高等数学第八章多元函数微分法及其应用教案

第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念1、()y x,f z =，定义域为平面上某一个平面域几何上()y x,f z =为空间一张曲面。

2、二元函数极限P186 例1、讨论函数()()()0,00y x 0y x 0x y y 4x y x,f 222222442在=+≠+⎪⎩⎪⎨⎧+=极限是否存在。

解：()()()01K x x 4K lim x x K x K 4x lim x y y 4x lim 2422202244442022442y x 02=+=+⋅=+→→=→x x x而 ()4y y y 4y lim 244442y x 0x =+⋅=→ ∴ ()y x f 在(0,0)极限不存在. 3、连续P187第二节 偏导数定义：()()00y ,x y x,f z 在点=处对x 的偏导数， 记作：()0010y y 0x x x 0y y 0x x 0y y 0x x y ,x f ,z ,x f ,x z''∂∂∂∂======即： ()()()x y ,x f y x,x f lim y ,x f 00000x 00x∆-∆+='→∆ 同理：()()()yy ,x f y y ,x f lim y ,x f 00000y 00y ∆-∆+='→∆ ()00y xy ,x f ,f 在''存在，称()()00y ,x y x,f z 在=可导。

例1、yz ,x z ,x z y ∂∂∂∂=求 解：lnx x y z ,yx xz y 1y =∂∂=∂∂- 例2、P188，例5，6设 ()()()2,1z ,x y x,sin x 11y z x 32'++-=求解：()()()123x dx x,1dz 2,1z ,x x,1z 2x 22x x 3==='===2、高阶偏导数()2x xx xx 22f z y x,f x z x x z ''=''=''=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂ xy xy 2z f x z y y x z ''=''=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂ yx yx 2z f y z x x y z ''=''=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂y z y y z 22 ,f ,f yx xy''''连续，则yx xy f f ''=''第三节 全微分如 ()()()ρo y B x A y x,f y y x,x f z +∆+∆=-∆+∆+=∆()()22y x ρ∆+∆=()()y x,y x,f z 在=可微全微分 dy yf dx x f dz ∂∂+∂∂= 偏导数 yf ,x f ∂∂∂∂连续→可微 例3、设 ()1ylnx xlny y x,u -+= 则 dy lnx y x dx x y lny du ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=例4、由方程 2z y x xyz 222=+++确定()y x,z z =在点()1,0,1-全微分dy 2dx dz -=第四节 多元复合函数的求导法则定理：P25↗可导 ↘连续z = f (u . v) u = u ( x . y.) v = v ( x . y ) z = f ( u , v ) = F ( x . y )x v v f x u u f x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ , xv v f y u u f y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂例5、设 z = ( 1 + x 2 + y 2 )xy求 y z x z ∂∂∂∂ 解：)2y 2x xyln(1e z ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++=∂∂22222xy 22y x 1y 2x )y x yln(1)y x (1x z ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++=∂∂22222xy 22y x 12xy )y x xln(1)y x (1y z例5.15 解 ()xy ,y x f z 22+=，()x x y ϕ+= ()()()()()()x F v ,u f x x x ,x x x 2x 2f z 222==ϕ+ϕ+ϕ+=[][](x)x (x)2x vf (x)(x)2(x)2x (x)24x u f x z ϕϕϕϕϕϕ'++∂∂+'+'++∂∂=∂∂ [][](x)x (x)2x vf (x)(x)(x)x (x)2x u f 2ϕ'+ϕ+∂∂+ϕ'ϕ+ϕ'+ϕ+∂∂=例7、()222yx f y z -+= ，其中()u f 可微，则 ()()y 2u f y 2u f 2x y y z x z y+'-'=∂∂+∂∂例8、 )yx (x z 2ϕ=,(u)ϕ可微，则 2z y z y x z 2=∂∂+∂∂ 例9、设 )y -f(x y z 22=，求证 2y z y z y 1x z x 1=∂∂+∂∂ 证：令 u y x 22=- 则 f(u)y z =(u )f (u )f 2xy x z 2'-=∂∂ (u )f (u )f 2y f(u)1y z 22'+=∂∂ (u )f (u )f 2y yf(u)1(u)f (u)f 2y y z y 1x z x 122'++'-=∂∂+∂∂ 2y z yf(u)1==例10、设()()xy ,x g y x 2f z +-=，其中()t f 二阶可导，()v ,u g 具有二阶连续偏导数。

求 yx z 2∂∂∂ 解： y g g 2(t)f xz v u ⋅'+'+⋅'=∂∂ []x g 0g y g x g 0g 1)((t)f 2yx z vv vu v uv u 2⋅''+⋅''+'+⋅''+⋅''+-⋅''=∂∂∂ vv v uv g xy g g x (t)f 2''+'+''+''-=例11、设x y v y,u ==，试将方程 0y x z xz x 222=∂∂∂+∂∂变换成以u , v 为自变量的方程，其中函数z 具有二阶连续偏导数。

解： )xy (v z x v v z x u u z x z 2-∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 224232222322vz x y v z x 2y x u u v z x v v z x y v z x 2y x z ∂∂+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=∂∂ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂-∂∂-=∂∂∂y u u v z y v v z x y v z x 1y x z 222222 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂-∂∂-=22222v z x 1v u z x y v z x 1 ∴ 2232222222322222v z x y u v z x y v z x y v z x y v z x 2y y x z y x z x ∂∂-∂∂∂-∂∂-∂∂+∂∂=∂∂∂+∂∂ 0uv z x y v z x y 2222=∂∂∂-∂∂=于是方程变为：02=∂∂∂-∂∂vu z u v z第五节 隐函数的求导公式()0z .y .x F = 确定了 ()y .x z z = 求yz ,x z ∂∂∂∂ (1)方程两边同时对x 求导，注意()y .x z z =，可求得x z ∂∂ 方程两边同时对y 求导，注意()y .x z z =，可求得 yz ∂∂ (2)利用公式 y x F F x z ''-=∂∂ z y F F y z ''-=∂∂ (3)两边微分用(2)，(3)需具体方程给出，容易例12、设()y .x z z = 由方程0e z 2e z xy =+--，求xz ∂∂ 解法一、在方程两边对x 求导，注意()y .x z z =z xy z xy e 2ye x z 0xz e x z 2ye --=∂∂=∂∂+∂∂---- 解法二、设()z xy e z 2e z .y .x F +-==-z xy z x e2-ye F F x z +-=''-=∂∂- 解法三、在方程两边微分 ()0e z 2e d z xy =+--()()()0e d z 2d e d z xy =+-- ()0dz e dz 2xy d z xy =+--e[]0dz e 2dz ydx xdy e z xy =+-+--即 dy e-2xe dx e -2ye dz z xyz xy ---+-= ∴ zxye -2ye x z --=∂∂ zxy e -2xe y z --=∂∂例13、设 ()y .x z z = 由方程⎪⎭⎫ ⎝⎛=++x y xf z y x 222确定，其中f 可微 则2z2y f y z -'=∂∂例14、已知方程y z ln z x = 定义了()y .x z z =，求22xz ∂∂ 解： y ln z z ln z x -=zx z z x11lny lnz 11F F x z z x +=+=-+--=-=∂∂ （或方程两边对x 求导，注意()y .x z z =）在方程 ()z z x x z =+∂∂ 两边对x 求导，()y .x z z =()x z x z 1x z z x xz 22∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++∂∂ ()322222z x z z x z x z z x x z x z +=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂在(1) 式两边对x 求导 法二： ()()222z x x z 1z z x x z x z +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-+∂∂=∂∂ ()()()3222z x z y x y x z z z +=+++-= ∴ ()322222x z z -xz x x z x z x z 1x z ++-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=∂∂例15、习题7设()z .y .x f u =，()0z .e .x y 2=Φ，x sin y =，其中f ，Φ都具有一阶连续偏导数，且0z ≠∂∂ϕ，求 dxdz 解：0xz z f cosx y f x f dx du =∂∂⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂= 在()0z ,e ,x x sin 2==Φ，两边对x 求导，设2x u = x e v sin =0xz z x v v x u u =∂∂⋅∂ϕ∂+∂∂⋅∂ϕ∂+∂∂⋅∂ϕ∂ 0x z z c o s x e v 2x u sinx =∂∂⋅∂ϕ∂+⋅∂ϕ∂+⋅∂ϕ∂ z/c o s x e v 2x u x z sinx ∂ϕ∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂ϕ∂+⋅∂ϕ∂=∂∂c o s x e v 2x u /z z f cosx y f x f dx du sin x ∂ϕ∂+⋅∂ϕ∂∂ϕ∂⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂=例16、P200，例：5.20第六节 多元函数微分学的几何应用1、空间曲线的切线与法平面曲线L ：（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧===z(t)z y(t)y x(t)x（Ⅱ）⎩⎨⎧==0z)y,(x,F 0z)y,(x,F 21 曲线L 在M 0点处切线方程为： )(t z z z )(t y y y )(t x x x 000000'-='-='- 或0t t 00t t 00t t 0dz z z dy y y dx x x ===-=-=-例17、P204，例5.24，例5.25例5.25 法二在⎩⎨⎧+==++22222yx z 6z y x 两边微分⎩⎨⎧=-+=++0dz 2ydy 2xdx 0zdz ydy xdx 在点()⎩⎨⎧=-+=++0dz 2dy 2dx 02dz dy dx 1,1,2M 0 0:5:52211:2112:1221dz :dy :dx -=--=取{}1,01,τ-= ∴切线方程02z 11y 11x -=--=- 例19、求曲线()⎩⎨⎧+==1,2,7y3x z 2x y 22在点处切线方程 解：法一 ()⎩⎨⎧=-+=+-1,2,70dz 2ydy 6xdx 00dz dy 2dx 点代入 得⎪⎩⎪⎨⎧==-+=+-14:2:1dz :dy :dx 0dz 4dy 6dx 00dz dy 2dx ∴切线方程：147z 22y 11x -=-=- 2、空间曲面的切平面与法线曲面方程：()()0000z ,y ,x P 0z y,x,F 点=则曲面在0P 点处切平面方程：()()()0z z zF y y y F x x x F00t 00P 00P =-∂∂+-∂∂+-∂∂ 如曲面方程()y x,f z = 则切平面方程：()()()0z z y y f x x f 000P y 00P x=---'+-' 法线方程：0P z 0y 0x 0F z z F y y F x x -=-=-例20、曲面22y 2x z +=在（2，1，3）处的法线方程13z 21y 22x --=-=-例21、P203，例5.22例22、曲线⎩⎨⎧==+0z 122y 3x 22 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点()2,30,处的指向外侧单位法向量是{}3,20,51 例23、证明：曲面3a xyz =的切平面与坐标轴所围成的四面体体积为常数证：设切点为()()3000a xyz z y,x,F ,z ,y ,x M -=,z y x F00M =∂∂ ,z x y F00M =∂∂ 00M y x z F=∂∂曲面在M(x 0，y 0，z 0)处切平面：()()()0z z y x y y z x x x z y 000000000=-+-+-即000000000z y 3x z y x y z x x z y =++ 即13z z 3y y 3x x 000=++ 四面体体积3000a 29,3z ,3y 3x 61V ==第七节 方向导数与梯度 方向导数：()z y,x,f u =，可微 {}p n,m,l =⎭⎬⎫⎩⎨⎧βα=γcos ,cos ,cos l 0 ()0000z ,y ,x M 222l n m mcos ++=α, 222p n m n cos ++=β,222p n m pcos ++=γ 方向导数：γ∂∂+β∂∂+α∂∂=∂∂cos zf cos y f cos x f l f 或：cos γz u cos βy u cos αx u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 如 (){}βcos ,αcos l y x,f z 0== 则 β∂∂+α∂∂=∂∂cos yx cos x z l z 分析：{}γβα⎩⎨⎧⋅⎭⎬⎫∂∂∂∂∂∂=∂∂+α∂∂=∂∂cos ,cos ,cos z u ,y u ,x u γcos y u cos x u l u设：⎩⎨⎧⎭⎬⎫∂∂∂∂∂∂=z u ,y u ,x u G 则0l G l u ⋅=∂∂ 设：k zu j y u i x u ∂∂+∂∂+∂∂ 为函数 ()z .y .x f u =在()z .y .x 处梯度 记为：gradu即 k zu j y u i x u gradu ∂∂+∂∂+∂∂=P20 例5.26、例5.29例P220，习题19 解：228y 6x z 6x x u +-=∂∂ 228y6x z 8y y u +=∂∂ 222z 8y 6x z u +-=∂∂ gradu （M 0）=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∂∂+∂∂+∂∂14,148,146k z u j y u i x u 0M 0M 0M {}{}4x,6y,2z F ,F ,F n z y x='= 取M 0处法向量为{}2,3,1n = {}2,3,1141n 0= 7111422114241412n gradu n u 0==-+=⋅=∂∂。