函数的单调性与导数 公开课
函数的单调性与导数 课件
【典型例题】
1.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减，则实数a的取
值范围为( )
A.a≥1
B.a=1
C.a≤1
D.0<a<1
2.已知函数f(x)=x3-kx在区间(-3，-1)上不单调，则实数k的
取值范围是______.
3.(2013·天津高二检测)设函数f(x)=ax3+ 3 (2a-1)x2-6x
【解析】1.选A.因为f′(x)=3x2-2ax-1，f(x)在(0,1)内单调 递减，所以f′(0)≤0,f′(1)≤0,所以a≥1. 2.因为f′(x)=3x2-k.当k≤0时，f′(x)≥0，不合题意，舍 去，所以k>0. 令f′(x)=0,则 x k .
3
因为在(-3,-1)上函数不单调，
________，单调递增区间为_______.
3.讨论函数f(x)=x2－aln x(a≥0)的单调性.
【解题探究】1.解含有对数函数的问题，应注意什么？利用 导数求函数的单调区间,其实质是什么? 2.如何求多项式乘积形式函数的导数？ 3.当函数的解析式中含有参数时,一般的处理思路是什么?
探究提示： 1.(1)要注意对数函数的定义域,即真数大于零.(2)求函数的单 调区间就是求不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)的解集. 2.求多项式乘积式的导数,可以利用积的导数法则求解,也可以 把乘积式展开,利用和与差的导数法则求解. 3.当函数的解析式中含有参数时,一般的处理思路是对参数进 行分类讨论,然后在参数的不同情况下,分别求出结果.
x2
1 a
,
因为f(x)在(-∞,-3)上是增函数，即x<-3时，f′(x)>0恒成
函数的单调性与导数课件人教新课标
练习2:确定下面函数的单调区间:
f(x)=x/2+sinx;
解: (1)函数的定义域是R,
f ( x) 1 cos x.
2
令 1 cos x 0 ,解得 2kp 2p x 2kp 2p (k Z).
2
3
3
令 1 cos x 0
2
,解得 2kp 2p x 2kp 4p (k Z).
小 结:
函数的单调性与其导函数正负的关系
求函数的单调区间的1x0)000即x2(x1x21(1xx1)11x0)
,
0
,
解得x>1.
故f(x)的递增区间是(1,+∞);
由
f
x
(x) 0 1 0
解得-1<x<1,
故f(x)的递减区间是(-1,1).
求函数的单调区间的一般步骤:
(1) 求出函数 f(x)的定义域A；
(2) 求出函f(x)数的导数
在x∈(-∞,0)内
图象是单调降落的.
y
1 x2
0
在x∈( 0,+∞)内
图象是单调降落的.
y
1 x2
0
函数的单调性与其导函数正负的关系: 当函数y=f (x)在某个区间内可导时，
如果 f (x) 0 , 则f (x)为增函数；
如果 f (x) 0 , 则f (x)为减函数。
f (x)
例1、 f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
解： f (x)=3x2+3=3(x2+1)>0
从而函数f(x)=x3+3x 在x∈R上单调递增， 见右图。
o
x
f (x) x3 3x
(2) f(x)=x2-2x-3 ;
(完整版)导数与函数的单调性公开课课件
2020/2/8
13
分离参数
三、求参数的取值范围
练习3：函数f (x) x2 2ax 1在区间(-,1]单调递减.
求a的取值范围. 方法一： f '(x) 2x 2a 0
方法二：二次函数
a x在(,1]恒成立
令g(x) x
a gmax (x) a 1
课堂小结
一、本节课所学知识 1、导数与函数单调性的关系； 2、导函数与原函数的图象； 3、求函数的单调区间； 4、求参数的取值范围.
当a 0时,增区间(, )，无减区间；
当a 0时,增区间(, a), (1, )，减区间(a,1).
三、求参数的取值范围
例3：已知函数f (x) x a ln x,若f (x)在区间(1, 2)单调递增，
x
求a的取值范围.
解：
则a gmin (x)
令g(x) x2 x,
导数与函数的单调性
教师：段茂森
知识梳理
函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导， 1．若 f′(x)>0，则 f(x)在这个区间内是_单__调__递__增__函__数_； 2．若 f′(x)<0，则 f(x)在这个区间内是_单__调__递__减__函__数_；
函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
解：f '(x) x2 2ax 8a2 0
(x 2a)(x 4a) 0 x 2a或x 4a 当a 0时,增区间(, 2a), (4a, )，减区间(2a, 4a)； 当a 0时,增区间(, )，无减区间； 当a 0时,增区间(, 4a), (2a, )，减区间(4a, 2a).
二、求函数的单调区间
函数的单调性与导数 课件
所以，k＝1 时单调增区间为(－1，＋∞)．
③若 k＞1 时，1k－1∈(－1,0)，当 x∈(－1，1k－1)时，f′(x) ＞0，当 x∈(1k－1,0)时，f′(x)＜0，当 x∈(0，＋∞)时，f′(x) ＞0， 所以，k＞1 时的单调增区间为(－1，1k－1)，(0，＋∞)； 单调减区间为(1k－1,0)．
由
f′ (x)＜0
得
x＜
2， 2
又 x∈(0，＋∞)，
所以函数
f(x)的单调递减区间为0，
2 2
.
(2)函数 f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
f′(x)＝exxx－－22－2 ex＝exx－x－232.
因为 x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以 ex＞0，(x－2)2＞0.
由 f′(x)＞0 得 x＞3， 所以函数 f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)； 由 f′(x)＜0 得 x＜3，
综上所述：当 k＝0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－1,0)，
单调递减区间为(0，＋∞)；
当 0＜k＜1 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－1,0)，(1k－1， ＋∞)，单调递减区间为(0，1k－1)； 当 k＝1 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞)；
当 k＞1 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－1，1k－1)，(0，＋ ∞)，单调递减区间为(1k－1,0)．
即函数 f(x)的单调递增区间为(－1,0)，单调递减区间为(0， ＋∞)．
(2)当 k≠0 时，令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝1k－1， ①若 0＜k＜1 时，1k－1＞0，当 x∈(－1,0)时，f′(x)＞0，当 x∈(0，1k－1)时，f′(x)＜0，当 x∈(1k－1，＋∞)时，f′(x) ＞ 0， 所以，0＜k＜1 时的单调增区间为(－1,0)，(1k－1，＋∞)； 单调减区间为 (0，1k－ 1)．
函数的单调性与导数--公开课省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
2.怎样用定义判断函数旳单调性？
（1）取值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论
二、讲授新课------导入新课
下图(1)表达高台跳水运动员旳高度 h 随时间 t 变化旳函 数h(t)= -4.9 t 2+6.5t+10 旳图象, 图(2)表达高台跳水运动 员旳速度 v 随时间 t 变化旳函数 v(t)= -9.8t+6.5 旳图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时 间旳运动状态有什么区别?
二、讲授新课-----问题探究
观察下面某些函数旳图象, 探讨函数旳单调性与其导函数正负
旳关系.
y
（1）
y y=x （2）
y=x2o （3ຫໍສະໝຸດ yxoy=x3
y
（4）
x
y1 x
ox
o
x
二、讲授新课-----问题探究
y
一般地，函数旳单调性与其导
函数旳正负有如下关系：
(x1，f(x1))
y=f(x)
在某个区间(a,b)内,
解：（1）f '(x)=x3+3x= 3(x2+1)>0
所以函数f(x)=x3+3x在R上单调递增。 所以函数f(x)=x3+3x旳单调增区间为R。
二、讲授新课-----典例精讲
例 3. 判断下列函数旳单调性, 并求出单调区间:
(1) f(x)=x2-2x-3,
(2) f(x)=x2－2lnx
解 (2) 函数f(x)=x2－2lnx定义域为0,
h
(1)
函数的单调性与导数-图课件
单调减函数的性质
03
04
05
函数图像从左至右下降 。
若$f(x)$在区间$I$上单 调递减，且$a, b in I$， 且$a < b$，则有$f(a) geq f(b)$。
若函数$f(x)$在区间$I$ 上单调递减，则其反函 数在相应的区间上单调 递增。
单调性与导数的关系
01
导数与单调性的关系
如果函数在某区间的导数大于0，则该函数在此区间单调递增；如果导
数小于0，则函数在此区间单调递减。
02
导数不存在的点
对于使导数不存在的点，需要单独判断其单调性。
03
高阶导数与单调性的关系
高阶导数的符号可以提供关于函数单调性更精细的信息。例如，二阶导
数大于0表示函数在相应点处有拐点，即由单调递增变为单调递减或反
之。
02 导数在判断函数单调性中 的应用
导数大于0与函数单调性的关系
定义法判断单调性
• 定义法判断单调性是指通过比较函数在某区间内任意两点x1和x2的函数值f(x1)和f(x2)，来判断函数在该区间内的单调性。 如果对于任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则函数在该区间内单调递增；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则函数在该 区间内单调递减。
03 导数在实际问题中的应用
导数在经济学中的应用
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边 际变化，例如边际成本、边际收 益等，帮助企业做出更好的经济
决策。
最优化问题
导数可以用来解决最优化问题，例 如最大利润、最小成本等，为企业 提供最优的资源配置方案。
需求弹性
导数可以用来分析需求弹性，例如 价格敏感度、需求变化等，帮助企 业制定更加精准的市场策略。
公开课利用导数判断函数的单调性
问题
如何判断函数 f (x) ex x 在 (0,)上的单调性?
解: 任意 x1, x2 (0,), 且 x1 x2 ;
都有 f (x1) f (x2)
(ex1 x1) (ex2 x2 )
(ex1 ex2 ) (x2 x1)
如何运用已有 知识解决？
任意 x1, x2 (a, b), 当 x1 x2时，都有 f (x1) f (x2 ) ；
导数
即：y 0
x
（瞬时变化率）
（函数的平均变化率）
1.3.1 利用导数判断函数的单调性
问题分析
作图
判断函数 f (x) ex x 在 (0,)上的单调性.
y
y
x
f (x) ex x
x
f (x) ex 1
一种方法 四部曲
思想方法
特殊到一般 数形结合
教材P27 练习A 2、3 、4题;
探究：对于函数y＝f(x)，x∈(a，b)， “f′(x)>0”是“函数y＝f(x)为增函数”
的什么条件？ 思考：函数增减快慢由什么刻画？
理论分析
函数单调性定义:
函数 f ( x)在区间 (a,b) 内是增函数.
任意 x1, x2 (a, b), 当 x1 x2时，都有 f (x1) f (x2 ) ；
即证：
f (x2 ) f (x1) x2 x1
0
即：
y 0 x
理论分析
函数单调性定义:
函数 f ( x)在区间 (a,b)内是 减函数.
f '( x) 0
f (x) 0 在R上单增
f '( x) 0 在（-，0）内单减 f '( x) 0 在（0，+）内单减
《导数与函数的单调性》示范公开课教学课件
状态有什么区别？ y
y
y
y
O
x
O
x
（1）
（2）
O
x
（3）
（3）函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数； 而y′＝3x2，若x≠0，其导数y′＝3x2＞0，当x＝0时，其导数y′＝3x2＝0．
Ox （4）
新知探究
导入新课
问题 5．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的 增与减、增减的快慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数 的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解． 函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的 导数是否有着某种内在的联系呢？
问题2 通过观察图像，小物体从起点到最高点，以及从最高点到2 s这段时间的运动
状态有什么区别？ y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
Ox
（1）
（2）
（3）
（4）
（4）函数y＝ 1 的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在（－∞，0）上单调递减，在 x
（0，＋∞）上单调递减；
而y′＝
1 x2
，因为x≠0，所以y′＜0．
典例分析
小结：如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，在表 示这些区间时不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字 隔开．
典例分析
例3 求函数f（x）＝xex的单调区间．
解：根据题意有 f′（x）＝ex＋xex＝（x＋1）ex．
令f′（x）＞0，可得（x＋1）ex＞0，因为ex＞0恒成立， 所以x＋1＞0，因此x＞－1， 令f′（x）＜0，可得（x＋1）ex＞0，解不等式可得x＜－1． 因此，可知函数f（x）的单调递增区间为［－1，＋∞），单调递减区间为（－∞，－1］．
函数单调性课件(公开课)ppt
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
《函数的单调性与导数》公开课教学设计
公开课《函数的单调性与导数》教学设计（泉州市级公开周）学情分析:导数与函数的单调性是导数应用中最基本、最重要的知识点，导数的所有应用都离不开单调性，而单调性的基础是解不等式，这类题型是历年高考的热点，也是难点，针对这类基础薄弱的学生，起点不宜太高，只能从最基础的部分拾起，以题目贯穿内容，逐级而上.教学方法：提示练习探讨法高考解读教学过程一、复习引入1.回顾基本函数的导数公式2.回顾导数运算法则3.函数的导数与单调性的关系函数y=f(x)在某个区间内可导,(1)若f '(x)>0,则f(x)在这个区间内单调递增 ;(2)若f '(x)<0,则f(x)在这个区间内单调递减 ;(3)若f '(x)=0,则f(x)在这个区间内是常数函数 .问题：为什么有这种关系？（由导数的几何意义来解释）如图，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增； 在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减． 结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增； 如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减;说明：特别地，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．4.用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系(1)0('〉x f ( 或0)('〈x f )是)(x f 在（a ,b ）内单调递增（或递减）的充分不必要条件 (2)0)('≥x f （或0)('≤x f ）是)(x f 在（a,b ）内单调递增(或递减)的必要不充分条件 （0)('=x f 不恒成立）.二、新课讲授B. 典例分析问题一：不含参数的函数的单调性典例1 (2018河北唐山质检)求函数f (x )=2121ln 2-+-x x x 的单调区间.选题意图：熟练基本函数导数公式，巩固导数运算法则，掌握分式不等式的解法，掌握导数与函数单调性的密切关系导数法求函数单调区间的一般步骤[提醒](1)求函数的单调区间时,一定要先确定函数的定义域,否则极易出错.如本例易忽视定义域为(0,+∞)而导致解题错误.(2)个别导数为0的点不影响函数在该区间上的单调性,如函数f (x )=x 3, f '(x )=3x 2≥0(x ≠0时, f '(x )=0),但f (x )=x 3在R 上是增函数.触手小试:1.函数y =f (x )的导函数y =f '(x )的图象如图所示,则下面判断正确的是( )A.在区间(-3,1)上f (x )是增函数B.在区间(1,3)上f (x )是减函数C.在区间(4,5)上f (x )是增函数D.在区间(3,5)上f (x )是增函数选题意图：导数与函数单调性的关系体现在图形上，信息在图形上寻找. (渗透数形结合的思想)2.函数f (x )=cos x -x 在(0,π)上的单调性是 ( )A.先增后减B.先减后增C.单调递增D.单调递减 选题意图：巩固基本函数导数公式，三角函数图象及性质. 3.函数f (x )=x 3-3x +1的单调增区间是 ( )A.(-1,1)B.(-∞,1)C.(-1,+∞)D.(-∞,-1),(1,+∞)选题意图：掌握常用函数导数公式，巩固一元二次不等式的解法.4.函数y =21x 2-ln x 的单调递减区间为 .选题意图：巩固导数运算法则，掌握分式不等式的解法. 课堂变式练习1.函数y =xx 142+的单调增区间为 ( )A.(0,+∞)B.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 C.(-∞,-1)D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21, 2.已知定义在区间(-π,π)上的函数f (x )=x sin x +cos x ,则f (x )的单调递增区间是 .问题二：含参数的函数的单调性典例2（2017新课标Ⅰ改编）已知函数f (x )=()12++x ax e x (a >0),试讨论f (x )的单调性.选题意图：巩固基本函数导数公式和导数运算法则，理解参数的取值对函数单调区间的影响，进而掌握对参数进行分类讨论的要点,贯穿分类讨论的思想.课堂变式练习已知函数x e a ae x f x x --+=)2()(2,试讨论f (x )的单调性.三、归纳小结1.求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．2.涉及含参数的单调性或单调区间的问题，首先弄清楚参数对导数f '(x )在某一区间的符号是否影响，若有影响，必须分类讨论.四、布置作业： 全品P13-14已知函数x e a ae x f x x --+=)2()(2,试讨论f (x )的单调性. (答案)归纳：课后思考:若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是 .选题意图：渗透分类讨论思想，巩固导数运算法则，熟悉解含参数的分式不等式进行分类时的解法要点，这类题是重点，也是难点，牵涉到数学基础知识，学生常常是弄不清怎么分类，找不到分界点，甚至在分类后解不等式组时还出现失误，各不等式组解出后下结论时是交集还是并集也糊涂。
导数与函数的单调性含参数函数的单调性公开课教学课件
① 当 0时，即a 4, f (x) 0，则f (x)在(0,)上递增。
② 当 0时，即a 4.由g(x) 0得
x1 2 4 a
x2 2 4 a
f (x) x 4 a x2 4x a
x
x
（Ⅰ）若a 0时，则x1 0,
令g(x) x2 4x a(x 0),
（Ⅱ）若a 1时，则f (x) (ex 1)2
在x R, f (x) 0,当且仅当x 0时f (x) 0,则f (x)在R上单调递增。
（Ⅲ）若a 1时，则ln a 0,
在x (,0), f (x) 0,则f (x)在对有(于根,所的0)上对二递应次增的型；方函程数一，定要 在x (0,ln a), f (x) 0,则f (x)在(对0,根ln a的)上大递小减进；行讨论 在x (ln a,), f (x) 0,则f (x)在(ln a,)上递增.
1.二次项系数与0的关系从而确定开口
2.能因式分解题型求根后比较根的大小以及根在定义域内的 分布情况 3.不能因式分解型，比较判别式与0的关系从而确定根的个数
△≤0，无根或只一根 △＞0，有两根再判断开口和根的分布
六：作业
已知函数 f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在 x＝－4处取得极值. 3
(1)确定 a 的值； (2)若 g(x)＝f(x)ex，求函数 g(x)的单调减区间.
② 当a 0时，
二次型函数，要对二次项的
在x (0, 2)，f (x) 0,则f (x)在(0, 系2)数上递的减符；号进行讨论
Байду номын сангаас
在x ( 2,), f (x) 0,则f (x)在( 2,)上递增。
③ 当a 0时，
在x (0, 2,), f (x) 0, f (x)在(0, 2)上递增；
函数的单调性(公开课课件)
单调减函数是指函数在某个区间内，对于任意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如果$x_1$和$x_2$ 都在这区间内，那么函数值$f(x_1) geq f(x_2)$。也就是说，函数的图像随着$x$的增加而下降。
严格单调函数的定义
总结词
严格单调函数是指函数在某个区间内，严格满足单调增或单调减条件的函数。
利用单调性解方程
利用函数的单调性，可以求解方程。
通过分析函数的单调性，可以确定方程解的范围，从而求解方程。例如，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，如果$a > 0$，则函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(-infty, -frac{b}{2a})$上单调递减，在区间$(-frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增 ，因此方程的解必定落在$(-frac{b}{2a}, +infty)$区间内。
函数单调性的反例
04
单调增函数的反例
总结词
非严格单调增函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递增，即存在某些区间内函数值先减小后 增大。例如，函数$f(x) = x^3$在区间$(-2, -1)$内是单调减函数。
单调减函数的反例
总结词
非严格单调减函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递减，即存在某些区间 内函数值先增大后减小。例如，函数$f(x) = frac{1}{x}$在区 间$(1, +infty)$内是单调增函数。
详细描述
单调增函数是指函数在某个区间内，对于任 意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$ ），如果$x_1$和$x_2$都在这区间内，那么 函数值$f(x_1) leq f(x_2)$。也就是说，函数 的图像随着$x$的增加而上升。
函数的单调性(公开课课件)
VS
单调性与极值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的极值大 小。
单调性与最值的关系
单调性与最值点的关系
单调性可以用来判断函数在某点是否为最值 点。
单调性与最值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的最值大小 。
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函数单调性的应用
利用单调性求参数范围
通过函数的单调性，我们可以确定参数的取值范围，进而解决一些数学问题。
在函数中，如果函数在某区间内单调递增或递减，那么我们可以根据函数值的变化趋势，确定参数的取值范围。例如，如果 函数$f(x)$在区间$(a, b)$内单调递增，且$f(x_0) = 0$，那么对于任意$x in (a, b)$，都有$f(x) > 0$，从而可以得出参数的 取值范围。
单调性可以通过函数的导数来判断，如果函数的导数大于等于0，则函数在该区 间内单调递增；如果函数的导数小于等于0，则函数在该区间内单调递减。
单调增函数和单调减函数
01
单调增函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而增加。
02
单调减函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而减少。
函数单调性的几何意义
导数与函数单调性
总结词
导数可以判断函数的单调性，当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时 ，函数单调递减。
详细描述
导数表示函数在某一点的切线斜率。如果导数大于0，说明切线斜率为正，函数 在该区间内单调递增；如果导数小于0，说明切线斜率为负，函数在该区间内单 调递减。
复合函数的单调性
总结词
复合函数的单调性取决于内外层 函数的单调性以及复合方式。
【2021精品】高中数学《1.3.1函数的单调性与导数》公开课优质教学设计教案
§1.3.1函数的单调性与导数（第1课时）教学目标：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程： 一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． 二．新课讲授1．问题：图 1.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图1.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图1.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减． 结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数． 3．求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数'()f x 的下列信息： 当14x <<时，'()0f x >； 当4x >，或1x <时，'()0f x <； 当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增； 当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减； 当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图1.3-4所示． 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =-- （3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+ 解：（1）因为3()3f x x x =+，所以， '22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图1.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增； 当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减； 函数2()23f x x x =--的图像如图1.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-< 因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减， 如图1.3-5（3）所示．1.3-5(1)1.3-5(2)（4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．当'()0f x >，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 当'()0f x <，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图所示．注：（3）、（4）生练例3 如图1.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大， 那么函数在这个范围内变化的快， 这时，函数的图像就比较“陡峭”； 反之，函数的图像就“平缓”一些．如图1.3-7所示，函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”， 在(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”．例4求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤： （1）求导函数()'f x ；（2）判断()'f x 在(),a b 内的符号； （3）做出结论：()'0f x >为增函数，()'0f x <为减函数．例5已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围．解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤所以实数a 的取值范围为[]1,1-．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．四．课堂练习1．求下列函数的单调区间1.f (x )=2x 3－6x 2+72.f (x )=x1+2x 3. f (x )=sin x , x ]2,0[π∈ 4. y=xlnx 2．课本 练习 五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系 （2）求解函数()y f x =单调区间（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性六．布置作业§1.3.2函数的极值与导数（第2课时）教学目标：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 一．创设情景观察图1.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大t a =附近函数()h t 的图像，如图1.3-9．可以看出()h a '；在t a =，当t a <时，函数()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0h t '>）后减（t a >，()0h t '<）．这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=．对于一般的函数()y f x =，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 二．新课讲授1．问题：图13-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图1.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现：（3） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（4） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图 1.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数． 3．求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 三．典例分析例1．已知导函数'()f x 的下列信息： 当14x <<时，'()0f x >； 当4x >，或1x <时，'()0f x <； 当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增； 当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图1.3-4所示． 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =-- （3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+ 解：（1）因为3()3f x x x =+，所以， '22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图1.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增；当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减； 函数2()23f x x x =--的图像如图1.3-5（2）所示．（5） 因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-< 因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图1.3-5（3）所示． （6） 因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．当'()0f x >，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 当'()0f x <，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练例6 如图1.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图所示，函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”，在(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”． 例7求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤： （1）求导函数()'fx ；（2）判断()'f x 在(),a b 内的符号； （3）做出结论：()'0f x >为增函数，()'0f x <为减函数．例8已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围．解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤所以实数a 的取值范围为[]1,1-．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解． 四．课堂练习1．求下列函数的单调区间1.f (x )=2x 3－6x 2+72.f (x )=x1+2x 3. f (x )=sin x , x ]2,0[π∈ 4. y=xlnx 2．课本练习 五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系 （2）求解函数()y f x =单调区间（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性六．布置作业。
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减区间为（0，1）
三、问题总结
利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f '(x); (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f '(x)>0和 f '(x)<0; (4)根据(3)的结果确认f(x)的单调区间。
四、巩固练习
判断函数f(x)=3x-x3的单调性, 并求出单调区间:
（1）f '(x)=x3+3x= 3(x2+1)>0 解： 所以函数f(x)=x3+3x在R上单调递增。 所以函数f(x)=xБайду номын сангаас+3x的单调增区间为R。
二、讲授新课-----典例精讲
例 3. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f(x)=x2-2x-3, (2) f(x)=x2－2lnx
五、课堂小结
1.函数的单调性与导函数的正负的关系：
在某个区间(a,b)内,
如果 f '(x) >0 ,那么函数在这个区间内单调递增； 如果 f '(x)<0 , 那么函数在这个区间内单调递减；
2.利用导函数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：
(1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f '(x); (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f '(x)>0和f '(x)<0; (4)根据(3)的结果确认f(x)的单调区间。
h (1) v (2) t O t O a b
a
b
通过观察图像，我们可以发现：
(1)
v
(2)
h
t t O a b ②从最高点到入水,运动员离 水面的高度h随时间t的增加 而减少,即h(t)是减函数.相应 地,v(t)=h'(t)<0.
O
a
b
①运动员从起跳到最高点,离 水面的高度h随时间t 的增加 而增加,即h(t)是增函数.相应 地,v(t)=h'(t)>0.
六、布置作业
作业： 课本P26 页：练习 第1题 练习册： 课时作业（7）
谢谢指导
“临界点”) 综上, 函数 f (x) 图象的大 致形状如右图所示.
O
1
4
x
二、讲授新课-----牛刀小试
练习. 设导函数y=f '(x)的图象如图，则其原函数可能为 ( C ) (A)
y
o 1
y=f(x)
(B)
y
o
y=f(x)
2 x
(D) y=f(x)
1
2 x
y=f(x)
y y f '( x ) o 2x
(C)
y 2 x
y
o 1
o 12
x
二、讲授新课-----典例精讲
例 2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f(x)=x3+3x (2) f(x)=x2-2lnx
二、讲授新课-----典例精讲
例 2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f(x)=x3+3x (2) f(x)=x2-2lnx
2.怎样用定义判断函数的单调性？
（1）取值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论
二、讲授新课------导入新课
下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函 数h(t)= -4.9 t 2+6.5t+10 的图象, 图(2)表示高台跳水运动 员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t)= -9.8t+6.5 的图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时 间的运动状态有什么区别?
解 ：
(2) 函数f(x)=x2－2lnx定义域为0,
'
2 2 x 2 2 2( x 2 1) 2( x 1)( x 1) f ( x) 2 x x x x x
当f '(x)>0,即x>1时，函数f(x)=x2－2lnx单调递增； 当f '(x)<0,即0<x<1时，函数f(x)=x2－2lnx单调递减； 所以函数f(x)=x2－2lnx的单调增区间为 (1,)，单调
y=f(x)
在某个区间(a,b)内,
o
(x0，f(x0))
x
如果 f '(x) >0 , 那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；
如果 f '(x)<0 , 那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减；
特别地，如果 在某个区间内恒有f '(x)=0 , 那么函数 y=f(x)在这个区间内是常数函数.
解：
f '(x)=3x-x3=3-3x2=-3(x2-1)=-3(x-1)(x+1) 当f '(x)>0,即-1<x<1时，函数f(x)=3x-x3 单调递增； 当f '(x)<0,即x>1或x<-1时，函数f(x)=3x-x3 单调递减； 所以函数f(x)=3x-x3的单调增区间为 （-1，1），单调 减区间为 , 1 和 (1, )
1.3.1函数的单调性与导数（第1课时）
高二数学
一、新课导入------复旧知新
1.函数的单调性是怎样定义的？
一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，
当x1<x2时，都有f(x1)<f (x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数; 当x1<x2时，都有f(x1)>f (x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数; 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有单调性。区间D叫做函数的单调区间。
二、讲授新课-----问题探究
观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负 的关系. y y y=x y=x2
（1）
（2）
o
（3 ）
x y=x3 x
（4 ）
o y o
x
1 y x
y o
x
二、讲授新课-----问题探究 y
一般地，函数的单调性与其导 (x1，f(x1)) 函数的正负有如下关系：
二、讲授新课-----牛刀小试
例 1. 已知导函数 f '(x) 的下列信息: 当1 < x < 4 时, f '(x)>0；当 x > 4 , 或 x < 1时, f '(x) <0；
当 x = 4 , 或 x = 1时, f '(x) =0。 试画出函数 f (x) 的图象的大致形状.
解:
当1 < x < 4 时, f '(x) >0,可知 f (x) 在此区间内单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时, f '(x) <0 ,可知 f (x) 在此区间内单调递减; 当 x = 4 , 或 x = 1时, f '(x) =0 . (这两点比较特殊，我们称他们为 y