高中数学课件____空间向量复习
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空间向量基本定理(18张PPT)高中数学人教A版选择性必修第一册
如裸本是面例1OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上， 点P在线段AN上，且 ,用OA,OB,OC表示OP
课本12页练习题1.已知向量{a,b,c} 是空间的一个基底，从a,b,c 中选哪一个向量， 一定可以与向量p=a+b,q=a—b 构成空间的另一个基底?2.已知O,A,B,C 为空间的四个点，且向量OA,OB,O 不构成空间的一个基底，那么点0,A,B,C 是否共面?3.如图，已知平行六面体 OABC-O'A'B℃', 点 G 是侧面BB'℃'℃的中心，且OA=a,OC=b,O0=c.(1){a,b,c} 是否构成空间的一个基底?(2)如果{a,b,c} 构成空间的一个基底，那么用它表示下列向 (第3题)
H
我们用它们表示MN,AC, 则 9
=0所以MN⊥AC₁
AC₁=AB+BC+CC₁=a+b+c.
如谬本正方例&-A'B'CD的棱长为1,E,F,G 分别为 C'D',A'D',D'D的中点.(1)求证： EF//AC;(2) 求 CE 与 AG 所成角的余弦值.
3.如图，已知正方体ABCD-A'B℃'D',CD '和DC'相交于点O, 连接AO, 求证AO⊥CD'.
( 第 2 题 )
( 第 3 题 )
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年
授课老师：
时间：2024年9月1日
小试牛刀1. 思考辨析(正确的打“ √ ”,错误的打“×”)(1)若{0 A,OB,OC}不能构成空间的一个基底，则0,A,B,C 四 点 共 面.( √ )(2)若{a,b,c}为空间的一个基底，则a,b,c全不是零向量. ( √ )(3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底. ( × )2.已知{a,b,c} 是空间的一个基底，则可以和向量p=a+b,q=a—b构成基底的向量是( D )A.a B.b C.a+2b D.a+2c
课本12页练习题1.已知向量{a,b,c} 是空间的一个基底，从a,b,c 中选哪一个向量， 一定可以与向量p=a+b,q=a—b 构成空间的另一个基底?2.已知O,A,B,C 为空间的四个点，且向量OA,OB,O 不构成空间的一个基底，那么点0,A,B,C 是否共面?3.如图，已知平行六面体 OABC-O'A'B℃', 点 G 是侧面BB'℃'℃的中心，且OA=a,OC=b,O0=c.(1){a,b,c} 是否构成空间的一个基底?(2)如果{a,b,c} 构成空间的一个基底，那么用它表示下列向 (第3题)
H
我们用它们表示MN,AC, 则 9
=0所以MN⊥AC₁
AC₁=AB+BC+CC₁=a+b+c.
如谬本正方例&-A'B'CD的棱长为1,E,F,G 分别为 C'D',A'D',D'D的中点.(1)求证： EF//AC;(2) 求 CE 与 AG 所成角的余弦值.
3.如图，已知正方体ABCD-A'B℃'D',CD '和DC'相交于点O, 连接AO, 求证AO⊥CD'.
( 第 2 题 )
( 第 3 题 )
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年
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时间：2024年9月1日
小试牛刀1. 思考辨析(正确的打“ √ ”,错误的打“×”)(1)若{0 A,OB,OC}不能构成空间的一个基底，则0,A,B,C 四 点 共 面.( √ )(2)若{a,b,c}为空间的一个基底，则a,b,c全不是零向量. ( √ )(3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底. ( × )2.已知{a,b,c} 是空间的一个基底，则可以和向量p=a+b,q=a—b构成基底的向量是( D )A.a B.b C.a+2b D.a+2c
人教A版高中数学选择性必修第一册《空间向量基本定理》名师课件
A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求 、 的坐标．
解析
因为 ＝－ ＝－( ＋ )＝－[ ＋ (＋ )]
＝－ － － .
又| |＝4,||＝4,||＝2,所以 ＝(－2,－1,－4)．
因为 ＝ － ＝ －( ＋ )＝ － － .
形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.
变式训练
2、如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,设 ＝a, ＝b, ＝c, P是CA1的
中点,M是CD1的中点.用基底{a,b,c}表示以下向量：(1) ；(2) .
解析
如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中连接AC,AD1.
一的线性表示．
素养提炼
2．空间向量坐标表示注意点
(1)空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应,即若基底为
{e1,e2,e3},b＝λe1＋μe2＋ke3,则b的坐标为(λ,μ,k)．
(2)点的坐标反应了点在空间直角坐标系中的位置,而向量的坐标
实质上是该向量在标准正交基底下的分解式的一种简化表示,它
又||＝2,||＝4,| |＝4,
所以 ＝(－4,2,－4)．
方法归纳
用坐标表示空间向量的方法步骤
素养提炼
1．对空间向量基本定理的理解
(1)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二
者是相关联的不同概念．
(2)向量基本定理揭示了向量间的线性关系,即任一向量都可由基向量惟
方法归纳
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底,实质是判断这三个向量
是否是共面向量,若不是共面向量,就可以作为一个基底.
高三数学课件：空间向量复习
A1 A2 + A2 A3 + A3 A4 + L + An −1 An = A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 则它们的和为零向量。 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 + A2 A3 + A3 A4 + L + An A1 = 0
D1 A1 G D A B C B1
C1
M
始点相同的三个 不共面向量之和， 不共面向量之和，等 于以这三个向量为棱 的平行六面体的以公 共始点为始点的对角 线所示向量
1) (λ a ) ⋅ b = λ (a ⋅ b) 2) a ⋅ b = b ⋅ a (交换律） 3） ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (分配律） a
注意： 注意： 数量积不满足结合律
（a ⋅ b) ⋅ c ≠ a ⋅ (b ⋅ c)
向量数量积的应用
r r r r 可证明两直线垂直， 1、应用 a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 可证明两直线垂直，
d A, B = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 )
2 2
2
2.两个向量夹角公式 2.两个向量夹角公式
r r r r a1b1 + a2 b2 + a3b3 a ⋅b cos < a , b >= r r = ; 2 2 2 2 2 2 | a |⋅| b | a1 + a2 + a3 ⋅ b1 + b2 + b3
u r r r 不共线, 共面的充要 不共线,则向量 p 与向量 a , b
注：可用于证明三个向量共面
rB br M a A
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 则它们的和为零向量。 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 + A2 A3 + A3 A4 + L + An A1 = 0
D1 A1 G D A B C B1
C1
M
始点相同的三个 不共面向量之和， 不共面向量之和，等 于以这三个向量为棱 的平行六面体的以公 共始点为始点的对角 线所示向量
1) (λ a ) ⋅ b = λ (a ⋅ b) 2) a ⋅ b = b ⋅ a (交换律） 3） ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (分配律） a
注意： 注意： 数量积不满足结合律
（a ⋅ b) ⋅ c ≠ a ⋅ (b ⋅ c)
向量数量积的应用
r r r r 可证明两直线垂直， 1、应用 a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 可证明两直线垂直，
d A, B = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 )
2 2
2
2.两个向量夹角公式 2.两个向量夹角公式
r r r r a1b1 + a2 b2 + a3b3 a ⋅b cos < a , b >= r r = ; 2 2 2 2 2 2 | a |⋅| b | a1 + a2 + a3 ⋅ b1 + b2 + b3
u r r r 不共线, 共面的充要 不共线,则向量 p 与向量 a , b
注：可用于证明三个向量共面
rB br M a A
高中数学空间向量复习PPT课件
x1x2 y1 y2 z1z2
| a || b | x12 y12 z12 x22 y22 z22
• 法向量
若a // l称a是直线l的方向向量
若n a则称n是a的法向量; n a n • a x1x2 y1 y2 z1z2 0
第3页/共16页
空间角及距离公式
• 线线 • 线面
D1 A1
C1
D
B1 C
A
B
第8页/共16页
小测
1．棱长为a的正四面体 ABCD中，AB BC AC BD
。
2．向量a,b,c 两两夹角都是60 ，| a |1,| b | 2,| c | 3 ，
则 | a b c |
。
3、已知SABC是棱长为1的空间四边形，M、N分别是
AB，SC的中点，求异面直线SM，BN与所成角的余弦值
空间向量基础知识
• 空间向量的坐标表示： • 空间向量的运算法则：若
A(x1, y1, z1) B(x2, y2, z2 )
AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
a (x1, y1, z1),b (x2, y2, z2)
新疆 王新敞
奎屯
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
7.若 | a | 3,| b | 2,| a b | 7,则a与b
为
.
的夹角
8.设|m|＝1，|n|＝2，2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，
b＝7m＋2n，则a,b ＝________
第6页/共16页
向量法
例题1．如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是OC与AB的中点，求证
EF 1（OA OB OC） 2O
小测
人教A版高中数学选择性必修一1.2空间向量基本定理课件
1
2
所以 ∙ 1 = （ − ） ∙（ + + ）
1
2
1
2
1
2
N
B1
A1
证明：设 = ， = ，1=,这三个向量不共面，
{, , ,}构成空间的一个基底，我们用它们表示，1 ，则
1
=1 +1 =
2
M
1
2
A
1
2
C
B
1
2
= ∙+ ∙+ ∙− ∙− ∙− ∙
间的基底不唯一
探究4 基底与基向量的概念有什么不同？
提示：基底是指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的
不同概念．
探究5 零向量可作为基向量吗？
提示：不可以，因为零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，
所以零向量不能作为基向量。反之，若某一向量能作为基向量,就说明它不是零
用·＝0⇔⊥，
用 =
·
求夹角．
ȁȁȁȁ
立体几何的解
课后作业
课本第14、15页
1.课后练习第2、3题
2.习题1.2第4、5、6题
向量.
探究6 类比平面向量基本定理，如果空间的一个基底中的三个基向
量两两垂直,那么这个基底叫什么？
提示：叫做正交基底.
探究7 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，
那么这个基底叫什么？
提示：叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
探究8 什么叫做空间向量正交分解。
提示：把一个空间向量分解成三个两两互相垂直的向量，叫做把空间
2.用基底表示所给的向量
·
3.用 =
2
所以 ∙ 1 = （ − ） ∙（ + + ）
1
2
1
2
1
2
N
B1
A1
证明：设 = ， = ，1=,这三个向量不共面，
{, , ,}构成空间的一个基底，我们用它们表示，1 ，则
1
=1 +1 =
2
M
1
2
A
1
2
C
B
1
2
= ∙+ ∙+ ∙− ∙− ∙− ∙
间的基底不唯一
探究4 基底与基向量的概念有什么不同？
提示：基底是指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的
不同概念．
探究5 零向量可作为基向量吗？
提示：不可以，因为零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，
所以零向量不能作为基向量。反之，若某一向量能作为基向量,就说明它不是零
用·＝0⇔⊥，
用 =
·
求夹角．
ȁȁȁȁ
立体几何的解
课后作业
课本第14、15页
1.课后练习第2、3题
2.习题1.2第4、5、6题
向量.
探究6 类比平面向量基本定理，如果空间的一个基底中的三个基向
量两两垂直,那么这个基底叫什么？
提示：叫做正交基底.
探究7 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，
那么这个基底叫什么？
提示：叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
探究8 什么叫做空间向量正交分解。
提示：把一个空间向量分解成三个两两互相垂直的向量，叫做把空间
2.用基底表示所给的向量
·
3.用 =
高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算课件
• 2.直观想象：向量运算的几何意义；
学习重难点
• 重点：理解空间向量的概念
• 难点：掌握空间向量的运算及其应用
空间向量及其运算
向量
平面向量VS空间向量
左图是一个做滑翔运动员的场景，
可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到
来自不同方向大小各异的力，例如绳索
的拉力，风力，重力等，显然这些力不
在同一个平内。
向量．
另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可
以得到:有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其
和不变.
A'
B'
D
A
C
B
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
探 对任意两个空间向量与，如果=λ (λ∈R)，与有什么位置关系?反过来，
究 与有什么位置关系时，=λ?
类似于平面问量共线的充要条件，对任意两个空间向量, (≠0)， ∥
联想，用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广
到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢？
下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和
表示开始。
知识点一 空间向量的概念
思考1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量。
空间向量的大小叫做向量的长度或模.
―→ ―→ ―→
(2)AA′＋ AB ＋B′C′.
解
→
→
→
→
→
→
AA′ ＋AB ＋B′C′ ＝(AA′ ＋AB )＋B′C′ ＝
→
→
→
→
→
AB′＋B′C′＝AC′.向量AD′、AC′如图所示.
课堂检测
如图，E，F分别是长方体ABCD -A'B'C'D'的棱AB，CD的中点．
学习重难点
• 重点：理解空间向量的概念
• 难点：掌握空间向量的运算及其应用
空间向量及其运算
向量
平面向量VS空间向量
左图是一个做滑翔运动员的场景，
可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到
来自不同方向大小各异的力，例如绳索
的拉力，风力，重力等，显然这些力不
在同一个平内。
向量．
另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可
以得到:有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其
和不变.
A'
B'
D
A
C
B
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
探 对任意两个空间向量与，如果=λ (λ∈R)，与有什么位置关系?反过来，
究 与有什么位置关系时，=λ?
类似于平面问量共线的充要条件，对任意两个空间向量, (≠0)， ∥
联想，用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广
到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢？
下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和
表示开始。
知识点一 空间向量的概念
思考1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量。
空间向量的大小叫做向量的长度或模.
―→ ―→ ―→
(2)AA′＋ AB ＋B′C′.
解
→
→
→
→
→
→
AA′ ＋AB ＋B′C′ ＝(AA′ ＋AB )＋B′C′ ＝
→
→
→
→
→
AB′＋B′C′＝AC′.向量AD′、AC′如图所示.
课堂检测
如图，E，F分别是长方体ABCD -A'B'C'D'的棱AB，CD的中点．
课件_人教版数学高中二年级选修-节空间向量及其运算复习PPT课件_优秀版
共线定理、共面定理的应用
【训练 2】 已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O， 若点 M 满足O→M＝1(O→A＋O→B＋O→C)．
3 (1)判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．
解 (1)由已知O→A＋O→B＋O→C＝3 O→M， ∴O→A －O→M＝ (O→M －O→B )＋(O→M －O→C)， 即M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C， ∴M→A，M→B，M→C共面． (2)由(1)知，M→A，M→B，M→C共面且基线过同一点 M， ∴四点 M，A，B，C 共面，从而点 M 在平面 ABC 内．
空间向量的数量积及其应用
【例3】如图所示，已知空间四边形的ABCD各边和对角线的长都等
于a ，点M , N分别是AB,CD 的中点．
在空间中，具有 的量叫做(空1间)向求量，证其大：M小叫N做向量A的B长度；或模(．2)求 MN 的长；
a1＝ b1，a2＝ b2，a3＝ 探究三 空间向量的数量
(b33 )求异面直线AN与CM
2.空间向量中的有关定理
(1)共线（平行）向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存
在λ∈R，使 a＝ b . (2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面 ⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝ xa＋yb . (3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一 向量 p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得 p＝ xa＋yb＋zc .
【例3】如图所示，已知空间四边形的 各边和对角线的长都等于 ，点 分别是 的中点．
（1）利用数量积解决问题的两种途径：
空间向量与立体几何复习课ppt课件
一、空间向量及其运算
（一）基本概念 1. 空间向量：空间中具有大小和方向的量 叫做向量． 2. 空间向量也用有向线段表示，并且同向且 等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
3. 向量的模：向量的大小叫向量的长度或 模。即表示向量的有向线段的长度。 4. 单位向量：模是 1 的向量。
5. 零向量：模是 0 的向量。零向量的方向 是任意的。有向线段的起点与终点重合。
a b
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向 量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
3.空间向量基本定理:如果两个向量 a 、b、c 不共面, 则对空间中的任意向量 p ，存在唯一的有序实数对 (x, y , z) 使 p xa yb zc .
(二)、空间角的向量方法：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法பைடு நூலகம்量分别为 u, v ，则
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos cosa b ；
2
直线 l 与平面 所成角 ( 0 ≤ ≤ ), sin cosa u ；
2
二面角 ─l ─ 的为 ( 0≤ ≤ ), cos cosu v.
中国历史上吸烟的历史和现状、所采 取的措 施以及 由此带 来的痛 苦和灾 难，可 以进一 步了解 吸烟对 人民健 康的危 害，提 高师生 的控烟 意识
理论知识点
一、空间向量及其运算
1、基本概念；
2、空间向量的运算；
3、三个定理；
4、坐标表示。
二、立体几何中的向量方法
1、判断直线、平面间的位置关系； 2、求解空间中的角度； 3、求解空间中的距离。
人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 复习课 第1课时 空间向量与立体几何
(
)
(12)若向量n与直线l的方向向量垂直,A∈l,P∉l,则点P到直线l的距离可以
看成是 在n上的投影向量的长度.(
)
(13)设直线l与平面α所成的角为θ,直线l的方向向量为u,平面α的法向量为
n,则cos θ=|cos<u,n>|. ( × )
专题归纳 核心突破
专题一
空间向量的线性运算
提示:空间向量共线的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充
要条件是存在实数λ,使a=λb.
空间向量共面的充要条件:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b
共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
2.空间向量基本定理与空间向量的坐标表示的内容是什么?
模就越大.(
)
(3)不论λ取什么实数,λa与a一定共线.(
)
(4)若a·b=0,则a,b中至少有一个为0.( × )
(5)若 a·b=k,则
a= 或
b= .
( × )
(6)对于三个不共面向量a1,a2,a3,不存在实数组(λ1,λ2,λ3),使
λ1a1+λ2a2+λ3a3=0.( × )
(7)已知 A,B,M,N 是空间四点,若{, , }是空间的一个基底,则
(2)平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥平面PBD?若存
在,确定N的位置;若不存在,说明理由.
分析:(1)证明向量垂直于平面 PAD 的一个法向量即可;
(2)假设存在点 N,设出其坐标,利用 ⊥ , ⊥ ,
列方程求其坐标即可.
解:以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角
)
(12)若向量n与直线l的方向向量垂直,A∈l,P∉l,则点P到直线l的距离可以
看成是 在n上的投影向量的长度.(
)
(13)设直线l与平面α所成的角为θ,直线l的方向向量为u,平面α的法向量为
n,则cos θ=|cos<u,n>|. ( × )
专题归纳 核心突破
专题一
空间向量的线性运算
提示:空间向量共线的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充
要条件是存在实数λ,使a=λb.
空间向量共面的充要条件:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b
共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
2.空间向量基本定理与空间向量的坐标表示的内容是什么?
模就越大.(
)
(3)不论λ取什么实数,λa与a一定共线.(
)
(4)若a·b=0,则a,b中至少有一个为0.( × )
(5)若 a·b=k,则
a= 或
b= .
( × )
(6)对于三个不共面向量a1,a2,a3,不存在实数组(λ1,λ2,λ3),使
λ1a1+λ2a2+λ3a3=0.( × )
(7)已知 A,B,M,N 是空间四点,若{, , }是空间的一个基底,则
(2)平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥平面PBD?若存
在,确定N的位置;若不存在,说明理由.
分析:(1)证明向量垂直于平面 PAD 的一个法向量即可;
(2)假设存在点 N,设出其坐标,利用 ⊥ , ⊥ ,
列方程求其坐标即可.
解:以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角
第一章空间向量复习课高中数学人教A版选择性必修1课件
①求点 到平面的距离；
②求直线 与平面所成角的正弦值；
③求二面角 − − 的大小.
解：①思路一：几何法
① 作、证、求
② 等体积法
思路二：代数法
= 斜向量∙单位法向量 = ∙ ||
③ 点的迁移
空间向量的应用：
二、空间量的计算
例2.如图，在边长为2的正方体 − 中，, 分别为, 的中点.
点, 分别为 和 的中点.
① 若 = ，求三棱柱 − 的体积；
② 证明： ∥平面 ；
③ 请问当′ 为何值时， ⊥平面 ？试证明你的结论
解：③思路一：几何法
思路二：代数法
线线垂直：共面用“勾股定理”、异面用“三垂线定理”、线面垂直
空间向量的应用：
一、位置关系的判断
线面垂直
线面平行
依据：向量共面、向量垂直
空间向量的应用：
一、位置关系的判断
例1.如图，已知三棱柱 − ′ ′ ′的侧棱垂直于底面， = = , ∠ = °，
点, 分别为′ 和′ ′的中点.
① 若′ = ，求三棱柱 − ′ ′ ′的体积；
线线垂直： ⊥ ⟺ ⊥ ⟺ ∙ =
法向量： ⊥平面 ， ⊥平面 ⟺ ∥
空间向量的应用：
二、空间量的计算
空间距离
空间的角
空间向量的应用：
二、空间量的计算
例2.如图，在边长为2的正方体 − 中，, 分别为, 的中点.
∥
2. 向量的坐标表示
若 , , , ( , , ), 则 = ( − , − , − )
若 , , , 则 = (, , )
②求直线 与平面所成角的正弦值；
③求二面角 − − 的大小.
解：①思路一：几何法
① 作、证、求
② 等体积法
思路二：代数法
= 斜向量∙单位法向量 = ∙ ||
③ 点的迁移
空间向量的应用：
二、空间量的计算
例2.如图，在边长为2的正方体 − 中，, 分别为, 的中点.
点, 分别为 和 的中点.
① 若 = ，求三棱柱 − 的体积；
② 证明： ∥平面 ；
③ 请问当′ 为何值时， ⊥平面 ？试证明你的结论
解：③思路一：几何法
思路二：代数法
线线垂直：共面用“勾股定理”、异面用“三垂线定理”、线面垂直
空间向量的应用：
一、位置关系的判断
线面垂直
线面平行
依据：向量共面、向量垂直
空间向量的应用：
一、位置关系的判断
例1.如图，已知三棱柱 − ′ ′ ′的侧棱垂直于底面， = = , ∠ = °，
点, 分别为′ 和′ ′的中点.
① 若′ = ，求三棱柱 − ′ ′ ′的体积；
线线垂直： ⊥ ⟺ ⊥ ⟺ ∙ =
法向量： ⊥平面 ， ⊥平面 ⟺ ∥
空间向量的应用：
二、空间量的计算
空间距离
空间的角
空间向量的应用：
二、空间量的计算
例2.如图，在边长为2的正方体 − 中，, 分别为, 的中点.
∥
2. 向量的坐标表示
若 , , , ( , , ), 则 = ( − , − , − )
若 , , , 则 = (, , )
空间向量及其线性运算(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
C D
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
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的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
人教版数学高中二年级选修2-1第三章第一节空间向量及其运算复习课件(共24张PPT)
为 60°.
MN ＝ AN － AM ＝1( AC ＋ AD)－1 AB＝1(q＋r－p)，
2பைடு நூலகம்
22
∴ MN ·AB＝1(q＋r－p)·p 2
＝1(q·p＋r·p－p2) 2
＝1(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. 2
∴ MN ⊥ AB.即 MN⊥AB.
(2)求 MN 的长； 解由(1)可知 MN ＝1(q＋r－p)，
(2)解 AC→′＝－a＋c，C→E＝b＋1c， 2
∴|AC→′|＝ 2|a|，|C→E|＝ 5|a|. 2
AC→′·C→E＝(－a＋c)·（b＋1c）＝1c2＝1|a|2， 2 22
∴cos〈A→C′，C→E〉＝
1|a|2 2
＝ 10.
2· 5|a|2 10
2
即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为 10. 10
A．2，1 2
B．－1，1 32
C．－3,2
D．2,2
3、已知 P(－2,0,2)，Q(－1,1,2)，R(－3,0,4)，设 a＝ PQ ，b＝ PR ，c＝ QR ，
若实数 k 使得 ka＋b 与 c 垂直，则 k 的值为___2_____．
(1)证明 设C→A＝a，C→B＝b，CC→′＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且 a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴C→E＝b＋1c，A→′D＝－c＋1b－1a，
2
22
∴C→E·A→′D＝－1c2＋1b2＝0. 22
∴C→E⊥A→′D，即 CE⊥A′D．
空间向量的数量积及其应用
【训练 3】 如图，在直三棱柱 ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′， ∠ACB＝90°，D，E 分别为 AB，BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值．
人教A版选择性必修第一册高中数学1.2空间向量基本定理精品课件
例题解析
例 5．在空间四点 O，A，B，C 中，若{O→A，O→B，O→C}是空间的一个基底，则下列说法不正确的是( B ) A．O，A，B，C 四点不共线 B．O，A，B，C 四点共面，但不共线 C．O，A，B，C 四点不共面 D．O，A，B，C 四点中任意三点不共线 选项 A 对应的说法是正确的，若四点共线，则向量O→A，O→B，O→C共面，构不成基底；选项 B 对应的说法是 错误的，若四点共面，则O→A，O→B，O→C共面，构不成基底；选项 C 对应的说法是正确的，若四点共面，则O→A， O→B，O→C构不成基底；选项 D 对应的说法是正确的，若有三点共线，则这四点共面，故向量O→A，O→B， O→C构不成基底．
D.M→A＝2M→B－M→C
A
111 中，因为3＋3＋3＝1，所以
M，A，B，C
四点共面；B
中，M→A≠M→B＋M→C，但可能M→A＝λM→B＋μM→C，
所以 M，A，B，C 四点可能共面；D 中，因为M→A＝2M→B－M→C，所以 M，A，B，C 四点共面． 故选 C.
例题解析
例 4．若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是( D )
例题解析
例 3．若向量M→A，M→B，M→C的起点 M 与终点 A，B，C 互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O 是空间
任一点)，则能使向量M→A，M→B，M→C构成空间的一个基底的关系是( C )
A.O→M＝13O→A＋13O→B＋13O→C
B.M→A≠M→B＋M→C
C.O→M＝O→A＋O→B＋O→C
xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3)＋z(e1－e2＋e3)＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)e2＋(x－y＋z)e3＝
2025版新教材高中数学第1章空间向量及其线性运算课件新人教A版选择性必修第一册
②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝±b； ③在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，必有A→C＝A→1C1；
④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ⑤在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，模与A→A1的模相等的向量一共有 4 个．
其中不正确的命题的个数是( C )
A．1
B．2
(2)方法一(转化为加法运算) (A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D－A→C＋B→D ＝A→B＋D→C＋C→A＋B→D ＝A→B＋B→D＋D→C＋C→A＝0. 方法二(转化为减法运算) (A→B－C→D)－(A→C－B→D) ＝(A→B－A→C)＋(B→D－C→D) ＝C→B＋B→C＝0.
提示：(1)三条直线不一定在同一平面内． (2)当M→A与M→B共线，M→P与M→A不共线时，x，y 不存在． (3)由 2a－b＝2·a＋(－1)·b 得 2a－b 与 a，b 共面．
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
空间向量及相关概念的理解
1．给出下列命题： ①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同；
C．3
D．4
[解析] 当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等； 但当两个向量相等时，它们的起点和终点均不一定相同，故①错；模相
等的两个向量不一定为相等向量或相反向量，故②错；根据正方体 ABCD －A1B1C1D1 中，向量A→C与A→1C1的方向相同，模也相等，必有A→C＝A→1C1， 故③正确；命题④显然正确；在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，与A→A1的模一定 相等的向量是A→1A，B→B1，B→1B，C→C1，C→1C，一共有 5 个．故⑤错．
[规律方法] 证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点 P、A、B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数 λ，使P→A＝λP→B成立． (2)对空间任一点 O，有O→P＝O→A＋tA→B(t∈R)． (3)对空间任一点 O，有O→P＝xO→A＋yO→B(x＋y＝1)．
高中数学第三章空间向量与立体几何章末复习课件新人教B版选修2_1
α⊥β⇔μ⊥v⇔_μ_·_v_＝__0_
l，m的夹角为θ
0≤θ≤π2，cos
|a·b| θ＝_|_a_||_b_| _
l，α的夹角为θ
0≤θ≤π2， sin
|a·μ| θ＝_|_a_||_μ_| _
|μ·v| α，β的夹角为θ 0≤θ≤π2， cos θ＝__|μ__||v_|__
2.用坐标法解决立体几何问题 步骤如下： (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)写出相关点的坐标及向量的坐标； (3)进行相关坐标的运算； (4)写出几何意义下的结论.
题型二 利用空间向量解决位置关系问题
例2 在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中 点，求证： (1)PC∥平面EBD；
(2)平面PBC⊥平面PCD.
反思感悟 (1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线 向量. (2)证明线面平行的方法 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. ②能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线. ③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量 是共面向量.
线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直
l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R l∥α⇔_a_⊥__μ_⇔_a_·_μ_＝__0_
α∥β⇔μ∥v⇔_μ_＝__k_v_，__k_∈__R_ l⊥m⇔_a_⊥__b__⇔_a_·_b_＝__0_
l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ，k∈R
面面垂直 线线夹角 线面夹角 面面夹角
跟踪训练2 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求证： 平面AED⊥平面A1FD1.
题型三 利用空间向量求角
例3 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点. (1)求点C到平面A1ABB1的距离；
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（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD （Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小
例题4
已 知 菱 形 ABCD， 其 边 长 为 2 ， ∠ BAD=60O， 今
以其对角线BD为棱将菱形折成直二面角，得
空间四边形ABCD（如图），求：
（a）AB与平面ADC的夹角；
二面角B-AD-C的大小。
A
D
B
C
小测
1 . 在 长 方 体 ABCD－A1B1C1D1 中 ， AB＝2，BC＝2，AA1＝6，
。
3、已知SABC是棱长为1的空间四边形，M、N分别是
AB，SC的中点，求异面直线SM，BN与所成角的余弦值
S
N
A
C
M B
坐标法
例1．在棱长为的正方体 中， ABC DA 1B 1C 1D 1 E F 分别是DD1, DB中点，
G在CD棱上，CG
（1）求证：EF B1C
1 4
CD
，H是C ；
1G
a (x1,y1,z1)
a•b x1x2 yb ab 对应坐
(2)P 、 A 、 B 三点 O 共 P (1t线 )O A tO
• 共面 (1)a,b,p共面 pxayb 可以a用 ,b表示 p
(2 )AB 四 C点 M O 共 ( M 1 x y 面 )O x O A y O B
高中数学课件____空间向量复习
空间向量基础知识
• 空间向量的坐标表示： A(x1, y1,z1) B(x2,y2,z2)
A B ( x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 )
• 空间向量的运算法则：若a(x1,y1,z1)b,(x2,y2,z2)
新疆 王新敞
奎屯
ab (x1 x2, y1 y2, z1 z2)
（2）求EF与C 1 G 所成的角的余弦；
的中点，
D1
C1
（3）求的FH长
A1
B1
E
H
D A
GC F
B
例题2
已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为 3 的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角， 如图2. （Ⅰ）证明：AC⊥BO1； （Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小.
例题3
如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形， 侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD
7.若 |a|3 ,|b|2 ,|ab|7,则 a 与 b的夹角为
.
8.设|m|＝1，|n|＝2，2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，
b＝7m＋2n，则 a , b ＝________
向量法
例题1．如图，在空间四边形ABCD中，E、F分 别是OC与AB的中点，求证EF1（ OA OBO） C
2O
若 OA 8 AB 6 BC 5 AC 4 8
OAC45 OAB60
A
求OA与BC夹角的余弦
F6
E
4
C
B5
例题2
在平行六面体 AB C A 1B D 1C 1D 中1 ，底面ABCD是边长a为
的正方形，侧棱长为b，且 A A 1 B 1 A A 1 D 1 1 2 0 （1）求A C 1 的长；
新疆
王新敞
奎屯
求(1)异面直线BD1和B1C所成角的余弦值
（2）BD1与平面AB1C的夹角
D1
C1
A1
B1
D A
C B
2、如图，RtΔABC在平面α内，∠ACB=900, 梯
形
ACDE
中,AC∥DE,CD⊥α,DE=1,AC=2,∠ECA=450,
求AE与BC之间的距离
（2）证明：AA1⊥BD， AC1⊥BD （3）求当a：b为多少时，能使AC1⊥BDA1
D1
C1
A1
D
B1 C
A
B
小测
1．棱长为a的正四面体 ABCD中，A B B C A C B D 。
2．向量a, b, c 两两夹角都是6 0 ， |a | 1 ,|b | 2 ,|c| 3，
则 |abc|
堂上基础训练题
1.已知点A（3，-5，7），点B（1，-4，2），则
AB
的坐
标是_______ ，AB中点坐标是______
| AB |
= ____
2. 已知a (2,3,b)与b (4,a,2)平行，则a+b=_____
3.与向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为（ ） A (1,7,5) B (1,-7,5) C(-1,-7,5) D (1,-7,-6)
4.已知A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），
若 |a| 3,且 aA,B aA,C 则向 a的量 坐标为
.
5.已知向量a(0,2,1) ，b(1,1,2)，a与b的夹角为____
6、已知 a =（2，-1，3），b =（-4，2，x），若a 与b 夹角是钝角，则x取值范围是_____
例题4
已 知 菱 形 ABCD， 其 边 长 为 2 ， ∠ BAD=60O， 今
以其对角线BD为棱将菱形折成直二面角，得
空间四边形ABCD（如图），求：
（a）AB与平面ADC的夹角；
二面角B-AD-C的大小。
A
D
B
C
小测
1 . 在 长 方 体 ABCD－A1B1C1D1 中 ， AB＝2，BC＝2，AA1＝6，
。
3、已知SABC是棱长为1的空间四边形，M、N分别是
AB，SC的中点，求异面直线SM，BN与所成角的余弦值
S
N
A
C
M B
坐标法
例1．在棱长为的正方体 中， ABC DA 1B 1C 1D 1 E F 分别是DD1, DB中点，
G在CD棱上，CG
（1）求证：EF B1C
1 4
CD
，H是C ；
1G
a (x1,y1,z1)
a•b x1x2 yb ab 对应坐
(2)P 、 A 、 B 三点 O 共 P (1t线 )O A tO
• 共面 (1)a,b,p共面 pxayb 可以a用 ,b表示 p
(2 )AB 四 C点 M O 共 ( M 1 x y 面 )O x O A y O B
高中数学课件____空间向量复习
空间向量基础知识
• 空间向量的坐标表示： A(x1, y1,z1) B(x2,y2,z2)
A B ( x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 )
• 空间向量的运算法则：若a(x1,y1,z1)b,(x2,y2,z2)
新疆 王新敞
奎屯
ab (x1 x2, y1 y2, z1 z2)
（2）求EF与C 1 G 所成的角的余弦；
的中点，
D1
C1
（3）求的FH长
A1
B1
E
H
D A
GC F
B
例题2
已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为 3 的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角， 如图2. （Ⅰ）证明：AC⊥BO1； （Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小.
例题3
如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形， 侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD
7.若 |a|3 ,|b|2 ,|ab|7,则 a 与 b的夹角为
.
8.设|m|＝1，|n|＝2，2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，
b＝7m＋2n，则 a , b ＝________
向量法
例题1．如图，在空间四边形ABCD中，E、F分 别是OC与AB的中点，求证EF1（ OA OBO） C
2O
若 OA 8 AB 6 BC 5 AC 4 8
OAC45 OAB60
A
求OA与BC夹角的余弦
F6
E
4
C
B5
例题2
在平行六面体 AB C A 1B D 1C 1D 中1 ，底面ABCD是边长a为
的正方形，侧棱长为b，且 A A 1 B 1 A A 1 D 1 1 2 0 （1）求A C 1 的长；
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求(1)异面直线BD1和B1C所成角的余弦值
（2）BD1与平面AB1C的夹角
D1
C1
A1
B1
D A
C B
2、如图，RtΔABC在平面α内，∠ACB=900, 梯
形
ACDE
中,AC∥DE,CD⊥α,DE=1,AC=2,∠ECA=450,
求AE与BC之间的距离
（2）证明：AA1⊥BD， AC1⊥BD （3）求当a：b为多少时，能使AC1⊥BDA1
D1
C1
A1
D
B1 C
A
B
小测
1．棱长为a的正四面体 ABCD中，A B B C A C B D 。
2．向量a, b, c 两两夹角都是6 0 ， |a | 1 ,|b | 2 ,|c| 3，
则 |abc|
堂上基础训练题
1.已知点A（3，-5，7），点B（1，-4，2），则
AB
的坐
标是_______ ，AB中点坐标是______
| AB |
= ____
2. 已知a (2,3,b)与b (4,a,2)平行，则a+b=_____
3.与向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为（ ） A (1,7,5) B (1,-7,5) C(-1,-7,5) D (1,-7,-6)
4.已知A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），
若 |a| 3,且 aA,B aA,C 则向 a的量 坐标为
.
5.已知向量a(0,2,1) ，b(1,1,2)，a与b的夹角为____
6、已知 a =（2，-1，3），b =（-4，2，x），若a 与b 夹角是钝角，则x取值范围是_____