状态空间分析预测

0]
x2
(t
)
xm (t)
xr2 (t) br2
(7 22)
(7 23)
S5.NUDT
7.5.2 宋健人口模型
0 L
(1
0 )x0
0 M
(t)
(1
0
)(1
00
)
0
L
0
M 0 L
br1 L LL
LL
br2 L
L 0 x1(t)
L
0
x2
(t
)
M
x3 (t ) M
状态变量：确定系统状态的一组数目最少 的独立变量。
状态向量：任何一组状态变量的列向量表
示。状态向量的每个取值称为系统的一个
状态。
x1(t)
X
(t)
x2
(t
)
x1(t),
x2 (t),
,
xn (t)T
4
xn (t)
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S5.NUDT
7.5.1 基本概念
状态空间：设状态的每个分量（即每个状 态变量）可在-到+范围内任意取值，则 所有状态构成实数域上的状态空间。
xm (t)
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S5.NUDT
7.5.2 宋健人口模型
x1(t 1) f0 (t)
00 (t)
00
10
0 0
x0 (t)
xr1 (t)
xr2 (t)
br1
br2
生育过程
国防科技大学信息系统与管理学院
时间维
00 t+1 (t 1)
00
x0(t 1)
f0 (t )
t
00
xm
(t
1)
M 0
0 0
1 2
M L
L L L O
1 m1
0 x1(t)
0
x2
(t
)
0
M
M
0 xm (t)
(1 0 )x0 (t) f0 (t)
0
f1 (t )
M M
0
fm1
(t
)
年龄过程模型
13
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f0 (t)
x1(t 1)
0 0
00 (t)
00
x0 (t)
生育过程
xr1 (t)
br1
xr2 (t) br2
r1：系统内妇女最低生育年龄；r2：最高生育年龄 j(t)：t年度j岁妇女生育的婴儿总数 (t)：t年度生育的婴儿总数
00(t)： t年度婴儿死亡率 η00(t)：1-00(t)
bj：按龄增生率
bj
@
j
(t
(t)
00
0 0 x0 (t )
br1
br2
x1(t 1) x2(t 1)
xr1 (t 1) xr11(t 1)
f1(t)
fr1 (t)
1 1
r1
r1
x1(t)
xr1 (t)
br1
xr2 (t 1) xr21(t 1)
xm1(t 1)
fr2 (t)
fm1(t)
r2
r2
m1 m1
xr2 (t)
引起人口系统状态变化的三个基本要素： 死亡 生育 随机扰动：人口迁移、战争、瘟疫等
8
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S5.NUDT
7.5.2 宋健人口模型
x2 (t 1) f1 (t )
1 1 1 1 1
x1 (t )
9
xi1(t 1) fi (t)
i i i 1 i
xi (t)
年龄过程
m
平稳的人口S中，其意义近似为一对夫妇终生生育 的胎数），即
r2
(t) ni (t) i r1
生育模式hi(t)=ni(t)/(t)，i[r1,r2]
17
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S5.NUDT
人口系统的状态变量： xi(t)——t年度人口系统内年满i岁但不足i＋1岁的
人数，i=1,2,…,m，m是系统中人口能活 到的最大年龄。
人口系统的状态向量：
X(t) x1(t), x2(t),L , xm(t)T
7
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S5.NUDT
7.5.2 宋健人口模型
人口系统动态过程
7.5 状态空间分析预测
S5.NUDT
7.5.1 基本概念
状态空间分析是一种系统分析方法。 状态空间分析法：在状态空间中，以系统
的状态变量或状态向量来描述系统、揭示 系统状态之间的相互联系，并进行分析设 计的方法。
2
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S5.NUDT
7.5.1 基本概念
运用现代控制理论中的状态空间分析法，可列出 反映系统动态变化特性的状态空间表达式。这种 表达式是递推式，故可用于预测系统未来状态。
任意两个状态之和仍是一个状态； 用任意实数乘任一状态，所得仍是一个状态。
5
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7.5.2 宋健人口模型
1979年宋健等人建立人口模型 ， 1987年《人口系统定量研究》课题获国 家科技进步一等奖。
6
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S5.NUDT
7.5.2 宋健人口模型
xi1(t 1) fi (t)
i i i 1 i
xi (t)
xi1(t 1) [1 i (t)]xi (t) fi (t) (i=0,1,2,…,m-1)
12
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7.5.2 宋健人口模型
矩阵形式：
0
x1 (t x2 (t
1) 1)
1 1
0
M
)
x j (t)
生育过程
f0 (t)
x1(t 1)
0 0
00 (t)
00
x0 (t)
xr1 (t)
br1
x0 (t) [1 00 (t)] (t)
r2
r2
而 (t)＝ i (t) bi (t)xi (t)
i r1
i r1
所以 (t)＝[0, 0,br1 br2 , 0
x1(t)
xm1(t)
br2
-1
0
1
r1
r2
m-1
xm(t 1)
m xm (t )
状态维 m
人口系统动态过程
S5.NUDT
7.5.2 宋健人口模型
年龄过程
xi(t)：t年度i足岁人口数 i(t)：t年度（t年度至
t+1年度）i岁人口按龄 死亡率
ηi(t)：1-i(t) i(t)： t年度（t年度至
t+1年度）i岁人口随机 净增长量
这种预测方法能从一定深度上揭示系统运动规律 和机制，较全面反映系统各种因素和变量间的联 系，并把系统的发展变化同系统控制变量（输入） 联系起来，建立一种因果关系。这对系统规划和 控制是十分有利的。
3
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7.5.1 基本概念
系统状态：表征动态系统运动的信息。
L
0 xm (t)
生育过程模型
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S5.NUDT
7.5.2 宋健人口模型
生育过程
按龄女性比Ki(t)：t年度i岁妇女占i岁人口比例 ni(t)： t年度i岁妇女平均生育婴儿个数 η0A=(1-μ0)(1-μ00) 总和生育率(t)：育龄妇女按龄生育率总和（一个