高中数学人教版必修五不等式知识点最完全精炼总结
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9、在平面直角坐标系中，已知直线 x y C 0 ，坐标平面内的点 x0, y0 ．
①若
0， x0 y0 C 0 ，则点 x0, y0 在直线 x y C 0 的上方．
②若
0， x0 y0 C 0 ，则点 x0, y0 在直线 x
10、在平面直角坐标系中，已知直线 x y C 0 ．
y C 0 的下方．
bb － a x＋ z 在 y 轴上截距的最值（其中 a、b 是常数， z 随 x，y 的变化而变化）。
bb （4）作平行线：将直线 ax＋by＝0 平移（即作 ax＋by＝ 0 的平行线），使直线与可行域有
交点，且观察在可行域中使 z 最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标。 b
（5）求出最优解：将（ 4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出 z 的最大（或最小）值。
对所有实数 x∈R 都成立，求 a 的取值范围 .
例 3. 若对任意
x
0, x 2
x 3x
1
a恒成立，
a 则 的取值范围 .
(5)一元二次方程根的分布问题： 方法：依据二次函数的图像特征从： 开口方向、 判别式、 对称轴、
函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次 不等式组求解 .
二次方程根的分布问题的讨论：
(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6) 对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论
典型题例示范讲解
例 1：如果多项式 f ( x) 可分解为 n 个一次式的积， 则一元高次不等式 f ( x) 0（或 f ( x) 0 ）可用 “穿
a
ab
a0 倒数 形式
a0
2(a, b 同 号 ）
1
a
2
a
1
a
2
a
4.公式：
2 a1 b1
ab a b 2
a 2 b2 2
3.解不等式
(1)一元一次不等式
(2)一元二次不等式：
判别式
△ >0
△ =b2- 4ac
ax b(a
△ =0
x 0)
x
b (a 0)
a b
(a 0) a
△ <0
y=ax 2+bx+c y
an bn ； a b 0, n N
na nb．
a b, ab 0
11
．
ab
3. 常用基本不等式：
条件
aR a R, b R
a 0,b 0
结
论
a2 b2
2ab ， ab
a2 0
( a b)2 ， a2 b2
2
2
(a b)2 2
基本不等式： a b 2 ab
常见变式：
b a 2； ab
a1 2 a
等号成立的条件
O k1 k2
x1
x2
x
f (k1 ) 0 f (k2) 0
0
b
k1
2a k2
f ( k1 ) 0 f (k2 ) 0
6． k1 <x1 < k2 < x2< k3
f ( k1 ) 0 f (k2 ) 0 f (k2 ) 0
y
O k1 x1
k2 x2
k3 x
4 解线性规划问题的一般步骤： 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；
2012.3.26
一. 不等式 ( 精简版）
1. 两实数大小的比较
ab ab ab
ab 0 ab 0 ab 0
2.不等式的性质： 8条性质 .
3.基 本不 等式 定理
整式 形式
a2
b2
a2
b2
ab
ab
2 ab
1 (a
2 ab
b )2
2
2
a2
b2
2
根式形式
ab 2
ab
ab 2(a 2
b 2)
分 式 形 式b
f (x) g(x) 0 g(x) 0
高次不等式： ( x a1 )( x a2 ) ( x an ) 0
(4)解含参数的不等式： （1） (x –2)(ax –2)>0 （2）x2 –(a+a2)x+a3>0； （ 3）2x2 +ax +2 > 0；
注:解形如 ax2+bx+c>0 的不等式时分类讨 论的标准有： 1、讨论 a 与 0 的大小； 2、讨论⊿与 0 的大小； 3、讨论两根的
的解集是 { x | x 3或 x 4} ．
(2)不等式两边同乘以 1，原不等式可化为 x 2 2 x 3 0 ．
方程 x 2 2 x 3 0 的解为 x1 3, x2 1． 根据 y x2 2 x 3 的图象，可得原不等式 x2 2 x 3 0 的解集是 { x | 3 x 1} ．
(3)方程 x 2 2 x 1 0 有两个相同的解 x1 x2 1．
第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；
第三步：解方程的最优解， 从而求出目标函数的最大值或最小值。
z ax by z x 2 y2
y z
x
练习： 1.求满足 | x | + | y | ≤4 的整点（横、纵坐标为整数）的
个数。
1
2.求函 f ( x )
2 log 2 x
(0 log 2 x
x
1)的最大值；
4
⑵ 若 xy p （积为定值），则当 x y 时，和 x y 取得最小值 2 p ．
即： “积定，和有最小值；和定，积有最大值 ” 注意：一正、二定、三相等
几种常见解不等式的解法 重难点归纳 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化， 对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式 (组 )、一元二次不等式 (组 )的解法 (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法 (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法
x5 0
x
( x 4)( x 2) 0 x
5 4或x 2
∴原不等式解集为 x x
解下列分式不等式：
5或 5 x
4或 x 2
61.已知 x> 0,y> 0，且 1 + 9 = 1，求 x+ y的最小值 . xy
根据 y x 2 2x 1 的图象，可得原不等式 x 2 2 x 1 0 的解集为 ．
(4) 因为
0 ，所以方程 x 2
2x 2
0 无实数解，根据 y
2
x
2 x 2 的图象，可得原不等式
x2
2x 2
0 的解集
为．
练习 1. （1）解不等式 x 3
x3
0 ；（若改为
0 呢？）
x7
x7
2x 3
（ 2 ）解不等式
解：（ 1）原不等式可化为
x( 2x 5)( x 3) 0
把方程 x(2x 5)( x 3) 0 的三个根 x1 0, x2
过三个根，其解集如下图的阴影部分．
5 2
,
x3
3 顺次标上数轴． 然后从右上开始画线顺次经
∴原不等式解集为
x 5 x 0或 x 3 2
（ 2）原不等式等价于
(x 4)( x 5)2( x 2) 3 0
Φ
(y<0) 的 解
集
没有实根 R Φ
一元二次不等式的求 解流程 ：
一化：化二次项前的系数为正数 .
二判：判断对应方程的根 .
三求：求对应方程的根 .
四画：画出对应函数的图象 .
五解集：根据图象写出不等式的解集 .
(3)解分式不等式：
f (x) 0
g( x) f (x)
0 g( x)
f (x) g( x) 0
大小； 二、运用的数学思想：
1、分类讨论的思想； 百度文库、数形结合的思想； 3、等与不等的化归思想 (4)含参不等式恒成立的问题：
1、 函数 2、 分离参数后用最值 3、 用图象 例 1．已知关于 x 的不等式 x2 (3 a2) x 2a 1 0
在(–2，0)上恒成立，求实数 a 的取值范围 ． 例 2．关于 x 的不等式 y log 2 ( ax 2 ax 1)
用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中
x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含
重根的不等式，也可直接用“穿根法” ，但注意“奇穿偶不穿” ，其法如下图．
不等式左右两边都是含有 x 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为
0 再解．
例： 解不等式：（ 1） 2x3 x2 15x 0 ；（ 2） ( x 4)( x 5)2 (2 x)3 0 ．
a b 0．
性质
对称性 传递性 加法性质 乘法性质 乘方、开方性质
倒数性质
内
容
a b b a， a b b a．
a b且 b c a c ．
a b a c b c； a b且 c d a c b d ．
a b, c 0 ac bc ； a b 0 ，且 c d 0 ac bd 0 ．
a b 0, n N
a0 ab
ab
a 0, b 0
2 11 ab
ab ab
2
a2 b2 2
ab
7. 不等式证明方法： 基本方法： 比较法、综合法、分析法、反证法
辅助方法： 换元法（三角换元、均值换元等） 、放缩法、构造法、判别式法
特别提醒： 不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合
.高考解答题中，常渗透不等式证明的
平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在 y 轴上的截距的最大值或最小值求解。它的
步骤如下：
（1）设出未知数，确定目标函数。
（2）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。 （3）由目标函数 z＝ax＋ by 变形为 y＝－ a x＋ z ，所以，求 z 的最值可看成是求直线 y＝
①若
0，则 x y C 0表示直线 x y C 0 上方的区域； x y C 0 表示直
线 x y C 0 下方的区域．
②若
0，则 x y C 0表示直线 x y C 0 下方的区域； x y C 0 表示直
线 x y C 0 上方的区域．
11、最值定理
设 x 、 y 都为正数，则有 ⑴ 若 x y s （和为定值），则当 x y 时，积 xy 取得最大值 s2 ．
1．x1< x2< k
f (k ) 0 b k 2a 0
y
x1
k
O
x
x2
2．k < x1< x2
f (k) 0 bk 2a 0
y k x1 O x2 x
3．x1< k < x2
f (k) 0
y
k
x1 O x x
4． k1 < x1 < x2 < k2
y
k1 x1 O
k2
x2
x
5． x1 < k1 < k2 < x2 y
的图象
( a> 0)
x1 O
x2x
y
O x1
x
y x
O
ax2+bx+c= 0 有两相异实根 (a>0)的根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根
b
x1=x2= 2a
ax2+bx+c> 0 {x|x<x 1,或 x>x 2} { x|x ≠ b }
2a
(y>0) 的 解
集
ax2+bx+c< 0 {x|x 1< x <x 2 }
34.f(x)=x+ 1 （ｘ 4）的最小值 x1
4.求函数 f ( x )
( x 1)2 4( x x1
1) 的最小值 .
28
5.已知两个正数 a, b 满足 a b 4, 求使 a b m
恒成立的 m 的取值范围 .
1. 实数的性质：
a b a b 0； a b
2. 不等式的性质：
a b 0；a b
1；
x7
解:( 1) 原不等式
x 7 0, 或 x 7 0, { x | 7 x 3}
x30
x30
( 该题后的答案 : { x | 7 x 3} ).
x 10
( 2)
0即
{x| 7
x 10} .
x7
8、线性规划问题的解题方法和步骤
解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族
内容，最常用的思路是用分析法探求证明途径，再用综合法加以叙述。我们在利用不等式的性质或基本不等式
时要注意等号、不等号成立的条件。
例：解下列不等式：
(1) x 2 7 x 12 0 ；
(2) x 2 2x 3 0 ；
(3) x 2 2 x 1 0 ；
(4) x 2 2x 2 0 ．
解：(1)方程 x 2 7 x 12 0 的解为 x1 3, x2 4 ．根据 y x 2 7 x 12 的图象， 可得原不等式 x 2 7x 12 0
根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．
当分式不等式化为 f ( x) 0(或 0) 时，要注意它的等价变形 g( x)
① f (x) 0 g(x)
f (x) g(x) 0
② f (x) 0 g(x)
f ( x) g( x)
0 或
f ( x)
0
g( x) 0
g( x)
f (x) 0或 f ( x) g (x) 0
①若
0， x0 y0 C 0 ，则点 x0, y0 在直线 x y C 0 的上方．
②若
0， x0 y0 C 0 ，则点 x0, y0 在直线 x
10、在平面直角坐标系中，已知直线 x y C 0 ．
y C 0 的下方．
bb － a x＋ z 在 y 轴上截距的最值（其中 a、b 是常数， z 随 x，y 的变化而变化）。
bb （4）作平行线：将直线 ax＋by＝0 平移（即作 ax＋by＝ 0 的平行线），使直线与可行域有
交点，且观察在可行域中使 z 最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标。 b
（5）求出最优解：将（ 4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出 z 的最大（或最小）值。
对所有实数 x∈R 都成立，求 a 的取值范围 .
例 3. 若对任意
x
0, x 2
x 3x
1
a恒成立，
a 则 的取值范围 .
(5)一元二次方程根的分布问题： 方法：依据二次函数的图像特征从： 开口方向、 判别式、 对称轴、
函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次 不等式组求解 .
二次方程根的分布问题的讨论：
(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6) 对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论
典型题例示范讲解
例 1：如果多项式 f ( x) 可分解为 n 个一次式的积， 则一元高次不等式 f ( x) 0（或 f ( x) 0 ）可用 “穿
a
ab
a0 倒数 形式
a0
2(a, b 同 号 ）
1
a
2
a
1
a
2
a
4.公式：
2 a1 b1
ab a b 2
a 2 b2 2
3.解不等式
(1)一元一次不等式
(2)一元二次不等式：
判别式
△ >0
△ =b2- 4ac
ax b(a
△ =0
x 0)
x
b (a 0)
a b
(a 0) a
△ <0
y=ax 2+bx+c y
an bn ； a b 0, n N
na nb．
a b, ab 0
11
．
ab
3. 常用基本不等式：
条件
aR a R, b R
a 0,b 0
结
论
a2 b2
2ab ， ab
a2 0
( a b)2 ， a2 b2
2
2
(a b)2 2
基本不等式： a b 2 ab
常见变式：
b a 2； ab
a1 2 a
等号成立的条件
O k1 k2
x1
x2
x
f (k1 ) 0 f (k2) 0
0
b
k1
2a k2
f ( k1 ) 0 f (k2 ) 0
6． k1 <x1 < k2 < x2< k3
f ( k1 ) 0 f (k2 ) 0 f (k2 ) 0
y
O k1 x1
k2 x2
k3 x
4 解线性规划问题的一般步骤： 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；
2012.3.26
一. 不等式 ( 精简版）
1. 两实数大小的比较
ab ab ab
ab 0 ab 0 ab 0
2.不等式的性质： 8条性质 .
3.基 本不 等式 定理
整式 形式
a2
b2
a2
b2
ab
ab
2 ab
1 (a
2 ab
b )2
2
2
a2
b2
2
根式形式
ab 2
ab
ab 2(a 2
b 2)
分 式 形 式b
f (x) g(x) 0 g(x) 0
高次不等式： ( x a1 )( x a2 ) ( x an ) 0
(4)解含参数的不等式： （1） (x –2)(ax –2)>0 （2）x2 –(a+a2)x+a3>0； （ 3）2x2 +ax +2 > 0；
注:解形如 ax2+bx+c>0 的不等式时分类讨 论的标准有： 1、讨论 a 与 0 的大小； 2、讨论⊿与 0 的大小； 3、讨论两根的
的解集是 { x | x 3或 x 4} ．
(2)不等式两边同乘以 1，原不等式可化为 x 2 2 x 3 0 ．
方程 x 2 2 x 3 0 的解为 x1 3, x2 1． 根据 y x2 2 x 3 的图象，可得原不等式 x2 2 x 3 0 的解集是 { x | 3 x 1} ．
(3)方程 x 2 2 x 1 0 有两个相同的解 x1 x2 1．
第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；
第三步：解方程的最优解， 从而求出目标函数的最大值或最小值。
z ax by z x 2 y2
y z
x
练习： 1.求满足 | x | + | y | ≤4 的整点（横、纵坐标为整数）的
个数。
1
2.求函 f ( x )
2 log 2 x
(0 log 2 x
x
1)的最大值；
4
⑵ 若 xy p （积为定值），则当 x y 时，和 x y 取得最小值 2 p ．
即： “积定，和有最小值；和定，积有最大值 ” 注意：一正、二定、三相等
几种常见解不等式的解法 重难点归纳 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化， 对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式 (组 )、一元二次不等式 (组 )的解法 (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法 (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法
x5 0
x
( x 4)( x 2) 0 x
5 4或x 2
∴原不等式解集为 x x
解下列分式不等式：
5或 5 x
4或 x 2
61.已知 x> 0,y> 0，且 1 + 9 = 1，求 x+ y的最小值 . xy
根据 y x 2 2x 1 的图象，可得原不等式 x 2 2 x 1 0 的解集为 ．
(4) 因为
0 ，所以方程 x 2
2x 2
0 无实数解，根据 y
2
x
2 x 2 的图象，可得原不等式
x2
2x 2
0 的解集
为．
练习 1. （1）解不等式 x 3
x3
0 ；（若改为
0 呢？）
x7
x7
2x 3
（ 2 ）解不等式
解：（ 1）原不等式可化为
x( 2x 5)( x 3) 0
把方程 x(2x 5)( x 3) 0 的三个根 x1 0, x2
过三个根，其解集如下图的阴影部分．
5 2
,
x3
3 顺次标上数轴． 然后从右上开始画线顺次经
∴原不等式解集为
x 5 x 0或 x 3 2
（ 2）原不等式等价于
(x 4)( x 5)2( x 2) 3 0
Φ
(y<0) 的 解
集
没有实根 R Φ
一元二次不等式的求 解流程 ：
一化：化二次项前的系数为正数 .
二判：判断对应方程的根 .
三求：求对应方程的根 .
四画：画出对应函数的图象 .
五解集：根据图象写出不等式的解集 .
(3)解分式不等式：
f (x) 0
g( x) f (x)
0 g( x)
f (x) g( x) 0
大小； 二、运用的数学思想：
1、分类讨论的思想； 百度文库、数形结合的思想； 3、等与不等的化归思想 (4)含参不等式恒成立的问题：
1、 函数 2、 分离参数后用最值 3、 用图象 例 1．已知关于 x 的不等式 x2 (3 a2) x 2a 1 0
在(–2，0)上恒成立，求实数 a 的取值范围 ． 例 2．关于 x 的不等式 y log 2 ( ax 2 ax 1)
用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中
x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含
重根的不等式，也可直接用“穿根法” ，但注意“奇穿偶不穿” ，其法如下图．
不等式左右两边都是含有 x 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为
0 再解．
例： 解不等式：（ 1） 2x3 x2 15x 0 ；（ 2） ( x 4)( x 5)2 (2 x)3 0 ．
a b 0．
性质
对称性 传递性 加法性质 乘法性质 乘方、开方性质
倒数性质
内
容
a b b a， a b b a．
a b且 b c a c ．
a b a c b c； a b且 c d a c b d ．
a b, c 0 ac bc ； a b 0 ，且 c d 0 ac bd 0 ．
a b 0, n N
a0 ab
ab
a 0, b 0
2 11 ab
ab ab
2
a2 b2 2
ab
7. 不等式证明方法： 基本方法： 比较法、综合法、分析法、反证法
辅助方法： 换元法（三角换元、均值换元等） 、放缩法、构造法、判别式法
特别提醒： 不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合
.高考解答题中，常渗透不等式证明的
平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在 y 轴上的截距的最大值或最小值求解。它的
步骤如下：
（1）设出未知数，确定目标函数。
（2）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。 （3）由目标函数 z＝ax＋ by 变形为 y＝－ a x＋ z ，所以，求 z 的最值可看成是求直线 y＝
①若
0，则 x y C 0表示直线 x y C 0 上方的区域； x y C 0 表示直
线 x y C 0 下方的区域．
②若
0，则 x y C 0表示直线 x y C 0 下方的区域； x y C 0 表示直
线 x y C 0 上方的区域．
11、最值定理
设 x 、 y 都为正数，则有 ⑴ 若 x y s （和为定值），则当 x y 时，积 xy 取得最大值 s2 ．
1．x1< x2< k
f (k ) 0 b k 2a 0
y
x1
k
O
x
x2
2．k < x1< x2
f (k) 0 bk 2a 0
y k x1 O x2 x
3．x1< k < x2
f (k) 0
y
k
x1 O x x
4． k1 < x1 < x2 < k2
y
k1 x1 O
k2
x2
x
5． x1 < k1 < k2 < x2 y
的图象
( a> 0)
x1 O
x2x
y
O x1
x
y x
O
ax2+bx+c= 0 有两相异实根 (a>0)的根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根
b
x1=x2= 2a
ax2+bx+c> 0 {x|x<x 1,或 x>x 2} { x|x ≠ b }
2a
(y>0) 的 解
集
ax2+bx+c< 0 {x|x 1< x <x 2 }
34.f(x)=x+ 1 （ｘ 4）的最小值 x1
4.求函数 f ( x )
( x 1)2 4( x x1
1) 的最小值 .
28
5.已知两个正数 a, b 满足 a b 4, 求使 a b m
恒成立的 m 的取值范围 .
1. 实数的性质：
a b a b 0； a b
2. 不等式的性质：
a b 0；a b
1；
x7
解:( 1) 原不等式
x 7 0, 或 x 7 0, { x | 7 x 3}
x30
x30
( 该题后的答案 : { x | 7 x 3} ).
x 10
( 2)
0即
{x| 7
x 10} .
x7
8、线性规划问题的解题方法和步骤
解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族
内容，最常用的思路是用分析法探求证明途径，再用综合法加以叙述。我们在利用不等式的性质或基本不等式
时要注意等号、不等号成立的条件。
例：解下列不等式：
(1) x 2 7 x 12 0 ；
(2) x 2 2x 3 0 ；
(3) x 2 2 x 1 0 ；
(4) x 2 2x 2 0 ．
解：(1)方程 x 2 7 x 12 0 的解为 x1 3, x2 4 ．根据 y x 2 7 x 12 的图象， 可得原不等式 x 2 7x 12 0
根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．
当分式不等式化为 f ( x) 0(或 0) 时，要注意它的等价变形 g( x)
① f (x) 0 g(x)
f (x) g(x) 0
② f (x) 0 g(x)
f ( x) g( x)
0 或
f ( x)
0
g( x) 0
g( x)
f (x) 0或 f ( x) g (x) 0