八年级数学第4讲.全等三角形的经典模型(二).尖子班.学生版.docx

4
全等三角形的
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题型一：“手拉手”模型
思路导航
“手拉手”数学模型：
F
D
E
H
F
O
D O
E A
E
O
A
A
B C
B
C
B
C
⑴
⑵
⑶
例题精讲
F
【引例】 如图，等边三角形 ABE 与等边三角形
AFC 共点于 A ，连接 BF 、 CE ，
A
求证： BF = CE 并求出 EOB 的度数 .
E
【解析】 ∵ △ ABE 、△ AFC 是等边三角形 G
O
∴ AE=AB， AC=AF ，EAB FAC 60
∴EAB BAC FAC BAC
即EAC BAF
∴ △ AEC ≌ △ ABF
∴BF = EC
AEC ABF
又∵AGE BGO
∴BOE EAB 60
∴EOB 60
典题精练
【例 1】如图，正方形 BAFE 与正方形 ACGD 共点于A，连接BD、CF ，求证：BD = CF 并求出DOH 的度数 .
D
G
F
O
H
E
A
B C
【例 2】如图，已知点 C 为线段AB上一点，△ ACM 、△ BCN 是等边三角形．
⑴求证： AN BM .
⑵将△ ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转 180°，使点A落在 CB 上，请你对照原题图在图中画出
符合要求的图形；
⑶在⑵得到的图形中，结论“ AN BM ”是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
⑷在⑵所得的图形中，设 MA 的延长线交BN 于D，试判断△ ABD 的形状，并证明你的结论．
N
N
M
A C B
C B
题型二：双垂 +角平分线模型
典题精练
【例 3】在△ ABC 中， BAC 90°， AD BC 于 D， BF 平分ABC 交 AD 于 E，交 AC 于 F.
求证： AE=AF .
A
3
5F
4
1E
B 2
C
D
【例 4】如图，已知△ ABC 中， ACB 90°， CD AB 于D，ABC 的角平分线BE交 CD 于 G ，交AC 于E， GF ∥ AB 交 AC 于F．
求证： AF CG ．
C
42E53
题型三：半角模型
典题精练
【例 5】已知：正方形 ABCD 中， MAN45 ，MAN 绕点A顺时针旋转，它的两边分别交线段CB、 DC 于点 M、 N .求证 BM DN MN .
A D
N
C
B
M
【例 6】如图，在四边形 ABCD 中， B D 180 ，AB AD ， E、F 分别是线段 BC、 CD 上的点，且 BE+FD =EF . 求证：EAF1BAD .
2
D
A
F
B E C
【例 7】在等边三角形ABC 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点M、N， D 为三角形ABC 外一点，且MDN 60 , BDC 120 ,BD=DC . 探究：当M、N 分别在直线AB、 AC 上移动时， BM 、NC、MN 之间的数量关系．
A A
M N M N
B C B C
D D
图 1图 2
⑴如图1，当点M 、N 在边 AB、AC 上，且DM=DN时， BM、 NC、MN之间的数量关系
是；
⑵如图 2，点 M、N 在边 AB、 AC 上，且当 DM DN 时，猜想⑴问的结论还成立吗？写
出你的猜想并加以证明 .
复习巩固
题型一手拉手模型巩固练习
【练习 1】如图，正五边形 ABDEF 与正五边形 ACMHG 共点于A，连接 BG 、 CF ，则线段 BG、 CF 具有什么样的数量关系并求出GNC 的度数．
G H
E F
N
P
M A
D
B C
题型二双垂 +角平分线模型巩固练习
【练习 2】已知 AD 平分BAC ，DE AB ，垂足为E，DF AC ,垂足为 F ，且 DB=DC，则 EB 与 FC 的关系（）
A. 相等
B. EB<FC
C. EB>FC
D. 以上都不对
E
D
B
A
F C
【练习 3】已知等腰直角三角形ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高， AE
平分CAB 交 CD 于 E，在 DB 上取点 F ，使 DF =DE.求证： CF 平分DCB ．
A
D
E
F
C
B
A
题型三半角模型巩固练习
B
【练习 4】如图，在四边形 ABCD 中， B ADC 180 ，F
D
AB AD，E、 F 分别是边BC、CD延长线上的点，且
1 ∠BAD，求证：EF BE FD
∠EAF
2
【练习 5】在正方形ABCD 中， BE 3 ， EF 5 ，DF4，求BAE DCF 为多少度 .
A D
F
E
B C
思维拓展训练 ( 选讲 )
训练 1. C 为线段 AE 上一动点（点 C 不与点 A、 E 重合），在 AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE， AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P， BE 与 CD 交于点 Q，连接 PQ
以下九个结论：
① AD=BE② PQ//AE③ AP=BQ④ DE =DP⑤AOB60 ⑥ △ PCQ 为等边三角形
⑦ OC 平分AOE ⑧ OA OB OC ⑨ OE OC OD
恒成立的有(把你认为正确的序号都填上)
B
D
O
P Q
E
A
C
训练 2.正方形 ABCD 中， EAF45 ，连接对角线 BD 交 AE 于 M，交 AF 于 N，求证：以 DN 、BM、MN 为三边的三角形为直角三角形 .
A D
N F
M
C
B E
训练 3.条件：正方形ABCD ，M在 CB 延长线上，N 在 DC 延长线上，MAN45．结论：⑴MN DN BM；⑵AH AB .
A D
H
M B
C
N
训练 4.如图，等腰三角形 ABC 与等腰三角形DEC 共点于 C ，且BCA ECD．连接 BE 、 AD ．若BC AC ， EC DC ．求证：BE AD ．若将等腰△DEC绕点C旋转至图2、 3、 4 情况时，其余条件不变，BE 与 AD 还相等吗？为什么？
A A A D A
E
D D
E E
E
B
C B C B
C B C D
⑴⑵⑶⑷
第十五种品格：创新
学会变通，变则通
一天早上，一位贫困的牧师，为了转移哭闹不止的儿子的注意力，将一幅色彩缤纷的世界地图，撕成许多细小的碎片，丢在地上，许诺说：“小约翰，你如果能拼起这些碎片，我就给你二角五分钱。

”
牧师以为这件事会使约翰花费上午的大部分时间，但没有十分钟，小约翰便拼好了。

牧师：“孩子，你怎么拼得这么快？”
小约翰很轻松的答道：“在地图的另一面是一个人的照片，我把这个人的照片拼在一起，然后把它翻过来。

我想，如果这个‘人’是正确的，那么，这个‘世界’也就是正确
的。

”
牧师微笑着给了儿子二角五分钱。

伟大的发明家爱迪生曾把一只灯泡交给他的助手——普林斯顿大学的数学系毕业生阿普顿，要他算出玻璃灯泡的容积，阿普顿拿着灯炮琢磨了好长时间，于是用皮尺在灯泡上左右、上下量了一阵，又在纸上画了好多的草图，写满了各种尺寸，列了许多道算式，
算来算去还未有个结果。

爱迪生见他算得满头大汗，就对他说：" 我的上帝：你还是用这个方法算吧！ "他在灯泡里倒满了水递给阿普顿说：" 把这些水倒进量杯里，看一看它的体积，就是灯泡的容积了．" 助手听了顿时恍然大悟，于是照法很快就算了出来。

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