高中数学函数与方程思想

函数与方程思想

数学思想是数学活动的指导思想，是数学活动的一般概括。它是从整体和思

维的更高层次上指导考生有效地认识数学本质，运用数学知识发现、完善数学知

识结构，探寻解题的方向和途径。通过概括、比较上升为数学能力，并通过数学

思想的运用，培养学生初步的科学方法论，提高思维素质，增强思维能力。数学

思想的教学使中学数学教学进一步走向现代化。第一轮复习中，数学思想尚处于

隐含、渗透的阶段。第二轮复习有必要明确地突出其重要作用，使考生清楚地认

识到只有在数学思想的指导下的解题活动，才是科学的解题活动，才具有很强的

能动作用和创造作用。

从高考的实际出发，本书只强调现行热点的函数与方程思想、数形结合思想、

分类讨论思想、转化与化归思想。

函数是高中数学的主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界

中相互关联的量之间的依存关系，形成变量数学的一大重要基础和分枝。函数思

想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析和研究数学对象间的数量关系，使

函数知识的应用得到极大的扩展，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来

一股很强的创新能力。因此，越来越成为数学高考的长考不衰的热点。

函数思想在高考中的应用主要是函数的概念。性质及图像的应用，包括显化、

转换、构造、建立函数关系解题四个方面。

方程思想是从问题的数量关系出发，运用数学语言将问题中的条件转化为方

程、不等式或它们的混合组，通过解方程（组）、不等式（组）或其混合组使问

题获解。包括待定系数法，换无法、转换法和构造方程法四个方面。

函数思想与方程思想的联系十分密切。解方程f (x )＝0就是求函数y ＝f (x )当

函数值为零时自变量x 的值；求综合方程f (x )=g (x )的根或根的个数就是求函数y

＝f (x )与y =g (x )的图像的交点或交点个数；合参数的方程f (x , y , t )=0和参数方程更

是具有函数因素，属能随参数的变化而变化的动态方程。它所研究的数学对象已

经不是一些孤立的点，而是具有某种共性的几何曲线。正是这些联系，促成了函

数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库。

1．显化函数关系

在方程、不等式、最值、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数

关系凸显出来，从而使用函数知识或函数方法使问题获解．

例题1．在数列{a n }中，a 1＝15，以后各项由 a n +1＝a n －3

2，求数列{a n }的前n 项和的最大值．

分析：由题设易知数列{a n }为等差数列，其通项的一个充要条件形式就是 n

的一次函数，a n = An ＋B ，(A 、B ∈R ）欲求前n 项和S n 的最大值只需利用a n 的单

调性转化为a n ＞o ，a n +1＜0即可获解．

解：∵ a n +1=a n －32, ∴ d =a n －1－a n =－32, ∵ a 1=15, ∴ a n =15－3

2(n －1),

由⎩⎨⎧<>+001n n a a , 即⎪⎩

⎪⎨⎧<->--032150)1(3215n n , 解得245＜n ＜2

47（n ∈ N ）,即n ＝23．故数列｛a n ｝的前23项的和最大． 点拨解疑：数列是定义在自然数集N 上的特殊函数，等差、等比数列的通

项公式，前n 项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成n 的函数．在解等差

数列、等比数列问题中，有意识地凸现其函数关系、从而用函数思想或函数方法

研究、解决问题，不仅常能获得简便优秀的解法，且能促进科学思维的培养，提

高发散思维的水平．

2．转换函数关系

在函数性态、曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中逆求参数的取值

范围，按照原有的函数关系很难奏效时，灵活转换思维角度，放弃题设的主参限

制，挑选合适的主变元，揭示它与其它变元的函数关系，切人问题本质，从而使

原问题获解．

例题2．已知函数f (x )=1

421lg 2+-⋅++a a a x x , 其中为常数，若当x ∈(－∞, 1］时, f (x )有意义，求实数a 的取值范围．

分析：参数a 深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a 的

不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a 分离出来，重新

认识a 与其它变元(x )的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”．

解：14212+-⋅++a a a x x >0, 且a 2－a +1=(a －21)2+4

3>0, ∴ 1+2x +4x ·a >0, a >)2

141(x x +-, 当x ∈(－∞, 1]时, y =x 41与y =x 2

1都是减函数， ∴ y =)2141(x x +-在(－∞, 1]上是增函数，)2

141(x x +-max =－43, ∴ a >－43, 故a 的取值范围是(－4

3, +∞). 点拨解疑：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、

反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获

解，是解题人思维品质高的表现．本题主客换位后，利用新建函数y =)2

141(x x +-的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a 的取值范围．此法也叫主元法．

3．构造函数关系

在数学各分支形形色色的数学问题或综合题中，将非函数问题的条件或结

论、通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造某些函数关系，利用函数思想和

方法使原问题获解，是函数思想解题的更高层次的体现，构造时，要深入审题，

充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移．

例题3．a 为何值时，不等式a 2＋2a －sin 2x －2a cos x ＞2对任意实数x 都成立．

分析：由例2易想到分离变量a 和x ，转化为a 的二次函数的最值解决，但