第六章--机器人动力学

由已知条件可得
0 r 2m m2 5kg
rmax1m/s mzx1s1 0
则有


D 1
2m2rr
196 2 5 2 11
216kg m2 / s2
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第六章 机器人动力学
解： （3）手臂水平，并伸至全长，承受最大转动加速度，m2 5kg
式中第一项为惯性项，第二项为哥氏项，第三项为重力项。
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第六章 机器人动力学
（2）求移动力 Fr
通过线运动执行元件施加的直线力
L r

m 2 r
d L L
Fr
dtr
r
d dt
L r

m2r
L rm2r2m2gsin
则 F r m 2 r m 2 r2 m 2 g sin
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第六章 机器人动力学
（2）求势能 V
根据势能的公式 V mgh
（式中 h 为垂直高度），
则
对于 m 1 有 V1m1g1rsin
对于 m 2 有 V2m2gsrin
得总势能 V V 1 V 2 m 1 g 1 sri n m 2 g sr in
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第六章 机器人动力学
6.2.1 用于保守系统的拉格朗日方程
保守系统：没有能量损失的系统。 保守力：作功与路径无关，只与位置有关的力。如重力、弹力等
在《分析力学》中Lagrange是用s个独立变量来描述力学体系 的 运 动 ， 这 是 一 组 二 阶 微 分 方 程 。 通 常 把 这 一 方 程 叫 做 Lagrange 方程，其基本形式为
由已知条件可得
0 r 2m m2 5kg
r0 ma x1s2
则有

D 1

m1r12
m2r2

196 1012 522 1
226kgm2 / s2
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第六章 机器人动力学
结果分析：
(1) D 1 为重力项，通常它远大于其它项；
操作机的物理学模型
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第六章 机器人动力学
6.3.2 建立拉格朗日函数
（1）求动能T
先对 m 1 求 T 1
显然 x1 r1 cos y1 r1 sin
于是 x1 r1sin y1 r1cos
0
而
r1 0
由于 v12 x12 y12
式中第一项为惯性项，第二项为向心项，第三项为重力项。
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第六章 机器人动力学
6.3.4 应用实例分析 例6-1 已知：对于 r 操作机，
N
r
M
m2
r1
m1

o
操作机的物理学模型
m 1 1 0 k g , r1 1 m
m2 1 ~ 5kg, r 1 ~ 2m m ax 1 s 1 , rm ax 1m / s m ax 1 s 2 , rm ax 1m / s 2
（3）求得拉格朗日函数L
L T V 1 2 m 1 r 1 2 2 1 2 m 2 r 2 1 2 m 2 r 2 2 m 1 g 1 sr i m n 2 g sr in
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第六章 机器人动力学
6.3.3 广义力的计算
（1）求力矩
d dt

L qi

L qi

Qi
i1,2,3.....s....
其中， q1,q2,...q,s 是所研究力学体系的广义坐标；
Q1,Q2,...Q,s 是作用在此力学体系上的广义力；
L
是系统总能量。
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T 1 Mv2 2
第六章 机器人动力学
6.2.2 用于非保守系统的拉格朗日方程
F
q
为作用在系统上的广义力；
i
T、V、D是系统总的动能、势能和耗散能，分别为
D＝ 1 f2
2
f---为滑动摩擦系数
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第六章 机器人动力学
6.2.3 拉格朗日函数方法
对于具有外力作用的保守机械系统，其拉格朗日动力函数L
可定义为
LTV
式中 T——系统总的动能； V——系统总的势能
对于下面的三种工作情况，试估算力矩 T 。
（1） 手臂水平，并伸至全长，静止，m2 5kg
（2）手臂水平，并伸至全长，r , 以最大速率运动，m2 5kg
（3）手臂水平，并伸至全长，承受最大转动加速度，m2 5kg
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第六章 机器人动力学
解：（1） 手臂水平，并伸至全长，静止，m2 5kg
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《机器人机构设计CAD》
The End of Chapt. 6
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若操作机的执行元件控制某个转动变量θ时，则执行元件的总
力矩 应为
ddtLL
若操作机的执行元件控制某个移动变量r时，则施加在运动方 向r上的力应为
Fr ddtLr Lr
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第六章 机器人动力学
6.2.4 拉格朗日方程的特点
（1）方程的数目=自由度数目； （2）只需分析已知的主动力，不必分析未知的
(2)
当

900
时，即当手臂垂直时，D 1
0
，可见重力
负载的变化很大；
(3) 当 , r 很小时，包含 , r 的项趋于零；
(4) 通常采用只包括重力项和惯性项的公式就可得到
比较满意的结果，即采用如下简化公式
D 1m 1 r 1 2m 2 r2
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y2 rsinrcos
v2 2 r c o s rsin 2 r sin rc o2s
r 2 r22
则 得总动能
T2 12m2 r2r22
T T 1 T 21 2m 1 r 1 221 2m 2 r 21 2m 2 r22
《机器人பைடு நூலகம்构设计CAD》
第六章 机器人动力学
丛德宏
东北大学人工智能与机器人研究所
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第六章 机器人动力学
6.1 机器人动力学研究概述
前面讨论的是机器人的运动学问题。本章将研 究在运动学基础上考虑力对有一定质量和惯量的物
体运动的影响，从而引入机器人动力学问题。
机器人动力学研究机器人动态方程的建立，它 是一组描述机器人动态特性的数学方程；
约束反力； （3）只需从两方面分析：表征系统运动的动力
学量——系统的动能，表征主动力作用的动 力学量——广义力。 因此大大简化建模过程。
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第六章 机器人动力学
6.3 r操作机的动力学分析
6.3.1 r 操作机的动力学模型
加上负载的 r操作机
N
r
M
m2
r1
m1
o
机器人动力学是机器人动态特性分析的基础， 有利于运动仿真、控制方程的设计、结构和运动设 计。
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第六章 机器人动力学
目前主要采用两种理论来建立数学模型： （1)动力学基本理论，如牛顿—欧拉方程。
采用动态平衡法，需求得加速度，消去内力，系统复 杂时，分析起来很复杂、麻烦； （2)拉格朗日方函数法。 采用功能平衡法，只需速度，不必求内作用力，非常 简便。 如同运动学，动力学也有两个相反问题： 正问题：已知各关节作用力或力矩，求各关节位移、 速度、加速度。 逆问题：已知各关节位移、速度、加速度，求各关节 所需的驱动力或力矩。
绕转动执行元件施加的力矩 ddtLL L m1r12m2r2
d d t L m 1r12m 2r22m 2rr
Lgcosm 1r1m2r
则
( m 1 r 1 2 m 2 r 2 ) 2 m 2 r r g c m o 1 r 1 m 2 s r
非保守系统：有能量损失的系统。 非保守力：作功与路径有关的力。如摩擦力等
对于同时受到保守力和耗散力作用的、由n个关节部件 组成的机械系统，其Lagrange方程应为
ddtqT i qTi q Vi q D i Fqi
其中，q i 为广义坐标，表示为系统中的线位移或角位移的变量；
机器人动力学是一个及其复杂的仍处于发展中的 课题，本章只讨论动力学中的最基本概念：多刚体动 力学的动力学逆问体。
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第六章 机器人动力学
6.2 拉格朗日动力学方法
分析力学是Lagrange 在1788年大型著作 《分析力学》的基础上发展起来的处理力学 问题的新方法。该方法借助于广义坐标（关 节变量），按照能量原理来描述动力学问题。 这里主要介绍拉格朗日动力学程的一般表达 式。
由已知条件可得
0 r 2m m2 5kg r0
则有 m1r1m2rgcosD1 101529.81
196N.m
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第六章 机器人动力学
解： （2）手臂水平，并伸至全长，r , 以最大速率运动，m2 5kg
r122 sin2 r122 cos2 r122
根据动能的公式
T1

1 2
m1r122
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第六章 机器人动力学
再对 m 2 求 T 2
由于 x2 r cos y2 r sin
且 0 r 0
有 x2 rcosrsin