“化归”思想在小学数学教学中的运用
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“化归”思想在小学数学教学中的运用
一、“化归”思想的内涵
“化归”思想,是世界数学家们都十分重视的一种数学思想方法,从字面意思上讲,“化归”理解为“转化”和“归结”两种含义,即不是直接寻找问题的答案,而是寻找一些熟悉的结果,设法将面临的问题转化为某一规范的问题,以便运用已知的理论、方法和技术使问题得到解决。而渗透化归思想的核心,是以可变的观点对所要解决的问题进行变形,就是在解决数学问题时,不是对问题进行直接进攻,而是采取迂回的战术,通过变形把要解决的问题,化归为某个已经解决的问题。从而求得原问题的解决。化归思想不同于一般所讲的“转化”或“变换”。它的基本形式有:化未知为已知,化难为易,化繁为简,化曲为直。
匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中,通过一个十分生动而有趣的笑话,来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。有人提出了这样一个问题:“假设在你面前有煤气灶,水龙头、水壶和火柴,你想烧开水,应当怎样去做?”对此,某人回答说:“在壶中灌上水,点燃煤气,再把壶放在煤气灶上。”提问者肯定了这一回答,但是,他又追问道:“如果其他的条件都没有变化,只是水壶中已经有了足够的水,那么你又应该怎样去做?”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说:“点燃煤气,再把水壶放上去。”但是更完善的回答应该是这样的:“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做,而数学家却会回答:‘只须把水壶中的水倒掉,问题就化归为前面所说的问题了’”。
“把水倒掉”,这就是化归,这就是数学家常用的方法。翻开数学发展的史册,这样的例子不胜枚举,著名的哥尼斯堡七桥问题便是一个精彩的例证。
二、“化归”思想在小学数学教学中的渗透
1、数与代数----在简单计算中体验“化归”
例1:计算48×53+47×48
机械地应用乘法分配律公式进行计算,学生不容易真正理解。将48这一数化归成物,即看到了相同的数48,想起了红富士苹果,以物红富士苹果代替数48,相同的数48是化归的对象,红富士苹果是实施化归的途径,于是48×53+47×48就转化成求53个苹果与47个苹果之和的问题是化归的目标。
48×53+47×48
=48×(53+47)
=48×100
=4800,得到问题的解决。
例2:解方程5x-x=4
x是化归的对象,把未知数x化归成物红富士苹果,红富士苹果是实施化归的途径,于是方程5x-x=4 转化为5个苹果-1个苹果=4的问题是化归的目标。
5x-x=4
得4x=4
x=4÷4
x=1
通过以图片中的红富士苹果代替抽象的字母x,问题得以解决,同时学生对字母表示数从广义上得以理解。
教学正负数加减法运算是教材的重点和难点,学生对:“(1)同号两数相加,取原来的符号,并把绝对值相加,(2)异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,较大的绝对值减去较小的绝对值”。不容易真正理解和掌握,原因是“绝对值”的概念及名词对小学生来说是陌生的。
在教学中把正数、负数的绝对值转化为正数来考虑,正负数相加时先确定符号,然后再化归为两个正数之间的运算。
(1)同号两数相加,符号不变(即取原来加数的符号),看作两个正数相加(即并把绝对值相加)。
(2)异号两数相加,符号从大(即指绝对值较大的加数的符号),看作两个正数大减小(即较大的绝对值减去减小的绝对值)。
在这里“x绝对值”是化归的对象,正数是实施化归的途径,两个正数相加以及大的正数减去小的正数是化归的目标。
由于学生对两个正数相加及正数中大数减小数是已掌握的知识,然后返回去熟悉理解“绝对值”的概念,这样有利于学生对正负数加减运算的真正掌握。
2、空间与图形----在动手操作中探索“化归”
学生通过一定的学习,在感悟“化归”思想后,可以初步运用“化归”思想,特别在数学中有些概念的形成过程或数学的定义,就是渗透着“化归”的数学思想。当然这过程,需要学习进一步动手操作,在动脑的同时通过动手来初步运用“化归”思想。
如学习“三角形的内角和”的过程中,学生量出每个内角的度数后,求三角形的内角和时出现了误差,有的学生得出三角形的内角和是179度,有的学生得出三角形的内角和是181度等等,这时教师可以让学生想一个减少误差的好办法,能不能把三个角放在一起量,一次性量出三角形的内角和是多少?学生用拼、折的方法将三个角凑成一个平角时,惊喜洋溢脸上。
又如智力游戏“两人轮流往一圆桌上平放一枚同样大小的硬币,谁放下最后一枚且使对方没有位置再放,谁就获胜。问:怎么样才能稳操胜券?是先放者胜还是后放者胜?”
我们既不知道桌有多大,也不知球有多少。因此我们可以从最简单的情况入手,如果圆桌小到只能放下一枚硬币,那么先放者胜。这是问题的最基本情况。接着想如果圆桌小到只能放下两枚硬币,那么我先把一枚硬币放到中心位置,两边再无法放,还是先放者胜。如果圆桌小到只能放下三枚硬币,我就先把一枚硬币放在中心,另一个人无论在哪放,我都能在它对称的位置放最后一枚硬币,还是先放者胜。
所以对于一般的圆桌,只要我先放中心位置,根据圆桌的对称性,就可以获胜。其实,不管是圆桌还是方桌,也不管桌子和硬币的大小。只要先放对称的中心位置,就能获胜。3、实践与综合----在解决问题中应用“化归”
分解和组合是实现化归的重要途径,学生在小学阶段学习了四年之后,已对化归思想形成一定的基础,但这却不能只停留于“学生的记忆里”,只有进一步的运用,才能内化为学生自己的东西,形成数学方法,而“化归”这一思想方法在小学数学后阶段学习过程中有着广泛的应用。例如:学校买了3只篮球和5只足球共付164.9元,已知买1只篮球和2只足球共需60.2元,问买1只篮球和1只足球各需多少元?
解法一:1只篮球和2只足球共需60.2元为化归的对象,把1只篮球和2只足球作为1份数是实施化归的途径,3份数:3只篮球和6只足球的价格为(60.2×3)元是化归的目标,与3只篮球和5只足球的价格为164.9元进行比较,相差数为1只足球,得1只足球的价格为(60.2×3-164.9)元。
解法二:设1只足球价格为x元,则1只篮球价格为(60.2-2x)元
根据题意列方程得3(60.2-2x)+5x=164.9
这类问题中,求两个未知数x,y的其中一个未知数为化归的对象,一元一次方程是化归的目标,把一个未知数用另一个未知数的数量关系来表示是实施化归的途径。
本题中未知数1只篮球价格为化归的对象,一元一次方程3(60.2-2x)+5x=164.9 是化归的目标,1只篮球的价格用60.2元减去2只足球的价格来表示是实施化归的途径。