2019年山东高三模拟考试

2019年山东高三模拟考试
理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数
11212i i +++（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．35 B ．35i C ．
35- D ．3
5
i - 2.若集合{|12}A x x =<<，{|,}B x x b b R =>∈，则A B ⊆的一个充分不必要条件是（ ）
A ．
2b ≥ B ．12b <≤ C ．1b ≤ D ．1b < 3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，则（ ）
A ．4x =，22s <
B ．4x =，22s >
C ．4x >，22s <
D ．4x >，
22s >
4.已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，
则此椭圆的标准方程为（ ）
A ．2213632x y +
= B ．22198x y += C ．22
195x y += D ．22
11612
x y +
= 5.已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为1
2
，则1a 的值为（ ）
A ．4
B ．2
C ．1
2
D ．14
6.已知变量x ，y 满足约束条件40221x y x y --≤⎧⎪
-≤<⎨⎪≤⎩
，若2z x y =-，
则z 的取值范围是（ ） A ．[5,6)- B ．[5,6]- C ．(2,9) D ．[5,9]-
7.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形.现从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A ．18
B ．14
C ．316
D ．38
8.已知函数()sin()f x x ωϕ=
+)x ωϕ+0,2πωϕ⎛
⎫>< ⎪⎝
⎭的最小正周期为π，
且()3f x f x π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，则（ ）
A ．()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在2,
63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增 C ．()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增 D ．()f x 在2,
63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减 9.某程序框图如图所示，该程序运行后输出M ，N 的值分别为（ ）
A ．13，21
B ．34，55
C ．21，13
D ．55，34 10.设函数212
()log (1)f x x =+1
12
x
+
+，则使得()(21)f x f x ≤-成立的x 的取值范围是（ ）
A ．(,1]-∞
B ．[1,)+∞
C ．1,13⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．[)1,1,3⎛
⎤-∞+∞ ⎥
⎝
⎦
11.设1F ，2F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过1F 作一条渐近
线的垂线，垂足为M ，延长1F M 与双曲线的右支相交于点N ，若13M N FM =，则此双曲线的离心率为（ ）
A ．
2 B ．5
3 C ．43 D ．3
12.设1x ，2x 分别是函数()x f x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >），则
124x x +的取值范围是（ ）
A ．[4,)+∞
B ．(4,)+∞
C ．[5,)+∞
D ．(5,)+∞
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. (原创，容易)设命题
2:,4,n p n N n p ∃∈>⌝则为 .
14.(原创，容易)直线sin 30()x y R αα+-=∈的倾斜角的取值范围是 .
15.(原创，中档)设实数,x y 满足250,20,220,x x y x y x y y ++-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-≤⎩
则的最小值是 .
16.(改编，难)已知G 为△ABC 的重心，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，满足
,AG x AM y AN =+其中3
1.
,4
x y A M A B +==若则△ABC 和△AMN 的面积之比为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本题满分12分)
(原创，容易)在等差数列510{}0,10.n a a a ==中, （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列101
{}()2
n a n n b b +=满足，求数列{}n nb 的前n 项和S n .
18.(本题满分12分)
（原创，中档）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ⊥平面PCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，AB=AD=PD=1，CD=2AB ，
Q 为棱PC 上一点.
(Ⅰ)若点Q 是PC 的中点，证明：B Q ∥平面PAD ； (Ⅱ),PQ PC λ=试确定λ的值使得二面角Q -BD-P 为60°.
19.（本题满分12分）
（原创 ，中档）《中华人民共和国民法总则》（以下简称《民法总则》）自2017年10月1日起施行。

作为民法典的开篇之作，《民法总则》与每个人的一生息息相关.某地区为了调研本地区人们对该法律的了解情况，随机抽取50人，他们的年龄都
在区间[25，85]上，年龄的频率分布及了解《民法总则》的人数如下表：
（Ⅰ）填写下面2×2 列联表，并判断是否有99%的把握认为以45岁为分界点对了解《民法总则》政策有差异；
（Ⅱ）若对年龄在[45，55），[65，75）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解《民法总则》的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.
20.（本题满分12分）
（改编，难）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点与抛物线2
:12
E x y
=的焦点相同，A 为椭圆C 的右顶点，以A 为圆心的圆与直线b
y x a
=相交于P ，Q 两点，且0,3.AP AQ OP OQ ⋅==
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和圆A 的方程；
（Ⅱ）不过原点的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，已知OM ，
直线l ，ON 的斜率12,,k k k 成等比数列，记以OM 、ON 为直径的圆的面积分别为S 1、S 2，试探究12S S +的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由. 则12S S +
21.（本题满分12分）
（改编，难）已知函数2
()ln ,()().2
a f x x x g x x x a a R ==+-∈ （Ⅰ）若直线(0)
()(),x t t y f x y g x A B =>==与曲线和分别交于两点,且曲线
()y f x =在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，求a 的取值范围；
（Ⅱ）设()()
()h x f x g x =-在其定义域内有两个不同的极值点12,,x x 且
12.0,x x λ<>已知若不等式112
e x x λλ
+<⋅恒成立，求λ的取值范围.
选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）
22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
（原创，容易）在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为1,2(),,2x t t y t ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩为参数 以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为
2cos ,ρθ=射线
:(0)3
OM π
θρ=
≥与圆C 交于点O ，P ，与直线l 交于点Q.
（Ⅰ）求直线l 的极坐标方程； （Ⅱ）求线段PQ 的长度.
23.（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 （原创，容易）已知函数()|1|2||.f x x x =+- （Ⅰ）求不等式()6;f x ≤-的解集
（Ⅱ）若()f x 的图像与直线y a =围成图形的面积不小于14，求实数a 的取值范围.
2019年山东高三模拟考试
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1-5: CDABA 6-10: ACDBC 11、12：BD
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. (原创，容易)设命题
2:,4,n p n N n p ∃∈>⌝则为 . [答案]2,4n n N n ∀∈≤.
[解析]特称命题的否定是全称命题. [考点]全（特）称命题的否定.
14.(原创，容易)直线sin 30()x y R αα+-=∈的倾斜角的取值范围是 .
[答案]3[,]44
ππ
[解析]若sin 0α=，则直线的倾斜角为90°；若sin 0α≠，则直线的斜率k ＝
1
(,1][1,),sin α-
∈-∞-+∞设直线的倾斜角为θ，则tan (,1][1,)θ∈-∞-+∞，故θ∈ [,)42ππ3(,]24ππ，综上可得直线的倾斜角的取值范围是3[,]44ππ. [考点]直线的倾斜角与斜率的关系.
15.(原创，中档)设实数,x y 满足250,20,220,x
x y x y x y y ++-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-≤⎩则的最小值是 .
[答案]1
8
[解析]不等式组对应的可行域如图，令1,(3,1)y
u u x
=+则在点处取得最小值，min 14
1,33
u =+
=在点（1，2）处取得最大值，max 123,u =+=故u
的取值范围是411[,3],[328∈u 则()
[考点]求线性约束条件下目标函数的最值.
16.(改编，难)已知G 为△ABC 的重心，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，满足
,AG x AM y AN =+其中3
1.
,4
x y A M A B +==若则△ABC 和△AMN 的面积之比为 . [答案]
209
[解析]连接AG 并延长交BC 于D ，此时D 为BC 的中点，故
12
(),23
AD AB AC AG AD =
+= 1(3AB =),AC +设3
,,4
AN AC AM AB λ==因为所以 3
4
AG xAM y AN xAB y AC λ=+=+
所以31343
,1,153x x y y λλ⎧=⎪⎪+==⎨⎪=⎪⎩
又因为解得，则||||4520339||||S ABC AB AC S AMN AM AN ⋅==⨯=⋅. [考点]平面向量的综合应用
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本题满分12分)
(原创，容易)在等差数列510{}0,10.n a a a ==中, （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列101
{}()2
n a n n b b +=满足，求数列{}n nb 的前n 项和S n .
解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，则1(1),n a a n d =+-由5100,10,a a ==得方程组
11140,8910,
2a d a a d d +==-⎧⎧⎨⎨
+==⎩⎩，
解得，……………………4分 所以8(1)2210.n a n n =-+-⨯=-…………………………6分
（Ⅱ) 由(I)得，2101011()(),244
n n n n n n
b nb -+===所以………………8分
1211,444
n n n
S =++⋅⋅⋅+ ①
231111,4444
n n n
S +=++⋅⋅⋅+ ②
①－②，得121111
(1)
31114
434444444
n n n n n n n S ++-=++⋅⋅⋅+-=-， 所以434
994n n n S +=-⋅……………………………………………………12分
[考点]等差数列基本量运算、数列求和.
18.(本题满分12分)
（原创，中档）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ⊥平面PCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，AB=AD=PD=1，CD=2AB ，
Q 为棱PC 上一点.
(Ⅰ)若点Q 是PC 的中点，证明：B Q ∥平面PAD ； (Ⅱ),PQ PC λ=试确定λ的值使得二面角Q -BD-P 为60°. 解析：
(Ⅰ)证明：取PD 的中点M ，连接AM ，M Q ， Q PC 点是的中点，
∴M Q ∥CD ，
1
.2
MQ CD =…………………………………………1分
又AB ∥CD ，1
,2
AB CD QM =则∥AB ，QM ＝AB ，
则四边形ABQM 是平行四边形.BQ ∴∥AM.……………………3分 又AM ⊂平面PAD ，BQ ⊄平面PAD ，BQ ∴∥平面PAD.……4分
（Ⅱ）解：由题意可得DA ，DC ，DP 两两垂直，以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，1，1)，C(0，2，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0).……………… 5分
令000000(,,),(,,1),(0,2,1).Q x y z PQ x y z PC =-=-则
000,(,,1)(0,2,1),PQ PC x y z λλ=∴-=-
(0,2,1).Q λλ∴-……………………………………… 7分
又易证BC ⊥平面PBD ，(1,1,0).PBD ∴=-是平面的一个法向量n 设平面QBD 的法向量为(,,),x y z =m
,0,0,22(1)0,.0,1x y DB x y y z z y DQ λλλλ=-⎧⎧⋅=+=⎧⎪⎪
⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎪⎪⎩-⎩
则有即解得m m
令21,(1,1,
).1
y λ
λ==--则m …………………………………………………9分 60Q BD P --二面角为，
||
1|cos ,|,||||
2
⋅∴<>=
=
=m n m n m n
解得3λ=……………………………………………11分
Q 在棱PC
上，01,3λλ<<∴=………………………………12分 [考点]线面平行证明及二面角计算 19.（本题满分12分）
（原创 ，中档）《中华人民共和国民法总则》（以下简称《民法总则》）自2017年10月1日起施行。

作为民法典的开篇之作，《民法总则》与每个人的一生息息相关.某地区为了调研本地区人们对该法律的了解情况，随机抽取50人，他们的年龄都在区间[25，85]上，年龄的频率分布及了解《民法总则》的人数如下表：
（Ⅰ）填写下面2×2 列联表，并判断是否有99%的把握认为以45岁为分界点对了解《民法总则》政策有差异；
（Ⅱ）若对年龄在[45，55），[65，75）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解《民法总则》的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.
解：（Ⅰ）2×2列联表：
……………………2分
22
50(311729) 6.27 6.635,10403218
K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯…………………………… 4分
∴没有99%的把握认为以45岁为分界点对了解《民法总则》政策有差异.……5分
（Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2，3，
22
842210584
(0),225C C P x C C ===
21112
8482422
105104
(1),225
C C C C C P x C C +===
11122824242
210535
(2),225
C C C C C P x C C +===
2124221052
(3),225
C C P x C C ===…………………………………………………………10分
则X 的分布列为
所以X 的数学期望是0.2252252255
EX =+
++=……………………………12分 [考点]统计案例，超几何分布的分布列与期望. 20.（本题满分12分）
（改编，难）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点与抛物线2
:E x y
=的焦点相同，A 为椭圆C 的右顶点，以A 为圆心的圆与直线b
y x a
=相交于P ，Q 两点，且0,3.AP AQ OP OQ ⋅==
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和圆A 的方程；
（Ⅱ）不过原点的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，已知OM ，直线l ，ON 的斜率12,,k k k 成等比数列，记以OM 、ON 为直径的圆的面积分别为S 1、S 2，试探究12S S +的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由. 解：(Ⅰ)如图，设T 为PQ 的中点，连接AT ，则AT ⊥PQ ，
1
0,,||||,2
AP AQ AP AQ AT PQ ⋅=⊥∴=
即 3,||||,OP OQ OT PQ ==又所以
||11
,,|
|22
AT b OT a ∴
=∴=………………………………………………2分 由已知得c =所以224,1,a b ==
∴椭圆C 的方程为2
214
x y +=…………………………………… 4分
222||||||,AT OT OA +=
22||4||4,||||AT AT AT AP γ∴+=∴=
∴== 228
(2).5
x y ∴-+=圆A 的方程为……………………………… 6分
(Ⅱ)设直线l 的方程为1122(0),(,),(,),y kx m m M x y N x y =+≠
由22222
,(4)84(1)01,4y kx m x k x kmx m x y =+⎧⎪+++-=⎨+=⎪⎩得， 2121222
84(1)
,.1414km m x x x x k k
--∴+==++ 由题设知，22
2
12121212121212
()()(),y y kx m kx m km x x m k k k k x x x x x x ++++====+…………8分
22
2
2122
8()0,0,14k m km x x m m k
-∴++=∴+=+ 21
0,,4
m k ≠∴=………………………………………………………………10分
则12S S +
22
2
2121
2(11)444
x x x x π
+-++-=22
212121233()[()2]=162162x x x x x x ππππ++=+-+222222
3648(1)[]16(14)142k m m k k ππ--+=++22
35[44(1)]1624m m πππ--+= 故12S S +为定值，该定值为
54
π
.………………………………………………12分 [考点]椭圆的标准方程、抛物线的性质、直线与圆的位置关系，圆的几何性质、圆的方程、直线与椭圆的位置关系. 21.（本题满分12分）
（改编，难）已知函数2
()ln ,()().2
a f x x x g x x x a a R ==
+-∈ （Ⅰ）若直线(0)()(),x t t y f x y g x A B =>==与曲线和分别交于两点,且曲线
()y f x =在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，求a 的取值范围；
（Ⅱ）设()()
()h x f x g x =-在其定义域内有两个不同的极值点12,,x x
且
12.0,x x λ<>已知若不等式112
e x x λλ
+<⋅恒成立，求λ的取值范围. 解：（Ⅰ）依题意，函数()f x 的定义域为（0，+∞），'()l n 1,'()1.f x x g x a x =+=+因
为曲线()y f x =在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，所以
'()'()(0,)f t g t =+∞在有解，即方程ln 0(0,)t at -=+∞在有解.…………………2分 方程ln 0(0,)t at -=+∞在有解转化为函数ln y x y ax ==与函数的图像在(0,)+∞上有交点，
如图，令过原点且与函数ln y x =的图像相切的直线的斜率为
k ，只须0.a k <≤
令切点为000000
ln 1
(,ln ),'|,x x x A x x k y k x x ===
=
则又，所以0
00
ln 1,x x x =解得 01,x e k e ==
于是，所以1
0.a e
<≤…………………………………………………5分 （Ⅱ）2()()()ln (0),'()ln .2a
h x f x g x x x x x a x h x x ax =-=--->=-所以
因为12,()x x h x 为在其定义域内有两个不同的极值点，所以12,ln 0x x x ax -=是方程的
两
个
根
，
即
12
112212
ln ln ln ,ln ,.x x x ax x ax a x x -===
-作差得………………………………6分
因为120,0,,x x λ><<所以
112121ln ln 1e x x x x λλλλλ+<⋅⇔+<+⇔+<121212
1()ax ax a x x a x x λ
λλλ++=+⇔>
+
⇔
121121212212
ln ln (1)()1ln x x x x x x x x x x x x λλ
λλ-+-+>⇔<-++⇔1
12
1
22
(1)(
1)ln .x x x x x x λλ+-<
+……8分
令1
2
x t x =
，则(0,1)t ∈，由题意知，不等式(1)(1)ln (0,1)t t t t λλ+-<
∈+在上恒成立
.
令2222
(1)(1)1(1)(1)()
()ln ,'().()()t t t t t t t t t t t λλλϕϕλλλ+-+--=-=-=+++则
如果21,(0,1),'()0,t t λϕ≥∈>对一切所以()(0,1)t ϕ在上单调递增，又(1)0,ϕ=所以
()0t ϕ<(0,1)在上恒成立，符合题意.…………………………………………………10分
如果221,(0,)t λλ<∈当时，2'()0;(,1),t t ϕλ>∈当时2'()0,()(0,)t t ϕϕλ<所以在上单调递增，在2(,1)λ上单调递减，又(1)0,())t ϕϕ=所以在(0,1上不能恒小于0，不符合题意，舍去.
综上所述，若不等式112e x x λλ
+<⋅恒成立，只须2 1.0,1λλλ≥>≥又所以.……12分
[考点]导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值，不等式恒成立问题.
选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）
22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
（原创，容易）在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为1,2(),,x t t y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩为参数 以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为
2cos ,ρθ=射线
:(0)3
OM π
θρ=
≥与圆C 交于点O ，P ，与直线l 交于点Q.
（Ⅰ）求直线l 的极坐标方程； （Ⅱ）求线段PQ 的长度.
解：（Ⅰ）将直线l
y +=………………2分 再结合cos x ρθ=，sin y θρ=，得直线l
cos sin θρθ+=
2sin()3
π
ρθ+
=即 5分
（Ⅱ）联立2sin()3
(3,).3(0),
3Q πρθππθρ⎧
+=⎪⎪⎨
⎪=≥⎪⎩
解得……………………………………7分 联立(0),
(1,).3
32cos ,P πθρπρθ⎧
=≥⎪⎨⎪=⎩解得………………………………………………… 9分 则线段PQ 的长度为3－1=2.……………………………………………10分 [考点]方程互化，两点间距离的求法.
23.（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 （原创，容易）已知函数()|1|2||.f x x x =+- （Ⅰ）求不等式()6;f x ≤-的解集
（Ⅱ）若()f x 的图像与直线y a =围成图形的面积不小于14，求实数a 的取值范围. 解
：
（
Ⅰ
）
1,1,
()|1|2||31,10,1,0.x x f x x x x x x x -<-⎧⎪
=+-=+-≤≤⎨⎪->⎩
…………………………………………2分
则不等式1,10,0,
()61631616,
x x x f x x x x <--≤≤>⎧⎧⎧≤-⎨⎨⎨
-≤-+≤--≤-⎩⎩⎩等价于或或 解得57.x x ≤-≥或………………………………………………………………4分 故不等式()6f x ≤-的解集为{|57}.x x x ≤-≥或………………………………5分 （Ⅱ）作出函数()f x 的图象，如图.
若()f x 的图象与直线y a =围成的图形是三角形，则当
2a =-时，△ABC 的面积取得最大值1
4362⨯⨯=，
()f x ∴的图象与直线y a =围成图形的面积不小于14，
该图形一定是四边形，即 2.a <-………………………………………………7分 △ABC 的面积是6，ABED ∴梯形的面积不小于8.……………………… 8分
4,(1,),(1,),2,AB D a a E a a DE a =+-=-
21
(42)(2)1468,12.2
a a a ∴⨯-⨯--≥-=≥……………………………………9分
又2,a a <-≤-则
故实数a 的取值范围是(,-∞-…………………………………………10分 [考点]绝对值不等式解法，三角形面积的求法.。