常微分方程期末考试练习题及答案.

一，常微分方程的基本概念

常微分方程：

含一个白变量x,未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F (x, y, y …y(n)) =0 (n 丰0).

1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。

如：f(x)⑶ +3f(x)+x=f(x) 为 3 阶方程。

2. 若f (x)使常微分方程两端恒等，则f (x)称为常微分方程的解。

3. 含有独立的任意个常数(个数等于方程的阶数)的方程的解称为常微

分方程的通解。如常系数三阶微分方程F (t , x(3)) =0的通解的形式为：x (t) =cx (t) +C2x (t) +C3x (t )。

4.

满足初值条件的解称为它的特解(特解不唯一，亦可能不存在) 。

5. 常微分方程之线性及非线性：对于F (x, y, y…y(n)) =0而言，如果方程之左端是y, y'…y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。(方程线性与否与白变量无关)。如：xy⑵-5y +3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y⑵+siny=0为非线性微分方程。

注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。

b.教材28页第八题不妨做做。

二.可分离变量的方程

1. 定义：形如dy=f (x) 4 (y)的方程，称为分离变量方程。这里f

dx

(x), § (x)分别是x, y的连续函数。

2. 解法：分离变量法』芸七=J

f (x)dx+c. (*)

说明：a由于(*)是建立在§ (y)乒0的基础上，故而可能漏解。

需视情况补上§ (y) =0的特解。(有时候特解也可以和通解统一于

一式中)

b.不需考虑因白变量引起的分母为零的情况。

例 1. ydx (x2-4x)dy =0

解：由题意分离变量得：2dx dy=0

x -4 y

即：1(工-1)dx 业=。

4 x —4 x y

积分之，得:1(ln x—4 —In x)+ln y =c

故原方程通解为：(x-4)y4=cx (c为任意常数)，特解y=0

包含在通解中(即两者统一于一式中)。

*例2.若连续函数f (x)满足f(x)T f(：)dt+|n2,则f (x)是？

解：对给定的积分方程两边关于x求导，得：

f' (x) = 2 f (x) (变上限求积分求导)

分离变量，解之得：f(x)=Ce2x

由原方程知：f (0) =In2 ,代入上解析式得：

C=ln2 ,

解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知条件，设法将其转化为已经解决的问题来解决。故可把一些常微分方程方程，通过适当变形，转化为大家熟悉的变量分离方程，进而解决之。

类型1.1.形式：形如^=g(y)(2.2 )

dx x

的方程，此类方程称为齐次微分方程，这里g (u)是u的连续函数。

1. 解法：作变量变换u= - , (

2.3)

x

即y=ux，从而：^^ =x du +u (2.4) dx dx

将(2.3) (2.4)代入(2.2 ),则原方程变为：

du _ g(u) u dx x

这是一个变量分离方程，可按照A中的方法求解。

例3.求解方程：史= (x + y)2 dx

解：令u=x+y ,贝U y=u-x , 于是：我=业_1

dx dx

于是，原方程可化为：也-1=u2 dx

分离变量得：?u〔 =dx

积分之，得: arctanu=x+c

变量回代，既得方程之通解：

arctan (x+y) =x+c

例 4 求命军方程x(ln x —ln y)dy - ydx = 0.

解：由题意可得：ln有尸-~dx =0 , y x

即：d x _ m y (2.5) dy y x

令-=u，贝fjx=uy,于是：^nWy+u, y dy dy

代入(2.5)得：空y+u=y , dy u

分离变量，并整理得：一四一=也

u(ln u —1) y

两边积分得：——^^——=曳，令u=e t

u(ln u -1) y

则有：[―d^ [-dy , 从而有：lnt-1 =ln y+lnc , t 一1 ■ y

(c>0).

即：t —1=±cy ，变量回代得:ln- =C 1y +1 ( G =±C ) y

类型二：形式：业=门"

对0

dx

解法：1.当c 〔=c 2=0时，

dy = f (&x 叫 dx a 2x b 2y

x

2. 当色=%3时，

a 2

b 2

dy ，(a 2x b 2y) G —=f ( ------------------------ dx a 2x b 2y c 2 du f dy f CI

a 2

b 2 ——=a 2 b 2 f ( )

dx dx u c 2

a 2x

b 2

c 2

)=g(")

x

转化为齐次方程。

)=g (

a 2x

b 2y

)

a 2x+

b 2y=u,贝