八年级数学第4讲.全等三角形的经典模型(二).尖子班.学生版.docx

4

全等三角形的

典模型（二）

满分晋级阶梯

三角形 9 级

全等三角形的经典模型（二）

三角形 10 级秋季班第三讲勾股定理与逆定理

三角形 11 级

特殊三角形之直角三角形

秋季班第十一讲秋季班第十二讲

漫画释义

等等⋯腰

知识互联网

题型一：“手拉手”模型

思路导航

“手拉手”数学模型：

F

D

E

H

F

O

D O

E A

E

O

A

A

B C

B

C

B

C

⑴

⑵

⑶

例题精讲

F

【引例】 如图，等边三角形 ABE 与等边三角形

AFC 共点于 A ，连接 BF 、 CE ，

A

求证： BF = CE 并求出 EOB 的度数 .

E

【解析】 ∵ △ ABE 、△ AFC 是等边三角形 G

O

∴ AE=AB， AC=AF ，EAB FAC 60

∴EAB BAC FAC BAC

即EAC BAF

∴ △ AEC ≌ △ ABF

∴BF = EC

AEC ABF

又∵AGE BGO

∴BOE EAB 60

∴EOB 60

典题精练

【例 1】如图，正方形 BAFE 与正方形 ACGD 共点于A，连接BD、CF ，求证：BD = CF 并求出DOH 的度数 .

D

G

F

O

H

E

A

B C

【例 2】如图，已知点 C 为线段AB上一点，△ ACM 、△ BCN 是等边三角形．

⑴求证： AN BM .

⑵将△ ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转 180°，使点A落在 CB 上，请你对照原题图在图中画出

符合要求的图形；

⑶在⑵得到的图形中，结论“ AN BM ”是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

⑷在⑵所得的图形中，设 MA 的延长线交BN 于D，试判断△ ABD 的形状，并证明你的结论．

N

N

M

A C B

C B

题型二：双垂 +角平分线模型

典题精练

【例 3】在△ ABC 中， BAC 90°， AD BC 于 D， BF 平分ABC 交 AD 于 E，交 AC 于 F.

求证： AE=AF .

A

3

5F

4

1E

B 2

C

D

【例 4】如图，已知△ ABC 中， ACB 90°， CD AB 于D，ABC 的角平分线BE交 CD 于 G ，交AC 于E， GF ∥ AB 交 AC 于F．

求证： AF CG ．

C

42E53

题型三：半角模型

典题精练

【例 5】已知：正方形 ABCD 中， MAN45 ，MAN 绕点A顺时针旋转，它的两边分别交线段CB、 DC 于点 M、 N .求证 BM DN MN .

A D

N

C

B

M

【例 6】如图，在四边形 ABCD 中， B D 180 ，AB AD ， E、F 分别是线段 BC、 CD 上的点，且 BE+FD =EF . 求证：EAF1BAD .

2

D

A

F

B E C

【例 7】在等边三角形ABC 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点M、N， D 为三角形ABC 外一点，且MDN 60 , BDC 120 ,BD=DC . 探究：当M、N 分别在直线AB、 AC 上移动时， BM 、NC、MN 之间的数量关系．

A A

M N M N

B C B C

D D

图 1图 2

⑴如图1，当点M 、N 在边 AB、AC 上，且DM=DN时， BM、 NC、MN之间的数量关系

是；

⑵如图 2，点 M、N 在边 AB、 AC 上，且当 DM DN 时，猜想⑴问的结论还成立吗？写

出你的猜想并加以证明 .

复习巩固

题型一手拉手模型巩固练习

【练习 1】如图，正五边形 ABDEF 与正五边形 ACMHG 共点于A，连接 BG 、 CF ，则线段 BG、 CF 具有什么样的数量关系并求出GNC 的度数．

G H

E F

N

P

M A

D

B C

题型二双垂 +角平分线模型巩固练习

【练习 2】已知 AD 平分BAC ，DE AB ，垂足为E，DF AC ,垂足为 F ，且 DB=DC，则 EB 与 FC 的关系（）

A. 相等

B. EB

C. EB>FC

D. 以上都不对

E

D

B

A

F C

【练习 3】已知等腰直角三角形ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高， AE

平分CAB 交 CD 于 E，在 DB 上取点 F ，使 DF =DE.求证： CF 平分DCB ．

A

D

E

F

C

B

A

题型三半角模型巩固练习

B

【练习 4】如图，在四边形 ABCD 中， B ADC 180 ，F

D