数值分析-第五版-考试总结

第一章：数值分析与科学计算引论 截断误差：近似解与精确解之间的误差。 近似值的误差 （ 为准确值）：
近似值的误差限 ：
近似值相对误差 （ 较小时约等）：
近似值相对误差限 ：
函数值的误差限 近似值
： 有 n 位有效数字：
1.多项式插值 其中：
2.拉格朗日插值
第二章：插值法
次插值基函数： 引入记号： 余项：
11.牛顿下山法：
从 12.弦截法：
开始试算，之后逐次减半，直到满足下降条件：
为止。
第八章 矩阵特征值计算 1.格什戈林圆盘：以 为圆心，以 为半径的所有圆盘
2. 的每个特征值必属于某个圆盘之中：
3. 有 个圆盘组成一个连通的并集 ， 与和余下 4.幂法：
设 的特征值满足条件： 任取非零向量 ，构造向量序列， 假设：
个圆盘是分离的，则 内恰包含 的 个特征值。
则：
5.收敛速度： 6.幂法改进：
7.加速方法（原点平移法）：构造矩阵 ，应用幂法使在计算其主特征值的过程中得到加速。
8.若 10.设
，称矩阵
为初等反射矩阵，可得：
为两个不等的 维向量，
，令
，则
，则可推导出：
11.豪斯霍尔德约化定理：
12.吉文斯变换：
12.矩阵的 QR 分解：1）设 非奇异，则存在正交矩阵 ，使 2）设 非奇异，则存在正交矩阵 与上三角矩阵 ，使
首项 的系数：
8.最佳平方逼近： 法方程： 正交函数族的最佳平方逼近：
9.最小二乘法： 法方程： 正交多项式的最小二乘拟合:wk.baidu.com
第四章 数值积分与数值微分 1.求积公式具有 次代数精度
求积公式（多项式与函数值乘积的和），对于次数不超过 的多项式成立，
不成立
2.插值型求积公式
3.求积公式代数精度为 时的余项
4.
在 上存在不动点 ：（压缩映射）
5. 不动点迭代法收敛性：满足上条，则不动点迭代法收敛，误差为：
6.局部收敛：存在 的某个邻域内的任意的 ，迭代法产生的序列收敛到 。
7.不动点迭代法局部收敛：其中 为 的不动点，
在 邻域连续。
8. P 阶收敛：当 时，迭代误差 9.牛顿（ 重根）法:
，满足
10.简化的牛顿法：
13.豪斯霍尔德约化矩阵为上海森伯格矩阵：
，其中 为上三角矩阵。 ，当 对角元素为正分解唯一。
14. 方法：1）计算上海森伯格矩阵的全部特征值；2）计算对称三对角矩阵的全部特征值。
1.一阶常微分初值问题：
第九章 常微分方程初值问题数值解法
2.利普西茨条件：满足此条件，上述问题存在唯一的连续可微解。
3.欧拉方法： 4.后退的欧拉法： 5.梯形方法： 6.改进欧拉公式：
3.牛顿插值多项式： 阶均差（把中间去掉，分别填在左边和右边）：
余项： 4.牛顿前插公式（令
，计算点值，不是多项式）：
阶差分： 余项：
5.泰勒插值多项式：
阶重节点的均差：
6.埃尔米特三次插值： 其中，A 的标定为：
7.分段线性插值：
1. 属于 维空间 ：
第三章：函数逼近与快速傅里叶变换
2.范数：
3.带权内积和带权正交：
与任何次数不超过 的多项式
，由 个方程求出高斯点
。
， 也为次数不超过 的多项式。
的勒让德多项式
的零点即为求积公式的高斯
的切比雪夫多项式的零点
即为
1.矩阵的从属范数：
第五章 解线性方程组的直接方法
2.条件数： 1.迭代法：
第六章 解线性方程组的迭代法
2.迭代法收敛：
存在。
3.迭代法收敛的充分必要条件：
，谱半径
4.渐进收敛速度： 5.雅可比迭代法：
，迭代次数估计：
6.高斯-塞德尔迭代法：
7.严格对角占优矩阵：此矩阵为非奇异矩阵，其雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法均收敛。 8.弱对角占优矩阵：若此矩阵也为不可约矩阵，则其雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法均收敛。
其中，可约矩阵：n 阶矩阵 A 有如下型式，否则为不可约矩阵。 9.超松弛迭代法：为高斯-塞德尔迭代法的一种修正。
4.牛顿-柯特斯公式：将 划分为 等份构造出插值型求积公式 5.梯形公式：当 n=1 时， 6.辛普森公式：当 n=2 时， 7.复合求积公式：
复合梯形公式： 复合辛普森公式：
8.高斯求积公式（求待定参数 和 ）： （1）求高斯点（ ）：令 带权 正交，即则 （2）求待定参数 ： 9.高斯-勒让德求积公式：取权函数为 点。 10.高斯-切比雪夫求积公式：取权函数为 求积公式的高斯点。
10.最速下降法： 是对称正定矩阵 令：
使下式最小： 则：
其中：
故而：
11.共轭梯度法：
（1）令 （2）对
，计算 ，计算
，取
（3）若
或
，计算停止。
1.二分法：1）计算
第七章 非线性方程与方程组的数值解法 在有根区间 的端值 , 2）计算区间中点值
2.不动点迭代法：
3）判断
或者
3.不动点迭代法收敛：
4.最佳逼近的分类（范数的不同、是否离散）：
最优一致（ -范数）逼近多项式
：
最佳平方（ -范数）逼近多项式
：
最小二乘拟合（离散点）
：
5.正交多项式递推关系：
6.勒让德多项式： 正交性：
奇偶性： 递推关系： 7．切比雪夫多项式： 递推关系： 正交性：
在
上有 个零点：
在 上有 个零点：（最优一致逼近）