初三数学二次函数知识精讲
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初三数学二次函数知识精讲
一. 本周教学内容:
二次函数
[学习目标]
1. 掌握二次函数的概念,形如y ax bx c a =++≠20()的函数,叫做二次函数,定义域x R ∈。 特别地,b c ==0时,y ax a =≠20()是二次函数特例。
2. 能由实际问题确定函数解析式和自变量取值范围,明确它有三个待定系数a ,b ,c ,()a ≠0,需三个相等关系,才可解。
3. 二次函数解析式有三种:
(1)y ax bx c a =++≠20() 一般式
(2)()y a x h k =-+2 顶点式;()h k , 顶点
(3)()()y a x x x x =--12 双根式;()()x x 12
00,,是图象与x 轴交点坐标。 4. 二次函数图象:抛物线
分布象限,可能在两个象限(1),三个象限(2),四个象限(3)。
5. 抛物线y ax a =≠20()与抛物线y ax bx c a =++≠2
0()形状、大小相同,只有位置不同。
6. 描点法画抛物线y ax bx c a =++≠20()了解开口、顶点、对称轴、最值。
(1)a 决定开口:
a >0开口向上,a <0开口向下。
a 表示开口宽窄,a 越大开口越窄。 (2)顶点--⎛⎝ ⎫⎭⎪
b a
ac b a 2442,,当x b a =-2时,y 有最值为442ac b a -。 (3)对称轴x b a
=-2 (4)与y 轴交点(0,c ),有且仅有一个
(5)与x 轴交点A (x 10,),B (x 20,),令y =0则ax bx c 20++=。
①△>0,有x x 12≠,两交点A 、B 。
②△=0,有x x 12=,一个交点。
③△<0,没有实数x x 12,与x 轴无交点。
7. y ax bx c =++2
配方可得()y a x h k a =-+≠20() y ax =2向右(h >0)或向左(h <0)平移h 个单位,得到()y a x h =-2
,再向上()k >0向下()k <0平移k 个单位,便得()y a x h k =-+2
,即y ax bx c =++2 ()a ≠0。 8. 五点法作抛物线
(1)找顶点--⎛⎝ ⎫⎭⎪b a
ac b a 2442,,画对称轴x b a =-2。 (2)找图象上关于直线x b a
=-2对称的四个点(如与坐标轴的交点等)。 (3)把上述五个点连成光滑曲线。
9. 掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系。
判别式 ∆=-b ac 24
∆>0 ∆=0 ∆<0
二次函数
y ax bx c =++2
()a ≠0
ax bx c 20++=
x b b ac a
12242,=-±- (x x 12<) x x b a
122==- 无实根 一元 二次 ax bx c 20++>
a >0
x x <1或x x >2 不等于-b a 2的实数 全体实数 不等 式 ax bx c 20++<
a >0 x x x 12<< 空集
空集
二. 重点、难点:
重点掌握二次函数定义、解析式、图象及其性质。
难点是配方法求顶点坐标,只要坚持配完后看看与原二次函数是否相等即可。
例1. 已知抛物线y x x =
-+12352
2,五点法作图。 解: y x x =-+123522 ()()
=-+=-+-+126512699522x x x x ()[]
()=--=--1234123222x x ∴此抛物线的顶点为()M 32,-
∴对称轴为x =3
令y =0,即解方程
1235202x x -+= ∴==x x 1215,
∴抛物线与x 轴交于点A (1,0),B (5,0)
令x =0则y =52
,得抛物线与y 轴交于点C (0,52) 又C (0,52
)关于对称轴x =3的对称点为D 652,⎛⎝ ⎫⎭⎪ 将C 、A 、M 、B 、D 五点连成光滑曲线,此即为抛物线y x x =-+12352
2的草图。
例2. 已知抛物线y ax bx c =++2
如图,试确定:
(1)a b c ,,及b ac 24-的符号;
(2)a b c ++与a b c -+的符号。
解:(1)由图象知抛物线开口向下,对称轴在y 轴左侧,过A (1,0)与y 轴交于B (0,c ),在x 轴上方
∴<>-