高等数学D3_7曲率
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D3.7 曲率20141110
曲率圆 ( 密切圆 ) , ρ叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.
在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:
(1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
高等数学
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例3 设一工件内表面为抛物线
, 现要用砂轮磨
削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适? 解: 选择的标准：砂轮的半径最大不超过曲率半径的最小
dx
dx
d
dx
1
y y2
(2) 再求 ds
dx
ds lim s lim M¼M d x x0 x x0 x
y
M
M s y
x
lim
x0
M¼M MM
MM x
O x x x x
lim
M¼M
(x)2
s0 s
d
ds
dx ds
dx
处的曲率, 记作 K ,
y
M
M0 M s
s
O
x
高等数学
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2. 曲率的计算公式 已知函数y=f(x),M为其对应曲线上的任意一点.
(1) 先求 d . 由 y tan两边对x求导得,
dx
d
K
dx ds
dx
y sec2 d (1 y2 ) d
y y2 )32
b a2
.
高等数学
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三、 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 y
M 处作曲线的切线和法线, 在曲线
3-7 曲率(高等数学)
§3.7 曲率教学内容：一．弧微分1.光滑曲线：设函数)(x f y =在区间(,)a b 内具有连续导数，则曲线)(x f y =在(,)a b 内的每点处有能连续转动的切线，称曲线)(x f y =为光滑曲线.2. 弧微分：函数()s x 关于x的微分d s x =，或者d s =.二．曲率1.定义：0lim →∆s s ∆∆α称为曲线在点M 处的曲率，即K =0lim →∆s s ∆∆α=d d sα.2. 计算公式：设曲线的方程为)(x y y =,且()y x 具有二阶导数，322d d (1')y K s y α''===+.三．曲率半径与曲率圆1. 曲率圆与曲率半径的定义：设曲线)(x f y =在点(,)M x y 处的曲率0K ≠（即0y ''≠），在点M 处作曲线的法线，法线指向曲线凹的一侧.在此侧的法线上取一点D ，使1MD Kρ==，以D 为圆心，ρ为半径作圆，称这个圆为曲线在点M 处的曲率圆，它的半径1Kρ=称为曲率半径，圆心D 称为曲率中心.图3.212.曲率圆与曲线在点M 处有相同的切线与曲率，且在点M 的邻近有相同的弯曲方向，从而曲率圆与曲线所对应的函数在点M 有相同的函数值、一阶导数值和二阶导数值.3.在工程设计中，一般可用曲率圆在点M 附近的一段弧来近似代替曲线弧.四．例题讲解例1.求直线b ax y +=的曲率.例2.求半径为R 的圆的曲率.例3.求曲线122--=x x y 在极小值点处的曲率.例4.在车床加工中，用圆柱形铣刀加工一弧长不大的椭圆形工件，该段弧的中点为椭圆长轴的顶点，其方程为222214050x y +=（单位：mm ）,应选用多大直径的铣刀，可得较好的近似效果.。
第七节 曲率3-7
lim
1
1，
ds s0 s
s0 r r
圆上各点处的曲率等于半径的倒数.
圆的半径越小曲率越大.
第三章第七节
7
2、曲率的计算公式
(1) 设y f ( x)二阶可导, tan y, 有 arctan y,
d
y 1 y2
dx,又 ds
1 y2dx. K
y 3.
(1 y2 )2
(2)
设
x y
(t), (t),
二阶可导,
dy dx
(t (t
) )
,
曲率计算公式
d2y dx 2
d dx
(t ) (t )
(t ) (t )
/
(t
)
(t
)
(t) (t 3(t)
)
(t
)
.
(t) (t) (t) (t)
K
3.
[2(t) 2(t)]2
曲率计算公式
第三章第七节
8
例2 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大?
解 y 2ax b, y 2a,
第七节 曲率
教学内容 1 弧微分 2 曲率及其计算公式 3 曲率圆与曲率半径
本节考研要求 了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率
和曲率半径。
第三章第七节
1
一、弧微分
设f
(
x)
C
1 (a,b)
,
ds (dx)2 (dy)2
1 y2dx,
经典高等数学课件D3-6函数图形的描绘,D3-7曲率分析
(或 x )
x
f ( x) b k7 lim [ f ( x ) g ] a存在， 结论 :lim ( x) lim g( x ) lim f ( x ) 0 x x x
5
x2 的渐近线. 例1.求 f ( x ) 2x 1
解: D : ( , ) ( , ).
(或 x )
( P76 题14)
斜渐近线 y k x b .
f ( x) b lim x [ k ] 0 x x x
f ( x) b lim [ k ] 0 x x x
f ( x) k lim x x
(或 x )
b lim [ f ( x ) k x ]
3
3)斜渐近线 如果
x x
lim [ f ( x ) (ax b )] 0
或 lim [ f ( x ) (ax b )] 0 (a , b 为常数) 那么 y ax b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
f ( x) [ f ( x ) ax] b. 斜渐近线求法: lim a , lim x x x 那么 y ax b 就是曲线 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
8
4( x 2) 8 ( x 3 ) 4( x 1) , f ( x ) . f ( x) 2 f ( x ) 3 4 2 x x x 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x
f ( x ) f ( x )
f ( x)
( ,3) 3 ( 3,2)
f ( x) 不存在; 注意: 如果(1) lim x x f ( x) ( 2) lim a 存在, 但 lim[ f ( x ) ax] 不存在, x x x
x
f ( x) b k7 lim [ f ( x ) g ] a存在， 结论 :lim ( x) lim g( x ) lim f ( x ) 0 x x x
5
x2 的渐近线. 例1.求 f ( x ) 2x 1
解: D : ( , ) ( , ).
(或 x )
( P76 题14)
斜渐近线 y k x b .
f ( x) b lim x [ k ] 0 x x x
f ( x) b lim [ k ] 0 x x x
f ( x) k lim x x
(或 x )
b lim [ f ( x ) k x ]
3
3)斜渐近线 如果
x x
lim [ f ( x ) (ax b )] 0
或 lim [ f ( x ) (ax b )] 0 (a , b 为常数) 那么 y ax b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
f ( x) [ f ( x ) ax] b. 斜渐近线求法: lim a , lim x x x 那么 y ax b 就是曲线 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
8
4( x 2) 8 ( x 3 ) 4( x 1) , f ( x ) . f ( x) 2 f ( x ) 3 4 2 x x x 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x
f ( x ) f ( x )
f ( x)
( ,3) 3 ( 3,2)
f ( x) 不存在; 注意: 如果(1) lim x x f ( x) ( 2) lim a 存在, 但 lim[ f ( x ) ax] 不存在, x x x
高等数学课件--D3_7曲率
第七节 平面曲线的曲率
曲线的弯 与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径
2012-10-12 同济高等数学课件
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第三章
M
M
M
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结束
一、 弧微分
设
s x
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
2
处的曲率.
y
l 2R
0
2 Rl 1 y x Rl
R B
K y
1 Rl
O
x
l
y 1 6 Rl x
3
x
显然
2012-10-12
K
x 0
0;
K
x l
1 R
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同济高等数学课件
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例3. 求椭圆 解: x a sin t ;
y b cos t ;
, y
1 x
3 2
解: y
(1 y )
2
3 2
,
则
(1
2
R
) 4
3
O
2 1 (x 2
1
x
y
显然 R
1 x
3 2
) 2
2
x x 1
2 为最小值 .
同济高等数学课件
利用 a 2 b 2 2 ab
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2012-10-12
作业
2012-10-12
1 ( y)
2
同济高等数学课件
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曲线的弯 与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径
2012-10-12 同济高等数学课件
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第三章
M
M
M
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结束
一、 弧微分
设
s x
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
2
处的曲率.
y
l 2R
0
2 Rl 1 y x Rl
R B
K y
1 Rl
O
x
l
y 1 6 Rl x
3
x
显然
2012-10-12
K
x 0
0;
K
x l
1 R
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同济高等数学课件
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例3. 求椭圆 解: x a sin t ;
y b cos t ;
, y
1 x
3 2
解: y
(1 y )
2
3 2
,
则
(1
2
R
) 4
3
O
2 1 (x 2
1
x
y
显然 R
1 x
3 2
) 2
2
x x 1
2 为最小值 .
同济高等数学课件
利用 a 2 b 2 2 ab
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作业
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1 ( y)
2
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高等数学课件D37曲率
k：曲率系数
曲率系数k的计算 公式：k = 1/r
r：曲率半径的倒 数
曲线方程： y=x^3+2x^2+ 3x+4
求导： y'=3x^2+4x+3
求二阶导： y''=6x+4
计算曲率： k=|y''|/|y'|^3
PART FOUR
D37曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的量 曲率越大，曲线弯曲程度越大 曲率与曲线的弧长、半径、切线斜率等几何量有关 曲率与曲线的形状、位置、方向等几何性质有关
航空导航：曲率用于 计算飞机的飞行路径， 确保飞机在飞行过程 中的安全和效率
船舶设计：曲率用于 计算船舶的航行路径， 确保船舶在航行过程 中的安全和效率
机器人控制：曲率用于 计算机器人的运动轨迹， 确保机器人在运动过程 中的安全和效率
PART THREE
D37曲线是三维空间中的一种特殊曲线，其特点是具有恒定的曲率。
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曲率变化：D37曲线的曲率变化可 以反映机械零件的应力分布和变形 情况，有助于优化设计。
曲率半径与疲劳寿命：D37曲线的曲 率半径与零件的疲劳寿命有关，可以 通过调整曲率半径来延长零件的使用 寿命。
飞机设计：D37曲线的曲率用于优化飞机的气动外形，提高飞行性能
航天器设计：D37曲线的曲率用于设计航天器的外形，提高航天器的稳定性和可靠 性
曲率是描述曲线弯曲 程度的量
运动状态包括速度、 加速度、角速度等
曲率与运动状态的关 系：曲率越大，运动 状态越复杂
曲率与运动状态的关 系：曲率越小，运动 状态越简单
曲率与运动状态的关 系：曲率与运动状态 的变化有关，如曲率 变化率与加速度有关
高等数学D3_7曲率PPT文档22页
高等数学D3_7曲率
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪Hale Waihona Puke 28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
22
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪Hale Waihona Puke 28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
22
3-7曲率(同济校内课件)
1 cos y
y
2
y 1
K
1 y
2
3
3 2 2 y 1 y
8
3 13 2
三、曲率圆与曲率半径
设曲线 y f ( x ) 在点M ( x , y ) 处的曲率为 k ( k 0).
在点 M 处的曲线的法线上 ,
y
D 1 k
1 e 2y
y
2
3
2
2 y sin y x x 2
2
曲线在1,0点的曲率.
两边对x求导
解得 y 1 2x 1 cos y
y cos y y 1 2 x 0
3 y 1 ,0 2
再对x求导
曲线C在点M处的曲率 K lim s 0 s
d . ds
若极限存在.
(1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数. 曲率的计算公式
设y f ( x )二阶可导,
y
M . S
C
o
.M )
x
有
d k ds
y (1
3 y 2 ) 2
.
对于参数曲线
x ( t ), y ( t ),
若 ( t ), ( t )二阶可导
d 2 y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) . 2 3 dx (t )
3 2 2 )
dy ( t ) , dx ( t )
1 y1 Biblioteka 1, x x 1 1 y1 2 x 1 ,
高等数学同济大学课件上第37曲率
理解曲率的几何意义：第37曲率 描述了曲线在某一点的弯曲程度， 可以用于描述曲线的形状和性质。Fra bibliotek添加标题
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理解曲率的计算公式：第37曲率 可以通过计算曲线在某一点的二 阶导数得到。
理解曲率的物理意义：第37曲率 可以用于描述物体在空间中的运 动轨迹，例如在物理学中的圆周 运动、天体运动等。
生物医学：利用曲率进行人体 器官建模，提高医疗诊断准确 性
汇报人：
曲率是描述曲线 弯曲程度的量
曲率越大，曲线 弯曲程度越大
曲率是微分几何 中的重要概念
曲率在物理学、 工程学等领域有 广泛应用
曲率定义：描述曲线在某一点的弯曲程度 曲率公式：k = 1/r，其中k为曲率，r为半径 解析过程：首先，确定曲线在某一点的切线方向和法线方向 然后，计算切线方向和法线方向之间的夹角，即曲率角 最后，根据曲率公式计算曲率值
同济大学课件上 第37曲率的定义
同济大学课件上 第37曲率的计算 方法
同济大学课件上 第37曲率的应用 实例
同济大学课件上 第37曲率的注意 事项
曲率是描述曲线弯曲程度的量 第37曲率是描述曲线在某一点的弯曲程度 第37曲率与曲线的弧长、切线斜率等有关 第37曲率在微分几何、物理等领域有广泛应用
第37曲率是同济 大学高等数学课件 上的一个重要概念
第37曲率与其他 曲率相比，具有独 特的性质和特点
第37曲率与其他 曲率之间的关系， 可以帮助我们更好 地理解和掌握高等 数学中的曲率概念
第37曲率与其他 曲率的关系，可以 帮助我们更好地解 决实际问题中的曲 率问题
理解曲率的定义：曲率是描述曲 线弯曲程度的量，第37曲率是描 述曲线在某一点的弯曲程度。
D3-7曲率(同济版)
2 1 (1 y ) R K y
3 2
D( , )
C
O
R
M ( x, y)
T
x
, 满足方程组
2 2 2 ( x ) ( y ) R x y y
( M ( x , y ) 在曲率圆上 )
( DM MT )
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y d 2. 曲率公式 K 3 2 ds (1 y ) 2 3. 曲率圆 2 32 1 (1 y ) 曲率半径 R y K 2 y (1 y ) x y 曲率中心 2 1 y y y
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思考与练习
x 表示对参 数 t 的导数
y
ds M T
dy sin ds
dx cos ; ds
dx O x x dx x
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M
T dy
二、曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线 转角为 , 定义 弧段 s 上的平均曲率
2 2 2 2
3 2
K 最大
求驻点:
f (t ) a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t 最小
f (t ) 2a 2 sin t cos t 2b2 cos t sin t (a 2 b 2 ) sin 2 t
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计算驻点处的函数值:
π 3π 令 f (t ) 0 , 得 t 0 , , π , , 2π 2 2
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例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨
削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适? 解: 设椭圆方程为 由例3可知, 椭圆在 处曲率最大,
3 2
D( , )
C
O
R
M ( x, y)
T
x
, 满足方程组
2 2 2 ( x ) ( y ) R x y y
( M ( x , y ) 在曲率圆上 )
( DM MT )
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y d 2. 曲率公式 K 3 2 ds (1 y ) 2 3. 曲率圆 2 32 1 (1 y ) 曲率半径 R y K 2 y (1 y ) x y 曲率中心 2 1 y y y
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思考与练习
x 表示对参 数 t 的导数
y
ds M T
dy sin ds
dx cos ; ds
dx O x x dx x
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M
T dy
二、曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线 转角为 , 定义 弧段 s 上的平均曲率
2 2 2 2
3 2
K 最大
求驻点:
f (t ) a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t 最小
f (t ) 2a 2 sin t cos t 2b2 cos t sin t (a 2 b 2 ) sin 2 t
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计算驻点处的函数值:
π 3π 令 f (t ) 0 , 得 t 0 , , π , , 2π 2 2
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例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨
削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适? 解: 设椭圆方程为 由例3可知, 椭圆在 处曲率最大,
高等数学(上)课件：3_7曲率
b
这说明椭圆在点( a, 0) 处曲率 a
ax
最大.
b
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 有上述可知
椭圆在
处曲率最大 ,
y
即曲率半径最小, 且为
R
(a2 sin2 t
b2
cos2
t
)
3 2
ab
t0
o
x
显然, 砂轮半径不超过 时, 才不会产生过量磨损 , 或有的地方磨不到的问题.
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 设椭圆方程为
x asin t ;
x acost
x 表示对参
y bcost ;
y bsin t
数 t 的导数
显然
K x0 0;
K
xl
1 R
y
R
B
ol
x
y 1 x3 6Rl
主要内容
1 弧微分 2 曲率及其计算公式 3 曲率圆与曲率半径
曲率圆和曲率半径
设曲线y f ( x)在点 y
M ( x, y)处的曲率为K (K
y f (x)
0).在点 M 处的曲线的
D
法 线 上, 在 凹 的 一 侧 取 一
高等数学（上） 3.7节 曲率
主要内容
1 弧微分 2 曲率及其计算公式 3 曲率圆与曲率半径
弧微分
设
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
弧长 s AM s(x)
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第七节 平面曲线的曲率
曲线的弯 与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径
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第三章
M
M M
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一、 弧微分
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, y y f ( x) B 弧长 s AM s( x) M s M M M M A y M x M M x x M M (x) 2 (y ) 2 o a x x b MM x x x 设
这说明椭圆在点 ( a , 0 ) 处曲率 最大.
机动
a
b
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a x
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三、 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 M 处作曲线的切线和法线, 在曲线
y
D( , )
C 的凹向一侧法线上取点 D 使 M ( x, y) 1 o x DM R K 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
MM y 2 1 ( ) MM x s s( x) lim 1 ( y) 2 x0 x
MM lim 1 x0 M M
机动
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2 2 或 ds (dx) (d y ) ds 1 ( y) dx x x(t ) 若曲线由参数方程表示: y y (t ) 2
f (t ) (a 2 b 2 ) sin 2 t 3 令 f (t ) 0 , 得 t 0 , , , , 2 2 2
t
0
2
b2
3 2
2
b2
y b
f (t )
b2
a2
a2
设 0 b a , 则t 0 , , 2 时
f (t ) 取最小值 , 从而 K 取最大值 .
求此缓和曲线在其两个端点 解: 当 x [ 0 , l ] 时, 1 2 l 0 y x 2 Rl 2R 1 y x Rl 1 x K y Rl 显然
处的曲率.
y
R B
o
l
1 3 y x 6 Rl
x
K
x 0
0;
K
x l
1 R
机动
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(2) 若曲线方程为 x ( 1 x )
2
3 2
K
y (1 y )
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2
3
2
机动
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结束
1 3 x 作缓和曲线, 例2. 我国铁路常用立方抛物线 y 6 Rl 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R.
则弧长微分公式为 几何意义:
ds x 2 y 2 dt
y
ds M T
dy sin ds
dx cos ; ds
dx o x x dx x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
M
T dy
二、曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线 转角为 , 定义 弧段 s 上的平均曲率
曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
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R
T
设曲线方程为 曲率半径及曲率中心
且
求曲线上点M 处的 的坐标公式 .
设点M 处的曲率圆方程为 故曲率半径公式为
y
D( , )
1 (1 R K y
2 32 y )
C
o
R
M ( x, y)
T
x
, 满足方程组
( x ) ( y ) R y x y
M s R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
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曲率K 的计算公式 设曲线弧 y f ( x) 二阶可导, 则由
tan y ( 设
得
arctan y
d (arctan y) d x
结束
例3. 求椭圆 解: x a sin t ;
在何处曲率最大?
y b cos t ;
故曲率为
x a cos t y b sin t
2
x 表示对参 数 t 的导数
K
x y x y (x y )
2 2
3
ab
(a sin t b cos t )
K s
点 M 处的曲率
M
M s
d K lim s 0 s ds
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
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例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R
1 K lim s 0 s R
2 2 2 2
3 2
K 最大
求驻点:
f (t ) a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t 最小
f (t ) 2a 2 sin t cos t 2b cos t sin t (a 2 b 2 ) sin 2 t
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计算驻点处的函数值:
求此缓和曲线在其两个端点 说明:
处的曲率.
铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 离心力必须
连续变化 , 因此铁道的 曲率应连续变化 .
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1 3 x 作缓和曲线, 例2. 我国铁路常用立方抛物线 y 6 Rl 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R.
) 2 2
d K ds
又 故曲率计算公式为
K
y (1 y )
2 32
当 y 1 时 , 有曲率近似计算公式 K y
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说明:
x x(t ) 给出, 则 (1) 若曲线由参数方程 y y (t ) x y x y K 2 2 32 (x y )
曲线的弯 与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径
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第三章
M
M M
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一、 弧微分
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, y y f ( x) B 弧长 s AM s( x) M s M M M M A y M x M M x x M M (x) 2 (y ) 2 o a x x b MM x x x 设
这说明椭圆在点 ( a , 0 ) 处曲率 最大.
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a
b
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a x
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三、 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 M 处作曲线的切线和法线, 在曲线
y
D( , )
C 的凹向一侧法线上取点 D 使 M ( x, y) 1 o x DM R K 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
MM y 2 1 ( ) MM x s s( x) lim 1 ( y) 2 x0 x
MM lim 1 x0 M M
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2 2 或 ds (dx) (d y ) ds 1 ( y) dx x x(t ) 若曲线由参数方程表示: y y (t ) 2
f (t ) (a 2 b 2 ) sin 2 t 3 令 f (t ) 0 , 得 t 0 , , , , 2 2 2
t
0
2
b2
3 2
2
b2
y b
f (t )
b2
a2
a2
设 0 b a , 则t 0 , , 2 时
f (t ) 取最小值 , 从而 K 取最大值 .
求此缓和曲线在其两个端点 解: 当 x [ 0 , l ] 时, 1 2 l 0 y x 2 Rl 2R 1 y x Rl 1 x K y Rl 显然
处的曲率.
y
R B
o
l
1 3 y x 6 Rl
x
K
x 0
0;
K
x l
1 R
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(2) 若曲线方程为 x ( 1 x )
2
3 2
K
y (1 y )
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2
3
2
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1 3 x 作缓和曲线, 例2. 我国铁路常用立方抛物线 y 6 Rl 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R.
则弧长微分公式为 几何意义:
ds x 2 y 2 dt
y
ds M T
dy sin ds
dx cos ; ds
dx o x x dx x
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M
T dy
二、曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线 转角为 , 定义 弧段 s 上的平均曲率
曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
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R
T
设曲线方程为 曲率半径及曲率中心
且
求曲线上点M 处的 的坐标公式 .
设点M 处的曲率圆方程为 故曲率半径公式为
y
D( , )
1 (1 R K y
2 32 y )
C
o
R
M ( x, y)
T
x
, 满足方程组
( x ) ( y ) R y x y
M s R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
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曲率K 的计算公式 设曲线弧 y f ( x) 二阶可导, 则由
tan y ( 设
得
arctan y
d (arctan y) d x
结束
例3. 求椭圆 解: x a sin t ;
在何处曲率最大?
y b cos t ;
故曲率为
x a cos t y b sin t
2
x 表示对参 数 t 的导数
K
x y x y (x y )
2 2
3
ab
(a sin t b cos t )
K s
点 M 处的曲率
M
M s
d K lim s 0 s ds
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
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例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R
1 K lim s 0 s R
2 2 2 2
3 2
K 最大
求驻点:
f (t ) a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t 最小
f (t ) 2a 2 sin t cos t 2b cos t sin t (a 2 b 2 ) sin 2 t
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计算驻点处的函数值:
求此缓和曲线在其两个端点 说明:
处的曲率.
铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 离心力必须
连续变化 , 因此铁道的 曲率应连续变化 .
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1 3 x 作缓和曲线, 例2. 我国铁路常用立方抛物线 y 6 Rl 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R.
) 2 2
d K ds
又 故曲率计算公式为
K
y (1 y )
2 32
当 y 1 时 , 有曲率近似计算公式 K y
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说明:
x x(t ) 给出, 则 (1) 若曲线由参数方程 y y (t ) x y x y K 2 2 32 (x y )