数论知识点 5-6年级

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≠≠0)≠基础知识

数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个外行人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论显得格外重要，数论研究的是奇数、偶数、素数、合数，这些最简单的数——整数及其内部关系，但是从这些简单的数中诞生了“费马大定理”、“哥德巴赫猜想”和“郎兰兹纲领”这样的难题，它们吸引数学家们花费数十年、甚至整世纪努力研究。

小学数学竞赛和奥数学习中的数论问题，常常涉及整数的整除性、质数与合数、约数与倍数、带余除法、奇数与偶数和整数的分解与分拆。

数的整除在算术中应用广泛，下面我们从整除的概念、整除的性质及数的整除特性三方面来介绍。

1、 整除的概念

在整数范围内，两个数相除，余数为零（没有余数）或不为零，两种结果

必定有一种成立。如果余数为零，我们就说被除数能被除数整除。即

整数a 除以整数b （b 0），除得的商正好是整数，我们就说a 能被b 整除

（也可以说b 能整除a ），记为b|a 如15能被3整除，记为3|15。

如果数a 能被数b （b 0）整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数。

由于00，就是说零能被任何非零整数整除。因此，零是任意一

个非零整数的倍数。

(b b ÷=≠1是任意一个整数的约数，也就是说，对于整数a ，都能保证1|a 成立。

同样，由于a÷a=1（a 0），也就保证一个非零整数必能整除它本身，也

就是a|a （a 0）、

≠2、 整除的性质

性质1 如果数a 和数b 都能被数c 整除，那么它们的和或差也能被c 整

除，即如果c|a ，c|a ，那么c|（a±b ）。

性质2 如果数a 能被数b 整除，b 又能被数c 整除，那么a 也能被c 整

除，即如果b|a ，c|b ，那么c|a 。

性质3 如果数a 能被数b 与数c 的积整除，那么a 也能被b 或c 整除，

即如果bc|a ，那么b|a ，c|a 。

性质4 如果数a 能被数b 整除，也能被数c 整除，且数b 和数c 互质，

那么a 一定能被b 与c 的乘积整除，即如果b|a ，c|a ，且（b ，c ）=1，那么bc|a 。

性质5 如果数a 能被数b 整除，那么am 也能被bm 整除；如果b|a ，那

么bm|am （m 为非0整数）。

性质6 如果数a 能被数b 整除，且数c 能被数d 整除，那么ac 也能被

bd 整除；如果b|a ，且d|c ，那么bd|ac 。

3、 数的整除特征

特征1 能被2整除的数为个位数字是0、2、4、6、8的整数。“特征”

包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）。下面“特征”

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含义相似。

特征2 能被5整除的数个位是0或5。

特征3 能被3（或9）整除的数，各个数位数字之和能被3（或9）整除。 如123的各位数字之和是1+2+3=6，因为6能被3整除，所以3|123。再如126的各位数字之和是1+2+6=9，因为9能被9整除，所以9|126。

我们以三位数为例来证明被9整除只需看各位数字之和这一性质。 假设该三位数为abc =100a+10b+c=(99a+9b)+(a+b+c)，很明显第一个括号里的数是9的倍数，因此只要a+b+c ，即各位数字之和能被9整除，那么这个三位数abc 就能被9整除，反之亦然。推广到任意位数的自然数，该证明方法仍然成立。请大家自己尝试一下。

注意：“弃九法”。看各位数字和能否被9整除，只要先把9划去，

或者其他的和是9的几个数划去，剩下的数字之和是否是9的倍数，则

可以判定这个数能否被9整除。

“得余数”。通过上面的过程。我们可以看出这个数被9除所

得余数，就是在弃九法以后的余数。

同理判断能否被3整除或者不能整除时的余数是几，也可以用这种

简便的方法。

特征4 能被4（或25）整除的数其末两位数能被4（或25）整除。

如，1864=1800+64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25

的倍数。又因

为4|64，所以1864能被4整除。但因为25不能被64整除，所以1864不能被25整除。

特征5 能被8（或125）整除的数其末三位数能被8（或125）整除。

如，29375=29000+375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数。又因为125|375，所以29375能被125整除。但因为8不能被375整除，所以8不能被29375整除。

特征6 能被11整除的数其奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

例如：判断123456789这九位数能否被11整除。因为这个数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20。因为25—20=5，又因为11不能整除5，所以11不能整除123456789。

特征7 能被7（或11）整除的数的特征：一个整数的其末三位数与末

三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

例如：判断1059282是否是7的倍数。可以把1059282分为1059和282两个数。因为1059—282=777，又7|777，所以7|1059282。因此1059282是7的倍数。

特征8 六位数abcabc 是7、11、13的倍数

仔细想一想我们会发现7×11×13=1001，正好比1000大1，由此我们

可以得到如下证明：