材料力学课后答案 周建方[第七章]
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解：
AB杆的临界压力： 题7-9图
BC杆的临界压力：
当AB杆失稳时： , (1)
当BC杆失稳时： (2)
当 时，（1）式除（2）式得，
7-10外径与内径之比 的两端固定压杆（图7-17），材料为Q235钢，E=200GPa， =100。试求能应用欧拉公式时，压杆长度与外径的最小比值，以及这时的临界压力。
解：
当能用欧拉公式时， ,即
所以
此时，
题7-10图
7-11由五根直径均为 的圆钢杆组成边长为 的正方形结构，如图7-18所示，材料为Q235钢，E=200GPa， ， ，试求结构的临界载荷。
题7-11图
解：结构对称，AB、BC、DC和AD为压杆， ,
BD为拉杆，不必计算其压杆稳定性。
， ,
所以， ，用直线公式计算。
7-1两端铰支的圆截面受压钢杆（Q235钢），已知 (图7-10)，材料的弹性模量 。试求该压杆的临界力。
解：
题7-1图
7-2图7-11所示压杆为工字形钢，已知其型号为 18、杆长 、材料弹性模量 ，试求该压杆的临界力。
解：查表得I18，
所以取 计算
题7-2图
7-3图7-12所示为三个支承情况不同的圆截面压杆，已知各杆的直径及所用材料均相同，问哪个杆的临界力最大？
解：计算简图如图所示。变形对中点对称，上、下两端的反作用力偶矩同为m，水平反力皆等于零。挠曲线的微分方程是
令 ，上式可以写成
方程式的通解为：
(1)
y的一阶导数为：
（2）题7-7图
两端固定杆件的边界条件是
x=0时，y=0,
x=l时，y=0,
将以上边界条件代入（1）式和（2）式，得
由（3）式得出：
满足以上两式的根，除 外，最小根是 ，或
（4）
由（1）式，求得压杆失稳后任意截面上的弯矩是
由（3）式的第一和第二式解出A和B，代入上式，并注意到（4）式，得
当 或 时，M=0。所以在图中，C、D两点的弯矩等于零。Fra Baidu bibliotek
7-8对两端铰支，由Q235钢制成的圆杆，杆长应比直径大多少倍时才能用欧拉公式计算？
解：当 时，有
7-9在图7-16所示铰接杆系ABC中，AB和BC皆为细长压杆，截面和材料均一样。若因在ABC平面内失稳而破坏，并规定 ，试确定F为最大值时的 角。
题7-3图
解：
所以第三种情况的临界应力最大。
7-4一矩性截面压杆，在图7-13所示平面内两端均为铰支，出平面内两端均不能转动（图示为在平面内的支承情况），已知 ，问压力F逐渐增大时，压杆将于哪个平面内失稳？
解：
（1）图示平面内
（2）出平面内
所以出平面内容易失稳。
题7-4图
7-5图7-14所示为槽形型钢受压杆，两端均为球铰。已知槽钢的型号为16 ，材料的比例极限 ，弹性模量 。试求可用欧拉公式计算临界力的最小长度。
解：查表得[16a的iy=1.83cm=0.0183m
lmin=1.82m
题7-5图
7-6图7-15所示结构由两根圆截面杆组成，已知两杆的直径及所用的材料均相同，且两杆均为大柔度杆，问：当F（方向垂直向下）从零开始逐渐增加时，哪个杆首先失稳？（只考虑在平面内）
解：
题7-6图
所以BC杆先失稳。
7-7试由压杆的挠曲线近似微分方程，推导两端固定杆的欧拉公式。
AB杆的临界压力： 题7-9图
BC杆的临界压力：
当AB杆失稳时： , (1)
当BC杆失稳时： (2)
当 时，（1）式除（2）式得，
7-10外径与内径之比 的两端固定压杆（图7-17），材料为Q235钢，E=200GPa， =100。试求能应用欧拉公式时，压杆长度与外径的最小比值，以及这时的临界压力。
解：
当能用欧拉公式时， ,即
所以
此时，
题7-10图
7-11由五根直径均为 的圆钢杆组成边长为 的正方形结构，如图7-18所示，材料为Q235钢，E=200GPa， ， ，试求结构的临界载荷。
题7-11图
解：结构对称，AB、BC、DC和AD为压杆， ,
BD为拉杆，不必计算其压杆稳定性。
， ,
所以， ，用直线公式计算。
7-1两端铰支的圆截面受压钢杆（Q235钢），已知 (图7-10)，材料的弹性模量 。试求该压杆的临界力。
解：
题7-1图
7-2图7-11所示压杆为工字形钢，已知其型号为 18、杆长 、材料弹性模量 ，试求该压杆的临界力。
解：查表得I18，
所以取 计算
题7-2图
7-3图7-12所示为三个支承情况不同的圆截面压杆，已知各杆的直径及所用材料均相同，问哪个杆的临界力最大？
解：计算简图如图所示。变形对中点对称，上、下两端的反作用力偶矩同为m，水平反力皆等于零。挠曲线的微分方程是
令 ，上式可以写成
方程式的通解为：
(1)
y的一阶导数为：
（2）题7-7图
两端固定杆件的边界条件是
x=0时，y=0,
x=l时，y=0,
将以上边界条件代入（1）式和（2）式，得
由（3）式得出：
满足以上两式的根，除 外，最小根是 ，或
（4）
由（1）式，求得压杆失稳后任意截面上的弯矩是
由（3）式的第一和第二式解出A和B，代入上式，并注意到（4）式，得
当 或 时，M=0。所以在图中，C、D两点的弯矩等于零。Fra Baidu bibliotek
7-8对两端铰支，由Q235钢制成的圆杆，杆长应比直径大多少倍时才能用欧拉公式计算？
解：当 时，有
7-9在图7-16所示铰接杆系ABC中，AB和BC皆为细长压杆，截面和材料均一样。若因在ABC平面内失稳而破坏，并规定 ，试确定F为最大值时的 角。
题7-3图
解：
所以第三种情况的临界应力最大。
7-4一矩性截面压杆，在图7-13所示平面内两端均为铰支，出平面内两端均不能转动（图示为在平面内的支承情况），已知 ，问压力F逐渐增大时，压杆将于哪个平面内失稳？
解：
（1）图示平面内
（2）出平面内
所以出平面内容易失稳。
题7-4图
7-5图7-14所示为槽形型钢受压杆，两端均为球铰。已知槽钢的型号为16 ，材料的比例极限 ，弹性模量 。试求可用欧拉公式计算临界力的最小长度。
解：查表得[16a的iy=1.83cm=0.0183m
lmin=1.82m
题7-5图
7-6图7-15所示结构由两根圆截面杆组成，已知两杆的直径及所用的材料均相同，且两杆均为大柔度杆，问：当F（方向垂直向下）从零开始逐渐增加时，哪个杆首先失稳？（只考虑在平面内）
解：
题7-6图
所以BC杆先失稳。
7-7试由压杆的挠曲线近似微分方程，推导两端固定杆的欧拉公式。