常微分方程期末考试练习题及答案.
《常微分方程》考试参考答案（A卷）
《常微分方程》考试参考答案（A卷）《常微分方程》考试参考答案（A 卷）一、填空题（每空2分，共30分）1、()dy y g dx x = ln y x c x=+ 2、()()dy f x y dx= 2x y e = 3、2222M N y x= 4、1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-5、存在不全为0的常数12,k c c c ，使得恒等式11()()0k k c x tc x t +=对于所有[,]t a b ∈ 都成立()0w t ≡6、412341011i i λλλλλ-===-==- 1234cos sin t t x c e c e c tc t -=+++7、322x xy y c -+=二、判断题（每题2分，共10分）1、√2、×3、×4、√5、√三、计算题（每题15分，共60分）1、解：231()dy y dx x x y +=+ 变量分离231y dx dy y x x =++ 两边积分2221(1)1211y x dx dx y x xλ+=-++ 2211ln 1ln ln 122y x x +=-+ 22ln(1)(1)2ln ||y x x ++=从而解得通解为：222(1)(1)x y cx ++=2、解：先求30dx x dt+=的通解：33dt t x ce ce --?== 利用常数变易法，令原方程解为3()t x c t e -= 解得：3223551()5dt t t t t t c t e e dt c e e dt c e dt c e c --?=+=+=+=+ ∴原方程的通解为：533211()55t t t t x e c e ce e --=+=+3、解：先求对应齐线性方程：(4)20x x x ''-+=的通解特征函数42()210F λλλ=-+= 123411λλ==-从而通解为：1234()()t t x c c t e c c t e -=+++ 现求原方程一个特解，这里：2()30f t t λ=-= 0λ=不是特征根，即原方程有形如：2x At Bt c =++的特解把它代入原方程有：2243A At Bt C t -+++=- 解得101A B C ===21x t =+ ∴原方程通解为：21234()()1t t x e c c t e c c t t -=+++++4、解：令cos sin y p t x t '==?=2cos dy pdx tdt == 原方程的通解为：11sin 242y t t c =++ 5、解：由111x y +≤≤得112011a b x y ==-≤≤-≤≤ 从而()(,)4222x y Rf M max f x y y y L y -∈?===-=≤=?∴11min(,)min(1,)44b h a M === 从而解存在区间为114x +≤ 231123221327()011()3311()[()]3311111139186342o o x x x y x x dx x x x x dx x x x x --====+=-+=---+?? 2(21)1(21)!24o ML y y h +-≤=+。
常微分期末试题及答案
常微分期末试题及答案[正文开始]第一部分：选择题1. 若函数 f(x) = 3x^2 + 2x + c 在区间 [0, 1] 上是增函数，则实数 c 的取值范围是：A) c > 1/4B) c > -1/4C) c < 1/4D) c < -1/4答案：A) c > 1/4解析：当 f(x) 是增函数时，f'(x) > 0。
对于 f(x) = 3x^2 + 2x + c，求导得到 f'(x) = 6x + 2。
显然当 x > -1/3 时，f'(x) > 0，即 c > 1/4。
2. 解微分方程 dy/dx = x^2 + 1 的通解为：A) y = (1/3)x^3 + x + CB) y = (1/3)x^3 + CC) y = (1/3)x^2 + x + CD) y = (1/3)x^2 + C答案：A) y = (1/3)x^3 + x + C解析：对方程 dy/dx = x^2 + 1 进行积分，得到 y = (1/3)x^3 + x + C，其中 C 为积分常数。
3. 设三角函数f(x) = sin(2x + π/3)，则 f'(x) = ？A) 2cos(2x + π/3)B) 2cos(2x - π/3)C) 2cos(2x)D) 2cos(2x + π/6)答案：B) 2cos(2x - π/3)解析：根据链式法则，对sin(2x + π/3) 求导，得到 f'(x) = 2cos(2x +π/3) * 2 = 2cos(2x - π/3)。
4. 设 f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，则 f(g(2)) = ？A) e^2B) e^3C) 2D) ln(2)答案：A) e^2解析：首先求 g(2) = ln(2)，然后将结果代入 f(x) = e^x 中计算，得到 f(g(2)) = f(ln(2)) = e^ln(2) = 2。
常微分方程期末试题答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ．22d d y x x y+=2. 方程组的任何一个解的图象是 n+1 维n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 空间中的一条积分曲线.3．连续是保证方程初值唯一的 充分 条件．),(y x f y '),(d d y x f xy=4．方程组的奇点的类型是 中心⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d )0,0( 5．方程的通解是2)(21y y x y '+'=221C Cx y +=6．变量可分离方程的积分因子是()()()()0=+dy y q x p dx y N x M ()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要)(1x y ϕ=)(2x y ϕ=条件是 线性无关8．方程的基本解组是440y y y '''++=x x x 22e ,e--二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程的积分因子是（ A ）．d ()()d yp x y q x x+=（A ）（B ）（C ）（D ）⎰=xx p d )(e μ⎰=xx q d )(e μ⎰=-xx p d )(e μ⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程是（ B ）0d )ln (d ln =-+y y x x y y （A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A)(B)1±=x 1±=y (C ), (D ), 1±=y 1±=x 1=y 1=x12．阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．n （A ）构成一个线性空间（B ）构成一个维线性空间1-n（C ）构成一个维线性空间（D ）不能构成一个线性空间1+n 13．方程（ D ）奇解．222+-='x y y （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
常微分方程期末试题标准答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
常微分期末考试试题和答案
《 常微分方程 》期末考试试卷（1）班级 学号 姓名 成绩.一、填空（每格3分，共30分）1、方程(,)(,)M x y d x N x y d y +=有只与x有关的积分因子的充要条件是 。
2、若12(),(),,()n x t x t x t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是 。
3、若()t Φ和()t ψ都是'()x A t x=的基解矩阵，则()t Φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。
4、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如果 。
5、当 时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程。
6、若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x的解 。
7、若()(1,2,,)i x t i n =为n 阶齐线性方程()()1()()0n n n x a t x a t x +++=的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为 。
8、求dxdy=f(x,y)满足00()y x y =的解等价于求积分方程 的解。
9、如果),(y x f 在R 上 且关于y 满足李普希兹条件，则方程),(y x f dxdy=存在唯一的解)(x y ϕ=，定义于区间h x x ≤-0上，连续且满足初始条件00)(y x =ϕ，其中h = ，),(max ),(y x f M Ry x ∈=。
二、计算题(每题10分,共50分)10、求方程 221dy y dx xy x y +=+ 的解。
11、求方程2dyx y dx=-通过点(1,0)的第二次近似解。
12、求非齐线性方程sin x xt ''+=的特解。
13、求解恰当方程 0)4()3(2=---dy x y dx x y 。
《常微分方程》期末模拟试题
《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分）1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。
2、一阶微分方程2=dyx dx的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 21=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 24=+y x ，满足条件33ydx =⎰的解为 22=-y x 。
3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。
4、对方程2()dyx y dx=+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。
5、方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有 无数 个解。
6、方程''21=-y x的通解为 4212122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为421912264=-++x x y x 。
7、方程x x y xy+-=d d 无 奇解。
8、微分方程2260--=d y dyy dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dyz dx dz z y dx。
9、方程y xy=d d 的奇解是 y=0 。
10、35323+=d y dy x dx dx是 3 阶常微分方程。
11、方程22dyx y dx=+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。
12、微分方程22450d y dy y dx dx--=通解为 512-=+x xy C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组45⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dy z dxdz z y dx。
13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()y x y x ϕϕ==成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。
14、设1342A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则线性微分方程组dXAX dt =有基解矩阵 25253()4φ--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦t t t t e e t ee 。
常微分方程期末考试练习题及答案.
（ c>0） .
即： t 1
cy ，变量回代得：
x ln
c1 y +1 ( c1
c)
y
类型二： 形式： dy f ( a1x b1y c1 )
dx
a 2 x b2 c2
解法： 1. 当 c1=c2=0 时，
y
dy
f ( a1x b1y )
a1 f(
b1 x )
g( y)
dx
a2 x b2 y
y a2 b2 x
dx
分离变量得： dy dx ，两边同时积分，
y
得： y cex ，因而可设原方程的通解为： y c( x)ex ，则 dy dc( x) ex exc( x) ，
dx dx
将之入原方程，得：
dc( x) ex exc(x) c( x)ex sin x ，即： dc( x)
dx
dx
两边积分得： c(x) sin xe xdx ，而
a2 b2
a1x b1y c1 0
解方程组｛ a2x b2y c2 0 ，求交点 ( , ) , 令 x=X+α ， y Y ，则原方程化为： dX ( Y )
dY X
这是齐次方程。
例 5. 求解方程 dy 2x y 1 .
dx x 2 y 1
x1
解：｛ 2x y 1 0 得交点
x 2y 1 0
｛
y
M N ， (x, y) D .
yx
3. 解的形式： u c.
4. 解法： a. 朴素化简法：由 u M ，得 u( x, y) M ( x, y)dx ( y) ，
x
再由 u N ，得 ( y) y4 N (x, y)
常微分方程期末综合练习参考解答
“常微分方程”课程综合练习参考解答一、填空题1．满足||1y <的条形区域 2．全平面 3． }0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面）4．00(,)d x x y y f s y s =+⎰5．充分6．),(∞+-∞ 7．221CCx y +=8．0=y ，1=y 9．1,1±=±=x y 10．2 11．必要 12．xxx x x W sin cos cos sin )(-=13．⎪⎩⎪⎨⎧--='='yx xy y y y 211114．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==yx g y x f xy y x y)()(d d d d 11115．e ,e x xx 16．恒等于零 17．线性无关 18．稳定焦点 19．不稳定结点20．0),(),(0000==y x Q y x P 21．)0,0(，)0,1(- 22．齐次23． ,2,1,0,±±==k k y24．)()]()([1211x y x y x y C +- 25．不能 26．相切 27．满足012>-y的平面区域28．任何一点不为零 29．n +130．n31．线性无关二、单项选择题1．C 2．D 3． B 4．B 5．A 6．C 7．D 8．A 9．C 10．C 11．B 12．C 13．D 14．C 15．A 16．A 17．B 18．D 19．C 20．A 21．D 22．B 23．C 24．C 25．C 26．A 27．D 28．D 29．A 30．B 31．B 32．B三、计算题(求下列方程的通解或通积分) 1．解 齐次方程的通解为： xC y =设原方程的通解为： xx C y )(=代入原方程，得 C x x C +=4)(4所以，原方程的通解为： )41(14x C xy +=2．解 将方程改写为d d y y xx=+ 令y u x=，则y xu u ''=+代入上式得d d u xx=分离变量积分得 a r c s in l n u x C =+原方程的通积分为： a r c s i n l n ||yx C x=+ …3．解 分离变量积分，得e d (sin )d yy x x x C =++⎰⎰21eco s 2yx x C =-+4．解 )3e (),(22y x y x M x +=，y x y x N 32),(=xN y x yM ∂∂==∂∂26因此，原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为 C x y x x xx =+⎰0222)d 3e ( 或 C x y x x x xxx =+⎰⎰02202d 3d e 即 C y x x x x =++-232e )22( 5．解 因为xN x yM ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy y x =-⎰⎰2d d 2即 C yy x =-32316．解 因为21M N yxx∂∂=-=∂∂，所以原方程是全微分方程．取00(,)(1,0)x y =，原方程的通积分为21(e )d d xy xy x y C x-+=⎰⎰即 e xy C x+=7． 解 令p y ='，则221p px +=，原方程的参数形式为⎪⎩⎪⎨⎧='+=p y p p x 221由x y y d d '=，有 pp pp pp y )d 221()d 2121(d 2+-=+-=积分有：Cpp y ++-=241ln 21得原方程参数形式通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+=C p p y p p x 241ln 212218．解 方程改写成22s i n 0y y y x y'''--=即 c o s 0y x y ''⎛⎫+= ⎪⎝⎭有11d co s d y x C y x+=积分，得通积分： 12ln ||sin y x C x C +=+ 9．解 积分因子为 21)(x x =μ原方程的通积分为： 1012d d )(eC y x xy y x x=+-⎰⎰即 1e ,e C C C xy x+==+10．解 原方程是恰当导数方程，可写成 0)(3='+'x y y 即 13C x y y =+' 分离变量解此方程，通积分为24124121C xx C y+-=11．解 特征方程12||(2)(1)034A E λλλλλ----==--=-特征根122,1λλ==12λ=对应的特征向量为23⎛⎫⎪-⎝⎭21λ=对应的特征向量为11⎛⎫⎪-⎝⎭原方程的通解为：2122e 2e e 3e t t t t x C C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭12．解 特征方程23||(1)(1)012A E λλλλλ---==+-=--特征根为 121,1λλ==-。
数学系常微分方程期末试卷及答案
数学系常微分方程期末试卷及答案题目一考虑常微分方程：$$\\frac{{dy}}{{dx}} + 2xy = x^2$$1.求该常微分方程的通解。
2.求通过点(0,1)的特解。
3.求满足初值条件y(0)=2的特解。
解答：1.首先对方程进行整理得到：$$\\frac{{dy}}{{dx}} = x^2 - 2xy$$这是一个一阶线性非齐次常微分方程，我们可以使用常数变易法求其通解。
设通解为y=y(y)y(y)，代入原方程中，得到：$$u(x)\\frac{{dv}}{{dx}} + v(x)\\frac{{du}}{{dx}} +2xu(x)v(x) = x^2 - 2xu(x)v(x)$$化简得到：$$v(x)\\frac{{du}}{{dx}} = x^2$$将$v(x)\\frac{{du}}{{dx}}$作为整个等式的导数进行积分，得到：$$\\int v(x)\\frac{{du}}{{dx}}dx = \\int x^2dx$$对等式两边进行积分得到：$$\\int v(x)du = \\int x^2dx$$对右侧积分得到$\\frac{{1}}{{3}}x^3 + C_1$，对左侧进行积分得到：$$v(x)u + C_2 = \\frac{{1}}{{3}}x^3 + C_1$$其中，y1和y2为积分常数。
对方程两边整理得到：$$u(x)v(x) = \\frac{{1}}{{3}}x^3 + C$$其中y=y1−y2为常数。
由于y和y的乘积等于y，因此通解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + Cu(x)$$2.要求通过点(0,1)，即y(0)=1的特解。
将y=0和y=1代入通解中，得到：1=0+yy(0)由此得到y=1，特解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + u(x)$$3.要求满足初值条件y(0)=2的特解。
将y=0和y=2代入通解中，得到：2=0+yy(0)由此得到y=2，特解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + 2u(x)$$题目二已知常微分方程：$$\\frac{{dy}}{{dx}} = x^2y + 2x$$1.求该常微分方程的通解。
常微分期末考试试题和答案a#
《常微分方程》期终测试试卷<A ）<适用班级：班）下属学院_________________班级_________姓名____________成绩______________________。
2、一阶方程0=+Ndy Mdx ，若存在可微函数)0)(,(≠μy x 使_____________ _________________________时，称),(y x μ为这个方程的积分因子。
3、____________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换____________________，可化为伯努利方程。
4、对R y x y x ∈∀),(),,(21，存在常数)0(>N ，使____________________则称),(y x f 在R 上关于y 满足李普希兹条件。
5、若)(x ϕ为毕卡逼近序列)}({x n ϕ的极限，则有≤ϕ-ϕ|)()(|x x n _________。
6、方程22y x dx dy +=定义在矩形域R ：22≤≤-x ，22≤≤-y 上，则经过点)0,0(解的存在区间是__________________。
7、若),,3,2,1)((n i t x i =是n 阶齐线性方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n 的n 个解，)(t w 为其伏朗基斯行列式，则)(t w 满足一阶线性方程__________________。
8、设0)(1≠t x 是二阶齐线性方程0)()(21=+'+'x t a x t a x 的一个解，则该方程的通解为____________________________________________。
9、若),,3,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的通解为_____________________________。
(完整版)常微分方程期末试题答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
齐鲁师范学院成人高等教育期末考试常微分方程复习资料及参考答案
常微分方程(405)复习资料一、单选题1、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略2、A.1/eB.1/2C.2D.e参考答案:B答案解析:略3、下列函数组在定义域内线性无关的是（）A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略4、A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略5、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略6、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略7、下列方程中为常微分方程的是（）A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略8、下列方程中为常微分方程的是（）A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略9、A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略10、A.B.C.D.参考答案:C答案解析:略11、A.1B.1/2C.D.参考答案:D答案解析:略12、A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略13、A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略14、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略15、A.B.C.D.参考答案:D 答案解析:略16、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略17、下列方程中为常微分方程的是（）A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略18、A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略19、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略20、A.有一个B.有二个C.无D.有无数个参考答案:C答案解析:略21、A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略22、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略23、下列方程中为常微分方程的是（）A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略24、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略25、下列函数组在定义域内线性无关的是（）A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略26、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:C答案解析:略27、A.B.C.D.参考答案:C答案解析:略4、下列函数组在定义域内线性无关的是（）A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略5、A.B.C.D.参考答案:D 答案解析:略1、A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略2、A.B.C.D.参考答案:B 答案解析:略3、A.B.C.D.参考答案:C 答案解析:略4、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略5、A.上半平面B.xoy平面C.下半平面D.除y轴外的全平面参考答案:D答案解析:略6、下列函数组在定义域内线性无关的是（）A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略7、A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略8、下列方程中为常微分方程的是（）A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略9、A.B.C.D.参考答案:B 答案解析:略10、A.B.C.D.参考答案:D 答案解析:略11、A.是所给微分方程的通解B.不是所给微分方程的通解C.是所给微分方程的特解D.可能是所给微分方程的通解也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解参考答案:D答案解析:略12、下列方程中为常微分方程的是（）A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略13、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略14、n阶线性非齐次微分方程的所有解（）．A.构成一个线性空间B.构成一个n-1维线性空间C.构成一个n+1维线性空间D.不能构成一个线性空间参考答案:D答案解析:略15、下列方程中为常微分方程的是（）A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略16、A.1B.1/2C.D.参考答案:D答案解析:略17、A.B.C.D.参考答案:B 答案解析:略18、A.B.C.D.参考答案:D 答案解析:略19、A.B.C.D.参考答案:D 答案解析:略20、A.B.C.D.参考答案:D 答案解析:略21、A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略22、A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略23、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:C答案解析:略24、A.B.C.D.参考答案:C 答案解析:略25、A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略26、A.B.C.D.参考答案:C 答案解析:略27、A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略6、A.B.C.D.参考答案:B 答案解析:略7、A.B.C.D.参考答案:C 答案解析:略8、A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略9、A.B.C.D.参考答案:B 答案解析:略10、A.B.C.D.参考答案:C 答案解析:略11、A.B.C.D.参考答案:C答案解析:略12、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略13、下列方程中为常微分方程的是（）A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略14、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:C答案解析:略15、A.B.C.D.参考答案:C答案解析:略16、A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略17、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:B答案解析:略18、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略19、A.B.C.D.参考答案:B 答案解析:略20、A.B.C.D.参考答案:A 答案解析:略21、n阶线性非齐次微分方程的所有解（）．A.构成一个线性空间B.构成一个n-1维线性空间C.构成一个n+1维线性空间D.不能构成一个线性空间参考答案:D答案解析:略22、下列微分方程是线性的是（）A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略23、A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略24、A.上半平面B.xoy平面C.下半平面D.除y轴外的全平面参考答案:D答案解析:略25、A.1/eB.1/2C.2D.e参考答案:B答案解析:略26、A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略27、下列函数组在定义域内线性无关的是（）A.B.C.D.参考答案:A答案解析:略28、n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个A.nB.n-1C.n+1D.n+2参考答案:A答案解析:略29、A.是所给微分方程的通解B.不是所给微分方程的通解C.是所给微分方程的特解D.可能是所给微分方程的通解也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解参考答案:D答案解析:略30、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略二、名词解释1、解析方法参考答案:是把微分方程的解看作是依靠这个方程来定义的自变量的函数答案解析:无2、几何方法参考答案:(或定性方法)把微分方程的解看作是充满平面或空间或其局部的曲线族答案解析:无3、常微分方程参考答案:如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，称这种微分方程为常微分方程。
常微分期末考试题及答案
常微分期末考试题及答案**常微分期末考试题及答案**一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 微分方程 \( y' = 2x \) 的通解是（）A. \( y = x^2 + C \)B. \( y = 2x + C \)C. \( y = 2x^2 + C \)D. \( y = x^2 + 2C \)2. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的特征方程是（）A. \( r^2 + 4 = 0 \)B. \( r^2 - 4 = 0 \)C. \( r^2 + 4r = 0 \)D. \( r^2 - 4r = 0 \)3. 微分方程 \( y' = \frac{y}{x} \) 的通解是（）A. \( y = Cx \)B. \( y = Cx^2 \)C. \( y = Cx^{-1} \)D. \( y = Cx^{-2} \)4. 微分方程 \( y' + 2y = 0 \) 的通解是（）A. \( y = Ce^{-2x} \)B. \( y = Ce^{2x} \)C. \( y = Cxe^{-2x} \)D. \( y = Cxe^{2x} \)5. 微分方程 \( y' = 3y \) 的通解是（）A. \( y = Ce^{3x} \)B. \( y = Ce^{-3x} \)C. \( y = 3Ce^{3x} \)D. \( y = 3Ce^{-3x} \)6. 微分方程 \( y'' - 5y' + 6y = 0 \) 的特征方程是（）A. \( r^2 - 5r + 6 = 0 \)B. \( r^2 + 5r + 6 = 0 \)C. \( r^2 - 5r - 6 = 0 \)D. \( r^2 + 5r - 6 = 0 \)7. 微分方程 \( y' = 2xy \) 的通解是（）A. \( y = Cxe^{x^2} \)B. \( y = Cxe^{-x^2} \)C. \( y = Cx^2e^{x^2} \)D. \( y = Cx^2e^{-x^2} \)8. 微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解是（）A. \( y = C_1 \cos x + C_2 \sin x \)B. \( y = C_1 \sin x + C_2 \cos x \)C. \( y = C_1 \cosh x + C_2 \sinh x \)D. \( y = C_1 \sinh x + C_2 \cosh x \)9. 微分方程 \( y' = \frac{1}{y} \) 的通解是（）A. \( y = Cx + 1 \)B. \( y = Cx - 1 \)C. \( y = \frac{1}{Cx + 1} \)D. \( y = \frac{1}{Cx - 1} \)10. 微分方程 \( y'' + 4y' + 4y = 0 \) 的特征方程是（）A. \( r^2 + 4r + 4 = 0 \)B. \( r^2 - 4r + 4 = 0 \)C. \( r^2 + 4r - 4 = 0 \)D. \( r^2 - 4r - 4 = 0 \)**答案：**1. A2. A3. A4. A5. A6. A7. A8. A9. C10. A二、填空题（每题5分，共30分）1. 微分方程 \( y' = 3x^2 \) 的通解是 \( y = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
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一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个白变量x,未知数y及若干阶导数的方程式。
一般形式为：F (x, y, y …y(n)) =0 (n 丰0).1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。
如：f(x)⑶ +3f(x)+x=f(x) 为 3 阶方程。
2. 若f (x)使常微分方程两端恒等，则f (x)称为常微分方程的解。
3. 含有独立的任意个常数(个数等于方程的阶数)的方程的解称为常微分方程的通解。
如常系数三阶微分方程F (t , x(3)) =0的通解的形式为：x (t) =cx (t) +C2x (t) +C3x (t )。
4.满足初值条件的解称为它的特解(特解不唯一，亦可能不存在) 。
5. 常微分方程之线性及非线性：对于F (x, y, y…y(n)) =0而言，如果方程之左端是y, y'…y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。
(方程线性与否与白变量无关)。
如：xy⑵-5y +3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y⑵+siny=0为非线性微分方程。
注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。
余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。
另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。
b.教材28页第八题不妨做做。
二.可分离变量的方程1. 定义：形如dy=f (x) 4 (y)的方程，称为分离变量方程。
这里fdx(x), § (x)分别是x, y的连续函数。
2. 解法：分离变量法』芸七=Jf (x)dx+c. (*)说明：a由于(*)是建立在§ (y)乒0的基础上，故而可能漏解。
需视情况补上§ (y) =0的特解。
(有时候特解也可以和通解统一于一式中)b.不需考虑因白变量引起的分母为零的情况。
例 1. ydx (x2-4x)dy =0解：由题意分离变量得：2dx dy=0x -4 y即：1(工-1)dx 业=。
4 x —4 x y积分之，得:1(ln x—4 —In x)+ln y =c故原方程通解为：(x-4)y4=cx (c为任意常数)，特解y=0包含在通解中(即两者统一于一式中)。
*例2.若连续函数f (x)满足f(x)T f(：)dt+|n2,则f (x)是？解：对给定的积分方程两边关于x求导，得：f' (x) = 2 f (x) (变上限求积分求导)分离变量，解之得：f(x)=Ce2x由原方程知：f (0) =In2 ,代入上解析式得：C=ln2 ,解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知条件，设法将其转化为已经解决的问题来解决。
故可把一些常微分方程方程，通过适当变形，转化为大家熟悉的变量分离方程，进而解决之。
类型1.1.形式：形如^=g(y)(2.2 )dx x的方程，此类方程称为齐次微分方程，这里g (u)是u的连续函数。
1. 解法：作变量变换u= - , (2.3)x即y=ux，从而：^^ =x du +u (2.4) dx dx将(2.3) (2.4)代入(2.2 ),则原方程变为：du _ g(u) u dx x这是一个变量分离方程，可按照A中的方法求解。
例3.求解方程：史= (x + y)2 dx解：令u=x+y ,贝U y=u-x , 于是：我=业_1dx dx于是，原方程可化为：也-1=u2 dx分离变量得：?u〔 =dx积分之，得: arctanu=x+c变量回代，既得方程之通解：arctan (x+y) =x+c例 4 求命军方程x(ln x —ln y)dy - ydx = 0.解：由题意可得：ln有尸-~dx =0 , y x即：d x _ m y (2.5) dy y x令-=u，贝fjx=uy,于是：^nWy+u, y dy dy代入(2.5)得：空y+u=y , dy u分离变量，并整理得：一四一=也u(ln u —1) y两边积分得：——^^——=曳，令u=e tu(ln u -1) y则有：[―d^ [-dy , 从而有：lnt-1 =ln y+lnc , t 一1 ■ y(c>0).即：t —1=±cy ，变量回代得:ln- =C 1y +1 ( G =±C ) y类型二：形式：业=门"对0dx解法：1.当c 〔=c 2=0时，dy = f (&x 叫 dx a 2x b 2yx2. 当色=%3时，a 2b 2dy ，(a 2x b 2y) G —=f ( ------------------------ dx a 2x b 2y c 2 du f dy f CIa 2b 2 ——=a 2 b 2 f ( )dx dx u c 2a 2xb 2c 2)=g(")x转化为齐次方程。
)=g (a 2xb 2y)a 2x+b 2y=u,贝3. 当土?且C 1,C 2不全为零时,a 1x ^y G = 0 解方程组｛ a 2x+b 2y+C 2=0，求交点(a ,B ),解：令u =x —y ，则y=x -u ，从而：也=1—史dx dx代入原方程，得：1 一业=心，a 2x 令x=X+a , y =Y +E ，则原方程化为:、心）XdY这是齐次方程。
例5.求解方程务= 2x -y wx -2y 1解:2x - y 1 =0 x -2y 1=0得交点1x = —一31 y =3x =X令｛13代入原方程有:1V = Y —3dY dX 2X -Y X -2Y 贝U Y=uX ,于是:dY dXdu vX u dX从而有: 整理得: du 2 - uX u = --------- ,dX 1 -2u1-2u「dX -2 --------du = 2 —, u 2-u 1 X两边积分之，得:d(u 2-u 1)u 2-u 1即：ln(u 2-u+1) =-2ln X +lnc 1(C 1>0)代，并整理得：x 2+1-例6.求解方程dy x -y 5 x - y - 2dx u - 2整理得：—=du ,2 -u dx分离变量得：(2 -u)du = 7dx ,1,,2 八 1两边积分之：2u—u =7X"c,变量回代，并整理得：X2• y2• 10X • 4y-2xy = c(C是任意常数)1. 形式：形如义+ p(x)y=Q(x)的一阶方程称为一阶线性方dx程.当Q(x)三0时，称之为齐次的，否则称之为非齐次的2. 解法：利用常数变易法求解。
其解为：y =e"dx(JQ(x)e-Jf + c).下面用具体的题目体现这一思想.注意：在用公式求解一阶线性方程时，一定要化为标注标准式(也的系数为1),否则易出错.dx例7 求方程业=y +sin x的通解.dx解：首先求线性齐次方程曳=y的通解，dx分离变量得：业=dx,两边同时积分，y得：y=ce x,因而可设原方程的通解为：y=c(x)e x，则业=dc(x) e x+e x c(x),dx dx将之入原方程，得:dc(x)e x+e x c(x)=c(x)e x+sin x 即：dc(x) =sin xe^ ,dx dx两边积分得：c(x) = jsin xe^dx ,而sinxe 顼dx - - sin xd (e^)= —sinxe"，ie^d(sin x)= —sinxe 项e^cosxdx= -sinx/- cosxd(e^)= -sin xe"-cosx/ e顼d(cosx)--e^(sin x cosx) - e^sin xdx从而：c(x) =-1e"(sin x+cosx)(这里没加常2数)，从而通解为：y =―】(sin x + cosx).21. 形式：形如曳+ p(x)y = Q(x)y n( n#0,1 )的方程称为伯努利方程.dx2. 解法：在方程两边同时成乘以y\做代换z = yJ,则伯努利方程转化为新的未知函数Z的线性方程虫十(1—n)p(x)z = (1 —n)Q(x),从而可用dxC中方法解决之.注意：n>0时，方程还有解y=0.».、一d y _公y打…―例8.求方程瓦一6;-xy的通解.二6%(_x解：万程两边同乘y ,得：dx x ,即：yA 业=6 上-x (2.12)dx xy令z = y~ ,则虫=—yA包，将之代入(2.12)dx dx得：" = _6z+x .(2.13)dx xdz = _6dx=z =4，记(2.13)之通解为: z x x于是：* = "(x) x"6 _6G (x)x"7，将以上两式代入(2.13)得.dc(x) -6766 .x 「6c 1(x)x =-一 c 1(x)xx 「x dx8_ _ x 2cn G(x)=x +c z = §*房，变量回代得原方程之 82通解为：-=一 • -6,此外，方程还有解y=0.y 8 x例9.解方程也+xy=x 3y 3.dx解：这是n=3时的伯努利方程，令z=yU = yL则方程可化为：dz =2xz-2x 3,这是一阶线性方程,dx应用公式得：z = e 、"( j_2x 3e —"dx+c)c(e xx 21)这样，方程之通解为：飞=ce x 2x 21 ,y另外，方程有解：y=0.1.形式：对于一阶方程 M(x, y)dx + N(x, y)dy =0(2.14)如果其左端是某一函数u(x,y)的全微分，即du(x, y) =M (x, y)dx+N(x, y)dy ，则称此方程为恰当微分方程.2. 条件：若(2.14 )中的M(x,y),N(x,y)在某一单连通区域D 有一阶连 续的偏导数，则(2.14 )为恰当微风方程 的充要条件为：C i (x) z=—6- xdx dxdc i (x)7------------- =xdx对工，(x,y) D .:y:x3. 解的形式：u =c .4. 解法：a.朴素化简法：由—=M ，得 u(x,y)= JM(x,y)dx+中(y),；:x再由削=N ，得 9(y) = y 4N(x,y)=产M (x, y)dx + P (y):y :y由上式解得0(y),在积分之既得平(y). ( 当然这种解法具有对称性) b. 分项组合法：通过例题予以说明.(宜熟记课本54页(2.55)) c.利用原函数之积分仅与起始点有关，而与道路无 关求解.(旨在提醒有此法，一般不用)例 10.求(3x 2+6xy 2)dx + (6x 2y +4y 3)dy = 0 的通解.2 2 2 3解：这里 M =3x 6xy,N=6xy 4y ，此时： —=12xy^^ =12xy :y : y因此为恰当微分方程. a.朴素化简法.-u c 23——=6x y 4y ■:y对(2.15)关于 x 积分，得 u = x 3十3x 2y 2十Wy) (2.17)(2.17)两边关于y 求导，并对照(2.16),得:= 6x 2y d %)=6x2y+4y3,于是殴3 = 4y 3dy dy：U22令■— =3x 6x y(2.15)(2.16)-:u ■积分之，得：审(y )=y 4,将中(y)=y 4代入(2.17),得:u =x 3+3x 2y 2+y 4，从而通解为：x 3+3x 2y 2+ y 4= cb.分项组合法.将上面方程重新组合得：(3x 2dx+4y 3dy) +(6xy 2dx + 6x 2ydy) = 0 ,即：d(x 3) +d(y 4) +d(3x 2y 2) =0，亦即：d(x 3 + y 4+3x 2y 2) = 0 ,从而通解为：x 3+y 4+3x 2y 2=c .(此种方法需要多观察)例11求解方程I y 2 2—1 L" _(x-y)2x 故此方程为恰当微分方程.分项组合得:1顼 1顼工 y 2dxx 2dy八 日口 . i xy 、 八-dy - - dx + -=0,艮】 d(lny —Inx- )= 0 ,从而方程之通解为：ln 兰一里=c .x x — y5.定义：能使非恰当微分方程 M(x,y)dx + N(x, y)dy = 0变成恰当微分 方程的连续可微函数u (x, y) (u(x, y)#0 ),称之为该方程的积分因 子.即 u(x, y)M (x,y)dx +u(x, y)N(x, y)dy =0 ,满足fuM:uN.村 fx5.积分因子(只与x, y 有关)的求解：湖 _ ；：Na. 与x 有关的积分因子.由W —=甲(x)得：u = e"dx ,N-dx + |— —一-―2 dy = 0. x 一 ：y (x-y)2」'」—, : y 2解：因为：3*1 —三] x 2x 」5x]y (x —y)2」(x —y)2xy3，:M：：Nb. 与y有关的积分因子.由巧=%y)得：u = eW)dx.-M例12.求方程(e x+3y2)dx + 2xydy = 0 的通解.解：由于运上过2=6”2y =旦经，故此方程不是恰当微:y .x当微分方程。