高中不等式的证明方法

不等式的证明方法

不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。

注意ab b a 22

2

≥+的变式应用。常用2

222b a b a +≥

+ (其中+

∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。

一、比较法

比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证：

a

c c b b a c b a ++

+++≥++1

11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴

0)

(4)(44)()(14141)(2

≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理

0)(41

4141)(2

≥+=

+-+-c b bc c b c b c b ，0)

(414141)(2

≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得

01

11212121≥+-+-+-++a

c c b b a c b a ∴a

c c b b a c b a ++

+++≥++111212121 二、综合法

综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证：

31222≥

++c b a

证：2

222)(1)(3c b a c b a ++=≥++⇔∴

2222)()(3c b a c b a ++-++0

)()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca

bc ab c b a

3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4

4

4

c b a abc c b a ++>++

证

：

∵

2

2442b a b a >+

2

2442c b c b >+

2

2442a c a c >+∴

222222444a c c b b a c b a ++>++

∵ c ab c b b a c b b a 2

2222222222=⋅>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+

∴

)(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证:

)(22

2

2

2

2

2

c b a a c

c b

b a

++≥++

++

+

证明：∵

)

(2

2

2

2

2

2

22)(22b a b a b a b

a a

b ab +≥++≥+∴≥+

即

2)(2

2

2

b a b

a

+≥

+，两边开平方得

)(2

2

222

2

b a b a b a

+≥+≥

+ 同理可得

)(2

2

2

2

c b c b

+≥

+)(2

2

2

2

a c a c

+≥

+三式相加，得 )(22

2

2

2

2

2

c b a a c

c b

b a

++≥+++++

5、),0(∞+∈y x 、且1=+y x ，证：9

)1

1)(11(≥++y x 。

证：

)1)(1()11)(11(y y x x y x y x ++++=++)

(25)2)(2(y x

x y y x x y ++=++=9225=⋅+≥ 6、已知.9

111111,,≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛

+

=+∈+

b a b a R b a 求证： 策略:由于的背后隐含说明1,,4121

,,2

=+∈≤⇒⎪⎩

⎪⎨⎧⎪⎭⎫

⎝⎛+≤=+∈++b a R b a ab b a ab b a R b a .41 ≤ab 着一个不等式 证

明

：

4

1

1,,≤

∴=+∈+ab b a R b a 。

.91111.

981211111111111 ≥⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴=+≥+=+++=+++=⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ab ab ab b a ab b a b a 而

三、分析法

分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。

7、已知a 、b 、c 为正数，求证：

)3(3)2(

23

abc c b a ab b a -++≤-+

证：要证：

)3(3)2(

23

abc c b a ab b a -++≤-+只需证：332abc c ab -≤-

即：3

32abc ab c ≥+∵ 3333abc ab ab c ab ab c =≥++成立∴ 原不等式成立

8、),0(∞+∈c b a 、、且1=++c b a ，求证3≤++c b a 。

证：

3≤++c b a 3)(2

≤++⇔c b a 即：2222≤++ac bc ab