§4.6 抛物面

§4.6 抛物面

一、椭圆抛物面

1．在直角坐标系下,由方程

+＝2z

所表示的曲面叫做椭圆抛物面, 该方程叫做椭圆抛物面的标准方程, 其

中a, b为任意正常数.

2. 椭圆抛物面的图形（如图4-7）.

(1) 曲面的对称性：椭圆抛物面关于yOz, zOx坐标面以及z轴对称, 但它没有对称中心, 它与对称轴交于点(0, 0, 0), 这点叫做椭圆抛物面的顶点.

(2) 曲面与坐标轴的交点：椭圆抛物面通过坐标原点, 且除原点外, 曲面与三坐标轴没有别的交点.

(3) 曲面的存在范围：椭圆抛物面全部在xOy坐标面的一侧, 即在z≥0的一侧.

(4) 被坐标面截得的曲线

①②③

①表示一点(0, 0, 0), 而②与③分别为xOz与yOz坐标面上的抛物线, 它们有着相同的顶点和相同的对称轴即z轴, 开口都向着z轴的正向,都叫做椭圆抛物面的主抛物线.

(5) 被坐标平面的平行平面所截得的曲线：用平行于xOy坐标面的平行平面z＝h(h>0)来截椭圆抛物面, 得截线方程为

+＝1. ④

椭圆抛物面可看成是由椭圆族④所生成, 这族椭圆中的每一个椭圆所在的平面与xOy坐标面平行, 两顶点分别在双曲线②与③上.

用平行于xOz坐标面的平面y＝k来截割椭圆抛物面,所截得的曲线为抛物线

用平行于yOz坐标面的平面来截椭圆抛物面所得的截线也是抛物线.

若a＝b, 则椭圆抛物面就是旋转抛物面.

3. 椭圆抛物面的参数方程为

(u, v是参数)

二、双曲抛物面

1. 在直角坐标系下, 由方程

－＝2z

所表示的曲面叫做双曲抛物面, 如图5-8, 该方程叫做双曲抛

物面的标准方程, 其中a, b为任意正常数.

2. 双曲抛物面的图形（如图4-8）.

(1) 曲面的对称性：双曲抛物面关于xOz坐标面, yOz坐标面以及z轴都对称, 但它没有对称中心.

(2) 曲面与坐标轴的交点：双曲抛物面通过原点, 且除原点外与三坐标轴没有其它交点.

(3) 被坐标面所截得的曲线：双曲抛物面被xOy坐标面截得的曲线方程为

⑤这是一对相交于原点的直线

与

被xOz与yOz坐标面截得的曲线方程分别为

⑥⑦这两抛物线叫做双曲抛物面的主抛物线, 它们有着相同的顶点与相同的对称轴, 即z轴, 但开口方向相反.

(4) 被坐标面的平行平面所截得的曲线：用平行于xOy坐标面的平面z＝h来截割双曲抛物面, 得截线方程为

⑧

这是双曲线, 当h>0时, 双曲线⑧的实轴与x轴平行, 虚轴与y轴平行, 顶点(±a, 0, h)在主抛物线⑥上; 当h<0时,双曲线⑧的实轴与y轴平行, 虚轴与x轴平行, 顶点(0, ±

b,h)在主抛物线⑦上.

用分别平行于xOz与yOz坐标面的平面y＝k与x＝t来截曲面,其截线都是抛物线, 方程分别为

⑨⑩抛物线⑨的对称轴平行于z轴, 且开口方向与z轴正向相同, 顶点(0, k, －)在主抛物线⑦上; 抛物线⑩的对称轴也平行于z轴, 但开口方向与z轴的正向相反, 顶点(t, 0,

)在主抛物线⑥上.

双曲抛物面也叫做马鞍曲面.

椭圆抛物面与双曲抛物面统称为抛物面, 它们都没有对称中心,所以又都叫做无心二次曲面.

3. 双曲抛物面的参数方程为

(u, v为参数)

例1. 在空间直角坐标系中, 求与直线

l1：＝＝和l2：＝＝

共面且与平面 ：x－y－5＝0平行的直线所组成的轨迹.

解：设满足条件的直线方程为

＝＝，

由直线与l1共面得

＝0,

或 (4y0＋z0－4)X＋(－4x0＋z0＋4)Y＋(－x0－y0＋z)Z=0. ①

由直线与l2共面得

＝0,

或z0X＋z0Y＋(―x0―y0)Z＝0. ②由直线平行于平面π得

X－Y＝0. ③因为X, Y, Z不全为零, 所以由上面①、②、③构成的齐次线性方程组应有非零解, 因而

＝0,

化简得x02－y02＝z0.

其中 (x0, y0, z0) 表示所求直线上的点, 从而满足条件的直线所组成的轨迹是

双曲抛物面x2－y2＝z.

例2. 适当选取坐标系, 求下列轨迹的方程：

(1) 到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹;

(2) 与两给定异面直线等距离的点的轨迹,已知两异面直线之间的距离为2a, 夹角为2α.

解:(1) 设定点到定平面的距离为h>0, 常数c>0. 取定平面为xOy平面, z轴垂直于定平面并通过定点建立直角坐标系, 设定点坐标为(0, 0, h), 动点坐标为(x, y, z), 依题意有

，

化简整理得

x2+y2+(1－c2)z2－2hz＋h2＝0.

讨论：当h＝0时, 方程为x2+y2+(1－c2)z2＝0,

(i) c>1时为圆锥面;

(ii) c＝1时为z轴;

(iii) c<1时为一点(0, 0, 0).

当h≠0时,

(i) c>1时为旋转双叶双曲面;

(ii) c＝1时为旋转抛物面;

(iii) c<1时为旋转椭球面.

(2) 取两异面直线的公垂线为z轴, 公垂线中点为原点, 并取轴与两异面直线成等角建立空间直角坐标系, 设公垂线与两异面直线的交点分别为E (0, 0, a), F (0, 0, －a).

则两异面直线的方向矢量分别为＝{cosα, sinα, 0}, ＝{cosα, －sinα,

0}.

设动点为P(x, y, z), 依题意有

＝,

即 |{cosα, sinα, 0}×{x, y, z－a}|＝|{ cosα, －sinα, 0}×{x, y, z+a}|,

化简整理得

2az＋xy sin2α＝0.

该曲面表示一个双曲抛物面.

例3.画出下列各组曲面所围成的立体的图形：

(1) y＝0, z＝0, 3x＋y＝6, 3x＋2y＝12, x＋y＋z＝6；

(2) x2+y2＝z, 三坐标面, x＋y＝1;

(3) x＝, ＝x, y＝1；

(4) x2＋y2＝1, y2＋z2＝1.

解：如下图