第5讲高一竞赛教师..
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N sin θ − μ ( mB g + N cos θ ) = mB a ，
mA ( mA + mB ) g ( tan θ − μ ) ． mB
【例12】 质量为 m 的物体由劲度系数为 k 的轻弹簧固定在天花板上，开始时物体放在 ．求当板开始以加速度 a 下降 板 P 上，弹簧未伸长，弹簧轴是竖直的（如图） 时，弹簧的最大伸长量 L ．作出函数 L ( a ) 的图象． 【解析】 当物体开始下降的加速度 a ≤ g 时，物体 m 受到重力 mg ，弹簧弹力 FT 和板 对物体的支持力 FN ．当 m 与板恰好分离时，支持力 FN = 0 ，加速度 a 不变， 此时弹簧伸长 l0 ，根据牛顿第二定律
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桌面之间的静摩擦因数和动摩擦因数均为 μ ． 开始时 A 、B 均静止， 现施一水平推力 F 作用于 A ， 要使 A 、 B 向右加速运动且 A 、 B 之间不发生相对滑动，则： ⑴ μ 的数值应满足什么条件？ ⑵ 推力 F 的最大值不能超过多少？（不考虑转动） 【解析】 ⑴ 设 A 、 B 之间的相互作用力为 N ， A 、 B 的加速度为 a ，要使 A 、 B 向右加速运动且 A 、 B 之间不发生相对滑动，必须同时满足下列两式： 对A N cos θ ≤ mA g ，
对B
N sin θ − μ ( mB g + N cos θ ) = mB a > 0 ，
由以上两式可解得： mA μ< tan θ ． mA + mB ⑵ 当 A 即将离开水平面时，推力 F 取最大值，由牛顿第二定律有： N cos θ = mA g ， 对A 对B 对 A 、 B 整体 F − μ ( mA g + mB g ) = ( mA + mB ) a ， 由以上各式可解得： F =
N1 + N 2 − mg = 0 ．②
上式中 N1 、 N 2 分别是前轮和后轮上得到的向上的正压力．相对于质 心坐标系，列出转动定律的方程．在质心系中，车静止， M = 0 ，对 质心来说， fh + N1l − N 2 l = 0 ．③ 由 ① ~ ③ 可求出 f 、 N1 、 N 2 ．
f ≤ μ N2 ， 2al 得μ≥ ． ah + gl
例题精讲
【例4】 应用：如图所示，吊篮 P 挂在天花板上，与吊篮质量相等的物体 Q 被固 定在吊篮中的轻弹簧托住，当悬挂吊篮的细绳被烧断瞬间，P、Q 的加速 度分别是多少？ 【解析】 略。 答：2g ；0 。 【例5】 如图所示，木柜宽 2l ，其重心高度为 h ，把木柜放在车上，车以加速度 a 启动，试冷新木柜在车上滑动、翻倒的条件，以防止事故发生． 【解析】 思路同第 4 题，过程略． L gL gL 当 μ < 时， a < μ g 不滑动也不翻倒； μg < a < ， 滑动但不翻倒； ， a> h h h 既滑又翻倒． L gL 当 μ > 时， a < 不滑动也不翻倒； h h gL μg > a > ，不滑动但翻倒； a > μ g 既滑又翻倒． h 【例6】 本来静止如图所示，用力 F 拉 m ．已知 F > ( M + m ) g
第五讲 牛顿定来自百度文库和惯性力方法
知识点睛
超重或失重现象是由加速度引起的，这是从惯性参考系中看问题。加速度参考系（譬如电梯）中的观察者 往往看不清自己的参考系有没有加速度，他似乎感到有一种神秘的力（失重时向上，超重时向下）作用到 他身上。在非惯性系中的观察者因参考系本身的加速度而感到的这种额外的力。在非惯性系中的观察者因 参考系本身的加速度而感受到的这种额外的力，叫做惯性力。在公共汽车刹车时乘客感受到向前倾的力， 就属于惯性力。 惯性力 f 惯 与参参系的加速度 a 和物体惯性质量 m惯 成正比，其方向总与参考系的加速度相反：
⎛ kL ⎞ ⎛ a⎞ 把①式化成 ⎜1 − ⎟ + ⎜1 − ⎟ = 1 ，为一椭圆方程． L ( a ) 图象如图所示． mg g ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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⑵ 若 k2 与 m2 的相连处的 B 点突然断开，在断开的瞬时， m1 和 m2 的加速度又各为多少？
【解析】 ⑴ a1 =
m1 + m2 g ， a2 = 0 m1 m ⑵ a1 = 2 g ， a2 = g m1
【例10】 如图所示为一小车，车的上、下两根绳系住一质量为 m 的小球， 小车向右作匀加速运动，从静止开始经时间 t 后位移为 s ，此时 两根绳都受到拉力，求两根绳所受拉力的大小．小车的加速度为 多大时 BC 绳的拉力变为零？ m ⎛ 2S g ⎞ + 【解析】 T1 = ⎜ 2 ⎟ ， a = g tan θ 2 ⎝ t sin θ cos θ ⎠ m ⎛ 2S g ⎞ − T2 = ⎜ 2 ⎟ 2 ⎝ t sin θ cos θ ⎠ 【例11】 如图所示， A 、 B 两木块质量分别为 mA 和 mB ，紧挨着并排放在水平桌 面上， A 、 B 间的接触面是光滑的，且与水平面成 θ 角． A 、 B 和水平
【例3】 如图所示为一光滑钢丝，在它上面套有一小环，钢丝形状以 y 轴为对称，当 小环可在任何位置上相对钢丝静止， 用方 它以角速度 ω 绕 y 轴匀速旋转时，
程 y = y ( x ) 表示出钢丝的形状．
【解析】 套在钢丝上的小环受重力 mg ，竖直向下，钢丝对小环的正压力为法向，以 钢丝为旋转参照系，小环还受到惯性离心力 f * ，在如图所示的坐标系中， 设小环坐标为 x 、 y ，则惯性离心力为
f * = mω 2 xi ① 由题意，小环应能静止在任何位置，也即在钢丝上的任一位置，小环受到的切向力为零，因此将 三力沿切向分解，设在钢丝上任一点的切线与
x 轴的夹角为 θ ，则 mg sin θ = mω 2 x cos θ 由②式得
tan θ =
②
x ③ g 而由几何关系和数学上导数的定义，有 dy tan θ = ④ dx 由③、④两式相等，化为积分式，得
ω2
∫
y
o
dy = ∫
x
ω2
g
o
xdx
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x2 2g 此即为所求钢丝曲线的方程．
解得 y =
ω2
知识点睛
牛顿定律的应用： 牛顿定律的应用在物理竞赛中主要是： 1． 超失重问题：转换一个有竖直方向上加速度的参考系就可以得到超失重的现象。要深入理解超失 重的本质。重力本身不改变，改变的是“感受”到的“重力” 。 2． 瞬态问题：弹簧中的力是不能突变的，而绳子中的力是可以突变的。 3． 分离问题：物理竞赛中经常涉及分离问题。分离的临界条件：支持力为零。速度沿着分离方向相 等。
f 惯 = −m惯 a 。
应强调，在惯性系中是没有惯性力的。
例题精讲
【例1】 如图所示，在以恒定加速度 a 行驶的车厢内，有一长为 l 、质量为 m 的均匀棒 AB 靠在光滑的后 壁上，棒与厢底面之间的摩擦因数为 μ ．为了使棒不滑动，棒与竖直平面所成的夹角 θ 应在什么 范围内？
【解析】 以棒为研究对象，在车厢这个非惯性系中， θ 最大时 B 端的摩擦力向左， θ 最小时，其摩擦力向 右． θ 最大时，棒受到的力如图所示． 根据力平衡和力矩平衡方程，有： 水平方向 N1 = f + ma ，竖直方向 N 2 = mg ， l l 以 B 为轴 mg sin θ + ma cos θ = N1l cos θ ， 2 2 棒刚好不滑动时， f = μ N 2 ． a + 2μ g 由以上各式可解得 θ 的最大值 θ max = arctan ． g a − 2μ g 求 θ 的最小值时，只需将 f 反向，即可解 θ min = arctan ． g
mg − kl0 = ma ， m 与板分离时，物体 m 的速度
kl ⎞ ⎛ v0 = 2al0 = 2l0 ⎜ g − 0 ⎟ ． m⎠ ⎝ m 与板分离后，在竖直方向作简谐运动．研究分离瞬间至 m 下降到最低点这段过程，根据机械能 守恒定律 1 1 2 ， mg ( L − l0 ) − k ( L2 − l02 ) = 0 − mv0 2 2 代入可得 mg ⎛ a⎛ a ⎞⎞ ⎜1 + L= 2− ⎟⎟ ① ⎜ k ⎜ g⎝ g ⎠⎟ ⎝ ⎠ 当板开始下降的加速度 a > g 时，刚开始运动，板与物体 m 便分离， m 沿竖直方向作简谐运动， mg 2mg 振幅 A = ，因此弹簧的最大伸长 L = 2 A = ． k k mg ⎛ a⎛ a ⎞⎞ 2mg ⎜1 + ⎟ ；当 a > g 时， L = 2 ． 综上所述：当 a ≤ g 时， L = − ⎜ ⎟ k ⎜ g⎝ g ⎠⎟ k ⎝ ⎠
⑴ F 为恒力，上升到 h = ? 时分开． ⑵ 如果匀加速 a 上升，经过 t = ? 分开？
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【例7】 已知 μ ，问 F 为多大能让 B 掉下 C ？
【例8】 如图 10 所示，甲图系着小球的是两根轻绳，乙图系着 小球的是一根轻弹簧和轻绳，方位角θ已知。现将它们 的水平绳剪断，试求：在剪断瞬间，两种情形下小球的 瞬时加速度。 【解析】 第一步，阐明绳子弹力和弹簧弹力的区别。 （学生活动）思考：用竖直的绳和弹簧悬吊小球，并用竖直 向下的力拉住小球静止，然后同时释放，会有什么现象？原因是 什么？ 结论——绳子的弹力可以突变而弹簧的弹力不能突变（胡克定律） 。 第二步，在本例中，突破“绳子的拉力如何瞬时调节”这一难点（从即将开始的运动来反推） 。 知识点，牛顿第二定律的瞬时性。 答案：a 甲 = gsinθ ；a 乙 = gtgθ 。 【例9】 如图所示，两根劲度系数分别为 k1 和 k2 的质量不计的弹簧与质量分别为 m1 和 m2 的两个物体串吊 起来， ⑴ 若 k1 与 m1 相连处的 A 点突然断开，在断开的瞬时，物体 m1 和 m2 的加速度各为多少？
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【例2】 汽车质量为 m ，前后轮相距 2l ，质心在前、后轮中点，离地高度为 h ，如图所示．汽车是后轮传 动的，发动引擎使汽车获得加速度 a ．问地面与后轮的摩擦系数 μ 最小为多少时，才得以避免打 滑？可略去前轮所受摩擦力以及机件各部分的摩擦． 【解析】 以地面为参考系，研究汽车质心的运动．地面给后轮竖直向上的正压 力 N 2 ，发动引擎使汽车后轮加速转动，这就使后轮的着地点有向后 滑动的趋势，因此地面给后轮向前的摩擦力．由质心运动定理有 f = ma ，①
mA ( mA + mB ) g ( tan θ − μ ) ． mB
【例12】 质量为 m 的物体由劲度系数为 k 的轻弹簧固定在天花板上，开始时物体放在 ．求当板开始以加速度 a 下降 板 P 上，弹簧未伸长，弹簧轴是竖直的（如图） 时，弹簧的最大伸长量 L ．作出函数 L ( a ) 的图象． 【解析】 当物体开始下降的加速度 a ≤ g 时，物体 m 受到重力 mg ，弹簧弹力 FT 和板 对物体的支持力 FN ．当 m 与板恰好分离时，支持力 FN = 0 ，加速度 a 不变， 此时弹簧伸长 l0 ，根据牛顿第二定律
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桌面之间的静摩擦因数和动摩擦因数均为 μ ． 开始时 A 、B 均静止， 现施一水平推力 F 作用于 A ， 要使 A 、 B 向右加速运动且 A 、 B 之间不发生相对滑动，则： ⑴ μ 的数值应满足什么条件？ ⑵ 推力 F 的最大值不能超过多少？（不考虑转动） 【解析】 ⑴ 设 A 、 B 之间的相互作用力为 N ， A 、 B 的加速度为 a ，要使 A 、 B 向右加速运动且 A 、 B 之间不发生相对滑动，必须同时满足下列两式： 对A N cos θ ≤ mA g ，
对B
N sin θ − μ ( mB g + N cos θ ) = mB a > 0 ，
由以上两式可解得： mA μ< tan θ ． mA + mB ⑵ 当 A 即将离开水平面时，推力 F 取最大值，由牛顿第二定律有： N cos θ = mA g ， 对A 对B 对 A 、 B 整体 F − μ ( mA g + mB g ) = ( mA + mB ) a ， 由以上各式可解得： F =
N1 + N 2 − mg = 0 ．②
上式中 N1 、 N 2 分别是前轮和后轮上得到的向上的正压力．相对于质 心坐标系，列出转动定律的方程．在质心系中，车静止， M = 0 ，对 质心来说， fh + N1l − N 2 l = 0 ．③ 由 ① ~ ③ 可求出 f 、 N1 、 N 2 ．
f ≤ μ N2 ， 2al 得μ≥ ． ah + gl
例题精讲
【例4】 应用：如图所示，吊篮 P 挂在天花板上，与吊篮质量相等的物体 Q 被固 定在吊篮中的轻弹簧托住，当悬挂吊篮的细绳被烧断瞬间，P、Q 的加速 度分别是多少？ 【解析】 略。 答：2g ；0 。 【例5】 如图所示，木柜宽 2l ，其重心高度为 h ，把木柜放在车上，车以加速度 a 启动，试冷新木柜在车上滑动、翻倒的条件，以防止事故发生． 【解析】 思路同第 4 题，过程略． L gL gL 当 μ < 时， a < μ g 不滑动也不翻倒； μg < a < ， 滑动但不翻倒； ， a> h h h 既滑又翻倒． L gL 当 μ > 时， a < 不滑动也不翻倒； h h gL μg > a > ，不滑动但翻倒； a > μ g 既滑又翻倒． h 【例6】 本来静止如图所示，用力 F 拉 m ．已知 F > ( M + m ) g
第五讲 牛顿定来自百度文库和惯性力方法
知识点睛
超重或失重现象是由加速度引起的，这是从惯性参考系中看问题。加速度参考系（譬如电梯）中的观察者 往往看不清自己的参考系有没有加速度，他似乎感到有一种神秘的力（失重时向上，超重时向下）作用到 他身上。在非惯性系中的观察者因参考系本身的加速度而感到的这种额外的力。在非惯性系中的观察者因 参考系本身的加速度而感受到的这种额外的力，叫做惯性力。在公共汽车刹车时乘客感受到向前倾的力， 就属于惯性力。 惯性力 f 惯 与参参系的加速度 a 和物体惯性质量 m惯 成正比，其方向总与参考系的加速度相反：
⎛ kL ⎞ ⎛ a⎞ 把①式化成 ⎜1 − ⎟ + ⎜1 − ⎟ = 1 ，为一椭圆方程． L ( a ) 图象如图所示． mg g ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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⑵ 若 k2 与 m2 的相连处的 B 点突然断开，在断开的瞬时， m1 和 m2 的加速度又各为多少？
【解析】 ⑴ a1 =
m1 + m2 g ， a2 = 0 m1 m ⑵ a1 = 2 g ， a2 = g m1
【例10】 如图所示为一小车，车的上、下两根绳系住一质量为 m 的小球， 小车向右作匀加速运动，从静止开始经时间 t 后位移为 s ，此时 两根绳都受到拉力，求两根绳所受拉力的大小．小车的加速度为 多大时 BC 绳的拉力变为零？ m ⎛ 2S g ⎞ + 【解析】 T1 = ⎜ 2 ⎟ ， a = g tan θ 2 ⎝ t sin θ cos θ ⎠ m ⎛ 2S g ⎞ − T2 = ⎜ 2 ⎟ 2 ⎝ t sin θ cos θ ⎠ 【例11】 如图所示， A 、 B 两木块质量分别为 mA 和 mB ，紧挨着并排放在水平桌 面上， A 、 B 间的接触面是光滑的，且与水平面成 θ 角． A 、 B 和水平
【例3】 如图所示为一光滑钢丝，在它上面套有一小环，钢丝形状以 y 轴为对称，当 小环可在任何位置上相对钢丝静止， 用方 它以角速度 ω 绕 y 轴匀速旋转时，
程 y = y ( x ) 表示出钢丝的形状．
【解析】 套在钢丝上的小环受重力 mg ，竖直向下，钢丝对小环的正压力为法向，以 钢丝为旋转参照系，小环还受到惯性离心力 f * ，在如图所示的坐标系中， 设小环坐标为 x 、 y ，则惯性离心力为
f * = mω 2 xi ① 由题意，小环应能静止在任何位置，也即在钢丝上的任一位置，小环受到的切向力为零，因此将 三力沿切向分解，设在钢丝上任一点的切线与
x 轴的夹角为 θ ，则 mg sin θ = mω 2 x cos θ 由②式得
tan θ =
②
x ③ g 而由几何关系和数学上导数的定义，有 dy tan θ = ④ dx 由③、④两式相等，化为积分式，得
ω2
∫
y
o
dy = ∫
x
ω2
g
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xdx
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x2 2g 此即为所求钢丝曲线的方程．
解得 y =
ω2
知识点睛
牛顿定律的应用： 牛顿定律的应用在物理竞赛中主要是： 1． 超失重问题：转换一个有竖直方向上加速度的参考系就可以得到超失重的现象。要深入理解超失 重的本质。重力本身不改变，改变的是“感受”到的“重力” 。 2． 瞬态问题：弹簧中的力是不能突变的，而绳子中的力是可以突变的。 3． 分离问题：物理竞赛中经常涉及分离问题。分离的临界条件：支持力为零。速度沿着分离方向相 等。
f 惯 = −m惯 a 。
应强调，在惯性系中是没有惯性力的。
例题精讲
【例1】 如图所示，在以恒定加速度 a 行驶的车厢内，有一长为 l 、质量为 m 的均匀棒 AB 靠在光滑的后 壁上，棒与厢底面之间的摩擦因数为 μ ．为了使棒不滑动，棒与竖直平面所成的夹角 θ 应在什么 范围内？
【解析】 以棒为研究对象，在车厢这个非惯性系中， θ 最大时 B 端的摩擦力向左， θ 最小时，其摩擦力向 右． θ 最大时，棒受到的力如图所示． 根据力平衡和力矩平衡方程，有： 水平方向 N1 = f + ma ，竖直方向 N 2 = mg ， l l 以 B 为轴 mg sin θ + ma cos θ = N1l cos θ ， 2 2 棒刚好不滑动时， f = μ N 2 ． a + 2μ g 由以上各式可解得 θ 的最大值 θ max = arctan ． g a − 2μ g 求 θ 的最小值时，只需将 f 反向，即可解 θ min = arctan ． g
mg − kl0 = ma ， m 与板分离时，物体 m 的速度
kl ⎞ ⎛ v0 = 2al0 = 2l0 ⎜ g − 0 ⎟ ． m⎠ ⎝ m 与板分离后，在竖直方向作简谐运动．研究分离瞬间至 m 下降到最低点这段过程，根据机械能 守恒定律 1 1 2 ， mg ( L − l0 ) − k ( L2 − l02 ) = 0 − mv0 2 2 代入可得 mg ⎛ a⎛ a ⎞⎞ ⎜1 + L= 2− ⎟⎟ ① ⎜ k ⎜ g⎝ g ⎠⎟ ⎝ ⎠ 当板开始下降的加速度 a > g 时，刚开始运动，板与物体 m 便分离， m 沿竖直方向作简谐运动， mg 2mg 振幅 A = ，因此弹簧的最大伸长 L = 2 A = ． k k mg ⎛ a⎛ a ⎞⎞ 2mg ⎜1 + ⎟ ；当 a > g 时， L = 2 ． 综上所述：当 a ≤ g 时， L = − ⎜ ⎟ k ⎜ g⎝ g ⎠⎟ k ⎝ ⎠
⑴ F 为恒力，上升到 h = ? 时分开． ⑵ 如果匀加速 a 上升，经过 t = ? 分开？
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【例7】 已知 μ ，问 F 为多大能让 B 掉下 C ？
【例8】 如图 10 所示，甲图系着小球的是两根轻绳，乙图系着 小球的是一根轻弹簧和轻绳，方位角θ已知。现将它们 的水平绳剪断，试求：在剪断瞬间，两种情形下小球的 瞬时加速度。 【解析】 第一步，阐明绳子弹力和弹簧弹力的区别。 （学生活动）思考：用竖直的绳和弹簧悬吊小球，并用竖直 向下的力拉住小球静止，然后同时释放，会有什么现象？原因是 什么？ 结论——绳子的弹力可以突变而弹簧的弹力不能突变（胡克定律） 。 第二步，在本例中，突破“绳子的拉力如何瞬时调节”这一难点（从即将开始的运动来反推） 。 知识点，牛顿第二定律的瞬时性。 答案：a 甲 = gsinθ ；a 乙 = gtgθ 。 【例9】 如图所示，两根劲度系数分别为 k1 和 k2 的质量不计的弹簧与质量分别为 m1 和 m2 的两个物体串吊 起来， ⑴ 若 k1 与 m1 相连处的 A 点突然断开，在断开的瞬时，物体 m1 和 m2 的加速度各为多少？
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【例2】 汽车质量为 m ，前后轮相距 2l ，质心在前、后轮中点，离地高度为 h ，如图所示．汽车是后轮传 动的，发动引擎使汽车获得加速度 a ．问地面与后轮的摩擦系数 μ 最小为多少时，才得以避免打 滑？可略去前轮所受摩擦力以及机件各部分的摩擦． 【解析】 以地面为参考系，研究汽车质心的运动．地面给后轮竖直向上的正压 力 N 2 ，发动引擎使汽车后轮加速转动，这就使后轮的着地点有向后 滑动的趋势，因此地面给后轮向前的摩擦力．由质心运动定理有 f = ma ，①