分∠B ACC. AF⊥BCD. 以上结论都正确【例3】如图，PA=PB，∠1+∠2=180°.求证：OP平分∠AOB【例4】如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F.求证：AE=AF ，DA 平分∠EDF ；【变式训练】1. 如图，已知∠ABC ，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC 的平分线BP 。
《直角三角形判定》例题及讲解
直角三角形的判断1．勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理的内容：假如三角形的三边长a，b，c知足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．(2)勾股定理的逆定理的释疑：许多的同学对知道三角形三边知足a2＋b2＝c2能获得直角三角形这样的一种结论拥有思疑的态度，其实经过三角形的全等能够很简单地证明出来．比方：假如在△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，而且知足a2＋b2＝c2(以下图)，那么∠C＝90°.作△A1B1C1，使∠C1＝90°，B1C1＝a，C1A1＝b，则∵a2＋b2＝c2，∴A1B1＝c(A1B1＞0)．在△ABC和△A1B1C1中，∵BC＝a＝B1C1，CA＝b＝C1A1，AB＝c＝A1B1，∴△ABC≌△A1B1C1.∴∠C＝∠C1＝90°.222 A1B1＝a＋b.辨误区勾股定理的逆定理的条件(1)不可以说成在直角三角形中，由于还没有确立直角三角形，自然也不可以说“斜边”和“直角边”．(2)当知足a2＋b2＝c2时，c是斜边，∠C是直角．利用勾股定理的逆定理判断一个三角形能否为直角三角形的思路是：先确立最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，假如最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形．对啊！到当前为止判断直角三角形的方法有：①说明三角形中有一个直角；②说明三角形中有两边相互垂直；③勾股定理的逆定理.【例1】以下图，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13，问：1/6AD⊥AB吗？试说明原因．解：AD⊥AB.原因：依据勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝5.在△ABD中，AB2＋AD2＝52＋122＝169，BD2＝132＝169，所以AB2＋AD2＝BD2.由勾股定理的逆定理知△ABD为直角三角形，且∠BAD＝90°.故AD⊥AB.2．勾股定理的逆定理与勾股定理的关系勾股定理是经过“形”的状态来反应“数”的关系的，而勾股定理的逆定理是经过“数”的关系来反应“形”的状态的．(1)勾股定理是直角三角形的性质定理，勾股定理的逆定理是直角三角形的判断定理，二者是互逆的．(2)联系：①二者都与a2＋b2＝c2相关，②二者所议论的问题都是直角三角形问题．(3)差别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，从而获得这个直角三角形三边的数目关系“a2＋b2＝c2”；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边知足a2＋b2＝c2”为条件，从而获得这个三角形是“直角三角形”．(4)二者关系可列表以下：定理勾股定理勾股定理的逆定理假如直角三角形的两直角边长分别假如三角形的三边长a，b，c知足内容为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角＝c2三角形直角三角形的两直角边长分别为a，三角形的三边长a，b，c知足a2＋题设b，斜边长为c b2＝c22/6结论a2＋b2＝c2三角形是直角三角形用途是直角三角形的一个性质判断直角三角形的一种方法【例2】如图，在△ABC中，D为BC边上的点，已知：AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC.剖析：先用勾股定理的逆定理判断形状，而后用勾股定理求数据．解：∵AD2＋BD2＝122＋52＝132＝AB2，∴由勾股定理的逆定理知△ADB为直角三角形．∴AD⊥BC.在Rt△ADC中，由勾股定理，得DC2＝AC2－AD2＝152－122＝92.∴DC＝9.3．勾股数勾股数：知足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．(1)由定义可知，一组数是勾股数一定知足两个条件：①知足a2＋b2＝c2；②都是正整数．二者缺一不行．(2)将一组勾股数同时扩大或减小同样的倍数所得的数仍知足a2＋b2＝c2(但不必定是勾股数)，以它们为边长的三角形是直角三角形，比方以cm为边长的三角形是直角三角形．【例3】①7,24,25；②8,15,19；③；④3n,4n,5n(n＞1，且为自然数)．上边各组数中，勾股数有______组．()．A．1B．2C．3D．4分析：①√∵72＋242＝252，且7,24,25都是正整数，∴7,24,25是勾股数．②×∵82＋152≠2，∴8,15,19不是勾股数．19③×∵不是正整数，∴，，不是勾股数．∵(3n)2＋(4n)2＝25n2＝(5n)2(n＞1，且为自然数)，且它们都是④√正整数，∴3n,4n,5n(n＞1，且为自然数)是勾股数.答案：B3/6析规律勾股数的判断方法判断勾股数要看两个条件，一看可否知足a2＋b2＝c2，二看能否都是正整数．这二者缺一不行．4．勾股定理的逆定理的应用勾股定理的逆定理在解决实质问题中有着宽泛的应用，能够用它来判断是不是直角．家里建房时，常需要在现场画出直角，在没有丈量角的仪器的状况下，工人师傅经常利用勾股定理的逆定理作出直角．【例4】如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后丈量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你帮他看一下，挖的地基能否合格？剖析：此题是数学识题在生活中的实质应用，所以我们要把实质问题转变成数学识题来解决，运用直角三角形的判断条件，来判断它能否为直角三角形．解：∵AD2＋DC2＝62＋82＝100，AC2＝92＝81，∴△ADC不是直角三角形，∠ADC≠90°.又∵按标准应为长方形，四个角应为直角，∴该农民挖的地基不合格．5．利用非负数的性质判断三角形的形状在由一个等式求三角形的三边长时，常常先把等式化为a2＋b2＋c2＝0的形式，再由a＝0，b＝0，c＝0，求得三角形三边之长，利用计算来判断△ABC是不是直角三角形．谈要点判断三角形的形状由条件等式来判断三角形的形状，就是将已知的条件等式变形，再依据它的构造特色，得出a，b，c的关系，从而判断三角形的形状．4/6【例5】假如一个三角形的三边长a，b，c知足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试说明这个三角形是直角三角形．剖析：此题需要将已知等式进行变形，配成完整平方式，求出a，b，c的值，而后再说明．解：将式子变形，得a2＋b2＋c2＋338－10a－24b－26c＝0，即a2－10a＋25＋b2－24b＋144＋c2－26c＋169＝0.整理，得(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0.所以a－5＝0，b－12＝0，c－13＝0，∴a＝5，b＝12，c＝13.∵a2＋b2＝52＋122＝132＝c2，∴这个三角形是直角三角形．6．勾股定理及其逆定理的综合应用(1)利用勾股定理解决生活中的实质问题时，要点是利用转变的思想把实质问题转变为数学模型(直角三角形)来解决．(2)综合运用勾股定理及其逆定理，将不规则图形转变为规则图形是常用的数学方法，在这里，一方面要熟记常用的勾股数；另一方面要注意到：假如一个三角形的三边长已知或拥有某些比率关系，那么就能够用勾股定理的逆定理去考证其是不是直角三角形．【例6】以下图，在四边形ABCD中，AD＝3cm，AB＝4cm，∠BAD＝90°，BC＝12cm，CD＝13cm.求四边形ABCD的面积．剖析：依据AD＝3cm，AB＝4cm，∠BAD＝90°，可连结BD组成直角三角形，经过判断△BCD是直角三角形解决问题．5/6解：连结BD，在△ABD中，∵AD＝3cm，AB＝4cm，∠BAD＝90°，依据勾股定理，得BD2＝AD2＋AB2＝32＋42＝52，∴BD＝5cm.在△BCD中，∵BD＝5cm，BC＝12cm，CD＝13cm，BD2＋BC2＝CD2，∴△BCD是直角三角形．∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD＝12×3×4＋12×5×12＝36cm2.6/6。
12.2 第4课时 直角三角形全等的判定(“HL”)练习题 人教版八年级数学上册
第4课时直角三角形全等的判定(“HL”)知识点 1 用“HL”判定直角三角形全等1.如图1,可直接用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是 ()图1A.AC=DF,BC=EFB.∠A=∠D,AB=DEC.AC=DF,AB=DED.∠B=∠E,BC=EF2.如图2所示,P是∠BAC内一点,且点P到AB,AC的距离PE,PF相等,则直接得到Rt△PEA≌Rt△PFA的依据是 ()图2A.AASB.ASAC.HLD.SSS3.如图3,若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,则需要添加的一个条件是.图34.如图4,BD,CE均是△ABC的高,且BE=CD.求证:△BEC≌△CDB.图4 知识点 2 直角三角形全等的灵活运用5.如图5,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,那么下列各组条件中,不能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是 ()图5A.AB=A'B'=5,BC=B'C'=3B.AB=B'C'=5,∠A=∠B'=40°C.AC=A'C'=5,BC=B'C'=3D.AC=A'C'=5,∠A=∠A'=40°6.如图6,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD,CE,垂足分别为D,E.若BD=4 cm,CE=3 cm,则DE= cm.图67.如图7,点E,F在BC上,AE⊥BC,DF⊥BC,AC=DB,BE=CF.求证:AC∥DB.图7 8.如图8所示,为了固定电线杆AD,将两根长均为10 m的钢丝一端同系在电线杆上的点A处,另一端固定在地面上的两个锚上,那么两个锚(B,C)离电线杆底部(D)的距离相等吗?为什么?图8【能力提升】9.如图9所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则图中全等三角形共有 ()图9A.2对B.3对C.4对D.5对10.如图10,D为Rt△ABC中斜边BC上的一点,且BD=AB,过点D作BC的垂线,交AC于点E.若AE=12 cm,则DE的长为 cm.图1011.如图11,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q从点A同时出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ,当点P运动到AP= 时,△ABC与△APQ全等.图1112.如图12,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D是AC上一点,点E在BC的延长线上,且AE=BD,BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系,并证明.图1213.如图13①,AB=4 cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3 cm.点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动,它们运动的时间为t(s).(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等?判断此时线段PC和线段PQ的位置关系,请分别说明理由.(2)如图②,将图①中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不变.设点Q的运动速度为x cm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x,t 的值;若不存在,请说明理由.图13第4课时 直角三角形全等的判定(“HL ”)1.C [解析] “HL ”是斜边、直角边分别相等,则必须有AB=DE ,故排除A,D 两个选项,而选项B 中另一个条件为∠A=∠D ,不是直角边对应相等,故排除选项B .故选C .2.C3.答案不唯一,如AC=AD 或BC=BD4.证明:∵BD ,CE 均是△ABC 的高,∴∠BEC=∠CDB=90°.在Rt △BEC 和Rt △CDB 中,{BC =CB,BE =CD,∴Rt △BEC ≌Rt △CDB (HL).5.B [解析] 在Rt △ABC 和Rt △A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,选项A 符合直角三角形全等的判定方法“HL ”;选项B 不符合三角形全等的判定方法;选项C 符合三角形全等的判定方法“SAS ”;选项D 符合三角形全等的判定方法“ASA ”.6.7 [解析] ∵∠BAC=90°,∠ADB=∠AEC=90°,∴∠BAD+∠EAC=90°,∠BAD+∠DBA=90°. ∴∠EAC=∠DBA.又∵AB=AC ,∴△ABD ≌△CAE (AAS). ∴AD=CE ,BD=AE. ∴DE=AD+AE=CE+BD=7 cm .故答案为7. 7.证明:∵BE=CF ,∴BE+EF=CF+EF ,即BF=CE.∵AE ⊥BC ,DF ⊥BC , ∴∠AEC=∠DFB=90°.在Rt △AEC 和Rt △DFB 中,{AC =DB,CE =BF,∴Rt △AEC ≌Rt △DFB (HL). ∴∠ACE=∠DBF.∴AC ∥DB.8.解:相等.理由如下:∵AD ⊥BC ,∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt △ADB 和Rt △ADC 中,{AB =AC,AD =AD,∴Rt △ADB ≌Rt △ADC (HL). ∴BD=CD ,即两个锚(B ,C )离电线杆底部(D )的距离相等. 9.B [解析] ∵AB=AC ,BD=CD ,AD=AD ,∴△ABD ≌△ACD (SSS).∴∠B=∠C.又∵∠DEB=∠DFC=90°,BD=CD ,∴△BED ≌△CFD (AAS).∴DE=DF.在Rt △AED 和Rt △AFD 中,∵AD=AD ,DE=DF ,∴Rt △AED ≌Rt △AFD (HL).故图中共有3对全等三角形. 10. 12 [解析] 如图,连接BE. 在Rt △DBE 和Rt △ABE 中,{DB =AB(已知),BE =BE(公共边),∴Rt △DBE ≌Rt △ABE (HL).∴AE=DE.又AE=12 cm,∴DE=12 cm .11.5或10 [解析] ∵AX ⊥AC ,∴∠PAQ=90°.∴∠C=∠PAQ=90°.分两种情况:①当AP=BC=5时, 在Rt △ABC 和Rt △QPA 中,{AB =QP,BC =PA,∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL);②当AP=CA=10时, 在Rt △ABC 和Rt △PQA 中,{AB =PQ,CA =AP,∴Rt △ABC ≌Rt △PQA (HL).综上所述,当点P 运动到AP=5或10时,△ABC 与△APQ 全等. 故答案为5或10. 12.解:BF ⊥AE. 证明:∵∠ACB=90°,∴∠ACE=∠BCD=90°.在Rt △BDC 和Rt △AEC 中,{CB =CA,BD =AE,∴Rt △BDC ≌Rt △AEC (HL). ∴∠CBD=∠CAE. ∵∠CAE+∠E=90°, ∴∠CBD+∠E=90°. ∴∠BFE=90°,即BF ⊥AE.13.解:(1)当t=1时,△ACP ≌△BPQ ,此时PC ⊥PQ. 理由:当t=1时,AP=BQ=1 cm,∴BP=AC=3 cm .在△ACP 和△BPQ 中,{AP =BQ,∠A =∠B =90°,AC =BP,∴△ACP ≌△BPQ (SAS). ∴∠ACP=∠BPQ.∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°. ∴∠CPQ=90°,即PC ⊥PQ.(2)存在.由题意得AP=t cm,BP=(4-t )cm,AC=3 cm,BQ=xt cm .分两种情况讨论: ①若△ACP ≌△BPQ , 则AC=BP ,AP=BQ ,即{3=4−t,t =xt,解得{t =1,x =1; ②若△ACP ≌△BQP , 则AC=BQ ,AP=BP , 即{3=xt,t =4−t,解得{t =2,x =32. 综上所述,当x=1,t=1或x=32,t=2时,△ACP 与△BPQ 全等.。
直角三角形全等的判定
③若按相同的增长率计算，2007年第一季度全国商品房 空置面积达到1.23×(1+23.8％)亿平方米；④如果2007 年第一季度全国商品房面积比2006年第一季度减少23.8 ％，那么2007年第一季度全国商品房空置面积与2005年 第一季度相同。其中正确的是( ) A、①④ B、②④ C、②③ D、①③
3.(06诸暨)有一根竹竿, 不知道它有多长. 把竹竿横放 在一扇门前, 竹竿长比门宽多4尺; 把竹竿竖放在这扇 门前, 竹竿长比门的高度多2尺; 把竹竿斜放, 竹竿长正 好和门的对角线等长. 问竹竿长几尺?
4.(06苏州)我国《劳动法》对劳动者的加班工资作出了 明确规定.“五一”长假期间．前3天是法定休假日，用 人单位应按照不低于劳动者本人日工资或小时工资的 300％支付加班工资．后4天是休息日，用人单位应首先 安排劳动者补休，不能安排补休的，按照不低于劳动者 本人日工资或小时工资的200％支付加班工资．小朱由 于工作需要，今年5月2日、3日、4日共加班三天，已知 小朱的日工资标准为47元，则小朱“五一”长假加班三 天的加班工资应不低于＿＿＿＿＿＿＿＿元
8.(06苏州)司机在驾驶汽车时，发现紧急情况到踩下刹车需要一 段时间，这段时间叫反应时间．之后还会继续行驶一段距离．我 们把司机从发现紧急情况到汽车停止所行驶的这段距离叫“刹车 距离”(如图)． 已知汽车的刹车距离s(单位:m)与车速v(单位:m/s)之同有如 下关系：s=tv+kv2,其中t为司机的反应时间(单位:s)，k为制动系 数．某机构为测试司机饮酒后刹车距离的变化，对某种型号的汽 车进行了“醉汉”驾车测试，已知该型号汽车的制动系数k=0.08, 并测得志愿者在未饮酒时的反应时间t=O.7s (1)若志愿者未饮酒，且车速为11m/s，则该汽车的刹车距离 为＿＿m(精确到0.1m)
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《直角三角形的判定》典型例题
例1 在ABC ∆中，n n a 222+=，12+=n b ，)0(1222>++=n n n c 为三边，试判断该三角形是否为直角三角形？
例2 一个三角形的三边长分别为)(,2,2222n m n m c mn b n m a >+==-=， 则这三角形是直角三角形？
例3 已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边且满足c b a c b a 262410338222++=+++. 求证：这个三角形是直角三角形.
例4 已知ABC ∆的三边为c b a 、、,且9,40,41===c b a ，判定ABC ∆的形状.
例5 如图，四边形ABCD 中，C ∠是直角，12,3,4,13====AD CD BC AB ， 求证：.BD AD ⊥
例6 如图所示，E 为正方形ABCD 的边AD 的中点，F 在DC 上，DC DF 4
1=
.试问：BEF ∆是直角三角形吗？说明理由.
参考答案
例1解答：∵)22()122(22n n n n a c +-++=-01>=，
)12()122(2+-++=-n n n b c 022>=n ，
∴c 边为三角形的最大边，
又∵1884)122(234222+++=++=n n n n n c ，
22222)12()22(+++=+n n n b a 1884234+++=n n n ，
∴222c b a =+
根据勾股定理的逆定理可知，ABC ∆为直角三角形.
说明：三角形的三边分别为a ，b ，c ，其中c 为最大边.
（1）若222c b a =+，则三角形是直角三角形；
（2）若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；
（3）若222c b a <+，则三角形是钝角三角形；
例2分析： 验证c b a ,,三边是否符合勾股定量的逆定理
证明：∵()()
()222422422222222n m n n m m mn n m b a +=++=+-=+
∴222c b a =+ ∴∠C ＝︒90
说明：勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，与前面学习的方法不同，它需要通过代数运算算出来.
例3分析：要证明ABC ∆是直角三角形，应从它的三边a 、b 、c 入手，如果有关系222c b a =+或222a c b =+或222b a c =+成立，那么这个三角形一定是直角三角形. 从已知条件，可以求出a 、b 、c 的长.
解答：由已知得：0338262410222=+---++c b a c b a .
∴ 016926144242510222=+-++-++-c c b b a a
即 0)13()12()5(222≥-+-+-c b a
∵0)13(,0)12(,0)5(222≥-≥-≥-c b a
∴ 013,012,05=-=-=-c b a ，即13,12,5===c b a
∵22213125=+，即有222c b a =+，∴ABC ∆是直角三角形.
说明：直角三角形适用于勾股定理，而利用逆定理是判断一个三角形是直角三角形的方法，当由边之间的关系判断三角形的形状时，我们用勾股定理先行考证，没有条件时，创造条件，从而求出边长或边长之间的关系，进而判断.
例4分析：为判定三角形的形状，可利用直角三角形的判别条件，判断三角形的最大边的平方是否等于另外两边的平方和.
解：16819402222=+=+c b ，而16814122==a ，
∴222c b a +=，∴ABC ∆是直角三角形，并且A ∠是直角.
说明：利用直角三角形的判别条件不仅能够判断出三角形的形状，而且还能够知道三角形的哪个角是直角.
例5分析：可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定.
解：∵在Rt BCD ∆中，3,4==CD BC ，
∴由勾股定理，22234+=BD ，即5=BD ，
在ABD ∆中，222,13,12,5BD AD AB AB AD BD +====，
∴由直角三角形的判别条件，ABD ∆是直角三角形，且ADB ∆是直角，∴BD AD ⊥.
例6解： BEF ∆是直角三角形.
设a DF =，由题意知，.4,3,2a BC AB a CF a AE DE =====
在直角三角形BCF 中，由勾股定理，得
.25)3()4(222222a a a CF BC BF =+=+=
∴222EF BE BF +=.∴BEF ∆是直角三角形.
说明：根据题意设a DF =，运算起来就比较方便，如设正方形的边长为a 运算起来就比较麻烦，这体现了解题的灵活性.
本题属于结论探究开放题，这类型题只给出了条件，由同学自己探求结论，并加以说明.。