高等数学第八章多元函数微分法及其应用教案

第八章 多元函数微分法及其应用

第一节 多元函数的基本概念

1、()y x,f z =，定义域为平面上某一个平面域

几何上()y x,f z =为空间一张曲面。

2、二元函数极限

P186 例1、讨论函数

()()()0,00

y x 0y x 0x y y 4x y x,f 222222

44

2在=+≠+⎪⎩⎪⎨⎧+=极限是否存在。 解：()()()01K x x 4K lim x x K x K 4x lim x y y 4x lim 24222022444

42022442y x 0

2=+=+⋅=+→→=→x x x

而 ()4y y y 4y lim 244442y x 0

x =+⋅=→ ∴ ()

y x f 在(0,0)极限不存在. 3、连续

P187

第二节 偏导数

定义：()()00y ,x y x,f z 在点=处对x 的偏导数， 记作：()0010y y 0x x x 0y y 0x x 0y y 0x x y ,x f ,z ,x f ,

x z

''∂∂∂∂======

即： ()()()x y ,x f y x,x f lim y ,x f 00000x 00x

∆-∆+='→∆ 同理：()()()y

y ,x f y y ,x f lim y ,x f 00000y 00y ∆-∆+='→∆ ()00y x

y ,x f ,f 在''存在，称()()00y ,x y x,f z 在=可导。 例1、y

z ,x z ,x z y ∂∂∂∂=求 解：lnx x y z ,yx x

z y 1y =∂∂=∂∂- 例2、P188，例5，6

设 ()()()2,1z ,x y x,sin x 11y z x 32'++-=求

解：()()()

123x dx x,1dz 2,1z ,x x,1z 2x 2

2x x 3==='===

2、高阶偏导数

()2x xx xx 22f z y x,f x z x x z ''=''=''=⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂ xy xy 2z f x z y y x z ''=''=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂ yx yx 2z f y z x x y z ''=''=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂ ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂y z y y z 22 ,f ,f yx xy

''''连续，则yx xy f f ''=''

第三节 全微分

如 ()()()ρo y B x A y x,f y y x,x f z +∆+∆=-∆+∆+=∆

()()22y x ρ∆+∆=

()()y x,y x,f z 在=可微

全微分 dy y

f dx x f dz ∂∂+∂∂= 偏导数 y

f ,x f ∂∂∂∂连续→可微 例3、设 ()1ylnx xlny y x,u -+= 则 dy lnx y x dx x y lny du ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+

=

例4、由方程 2z y x xyz 222=+++

确定()y x,z z =在点()1,0,1-全微分dy 2dx dz -=

第四节 多元复合函数的求导法则

定理：P25

↗可导 ↘连续

z = f (u . v) u = u ( x . y.) v = v ( x . y ) z = f ( u , v ) = F ( x . y )

x v v f x u u f x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ , x

v v f y u u f y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂

例5、设 z = ( 1 + x 2 + y 2 )xy

求 y z x z ∂∂∂∂ 解：)2y 2x xyln(1e z ++=

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+++++++=∂∂22222xy 22y x 1y 2x )y x yln(1)y x (1x z ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+++++++=∂∂22222xy 22y x 12xy )y x xln(1)y x (1y z

例5.15 解 ()

xy ,y x f z 22+=，()x x y ϕ+= ()()()()()()x F v ,u f x x x ,x x x 2x 2f z 222==ϕ+ϕ+ϕ+=

[][](x)x (x)2x v

f (x)(x)2(x)2x (x)24x u f x z ϕϕϕϕϕϕ'++∂∂+'+'++∂∂=∂∂ [][](x)x (x)2x v

f (x)(x)(x)x (x)2x u f 2ϕ'+ϕ+∂∂+ϕ'ϕ+ϕ'+ϕ+∂∂=

例7、()222y

x f y z -+= ，其中()u f 可微，则 ()()y 2u f y 2u f 2x y y z x z y

+'-'=∂∂+∂∂

例8、 )y

x (x z 2ϕ=,(u)ϕ可微，则 2z y z y x z 2=∂∂+∂∂ 例9、设 )

y -f(x y z 22=，求证 2y z y z y 1x z x 1=∂∂+∂∂ 证：令 u y x 22=- 则 f(u)

y z =

(u )

f (u )f 2xy x z 2'-=∂∂ (u )f (u )f 2y f(u)1y z 22'+=∂∂ (u )f (u )f 2y yf(u)1(u)

f (u)f 2y y z y 1x z x 122'++'-=∂∂+∂∂ 2y z yf(u)1==

例10、设()()xy ,x g y x 2f z +-=，其中()t f 二阶可导，()v ,u g 具有二阶连续偏导数。

求 y

x z 2∂∂∂ 解： y g g 2(t)f x

z v u ⋅'+'+⋅'=∂∂ []x g 0g y g x g 0g 1)((t)f 2y

x z vv vu v uv u 2⋅''+⋅''+'+⋅''+⋅''+-⋅''=∂∂∂ vv v uv g xy g g x (t)f 2''+'+''+''-=

例11、设x y v y,u ==，试将方程 0y x z x

z x 222=∂∂∂+∂∂变换成以u , v 为自变量的方程，其中函数z 具有二阶连续偏导数。

解： )x

y (v z x v v z x u u z x z 2-∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 224232222322v

z x y v z x 2y x u u v z x v v z x y v z x 2y x z ∂∂+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=∂∂ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂-∂∂-=∂∂∂y u u v z y v v z x y v z x 1y x z 222222 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂-∂∂-=22222v z x 1v u z x y v z x 1 ∴ 223222222232222

2v z x y u v z x y v z x y v z x y v z x 2y y x z y x z x ∂∂-∂∂∂-∂∂-∂∂+∂∂=∂∂∂+∂∂ 0u

v z x y v z x y 2222=∂∂∂-∂∂=