中科院历年高数甲_高数A真题

中国科学院———中国科技大学

2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷

试卷名称：高等数学（A ）

考生须知：

1.本试卷满分150分，全部考试时间总计180分钟。

2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。

_____________________________________________________________________

一、选择题（每题只有一个答案是正确的，每小题5分，共25分）

（1）当0→x 时，x

x 1

sin 1是（ ）

A. 无穷小量

B. 无穷大量

C. 有界且非无穷小量

D. 无穷且非无穷大量

（2）设)(x f 可微且满足12)0()(lim 0

=--→x

f x f x ，则曲线)(x f y =在))0(,0(f 处的切线斜率为（ ）

A .2- B. 2 C .21

- D. 21

（3）二元函数),(y x f 在),(00y x 处的两个偏导数存在是),(y x f 在),(00y x 处可微的（ ）

A. 充分条件

B. 必要条件

C. 充分必要条件

D. 既非充分也非必要条件 （4）正项级数∑∞

=1n n a 收敛的充分条件是（ ）

A .

11

<+n

n a a )(N n ∈ B. 1

n a )(N n ∈

C.

∑∞

=++1

1)(n n n

a a

收敛 D.

∑∞

=1

2n n

a

收敛

（5）下列广义积分中发散的是（ ） A.

dx x x

x ⎰

+∞

+0

2

2)

1(ln B. dx x

⎰

-1

2

11

C.

dx x x x

⎰

+∞

-1

2

)

1(ln D. dx x

x ⎰

∞

++0

2)

1ln(

二、填空题（每小题5分，共25分）

（1）=---→x

x x e x x 222

0sin 1lim

2

________。 （2）曲线x y sin =)0(π≤≤x 和x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积是____________。 （3）二重积分

=++⎰⎰≤+dxdy y x y

x y x 1

22sin sin sin 3sin 2________。 （4）平面12=++z y x 与椭圆柱面13

22

2=+

y x 相交所成的椭圆的面积为_________。

（5）向量场2

2

2

z

y x k j i v ++++=

的旋度为___________。

三、（8分）设二元函数f 具有一阶连续偏导数，关系式 yz e z x f y z ==)

,(可确定函

数)(x y y =及)(x z z = 求

dx dy 及dx

dz

。 四、（8分）设)(x f 满足条件1)()(-='x f x f ，2)0(=f 。

（1）求)(x f ；

（2）求不定积分⎰-dx x f x f )(ln )1)((。

五、（8分）求幂级数∑∞

=++-0

1

1

)1(n n n

x n n 的收敛半径和函数。 六、（8分）求微分方程x e y y y -=+'+''2的通解。

七、（12分）设)(x f 在[]1,0中有连续二阶导函数。

（1）证明：⎰⎰-+=''-1

1

)(2)1()0()()1(dx x f f f dx x f x x ；

（2）当1)0(=f ，1)1(-=f 且M x f ≤'')(时，试证：

12

)(1

M

dx x f ≤

⎰

。 八、（12分）计算曲线积分⎰+-L

x x ydy e dx y y e cos )sin (，其中L 是以)0,0(为起

点 ，以)0,2(为终点的上半圆周1)1(22=+-y x 。

九、（12分）计算曲面积分⎰⎰+-S

zdxdy dydz x x )(3，其中S 是有向曲面

22y x z +=)10(≤≤z ，其法向量与z 轴正方向夹角为锐角。

十、（12分）设)(x f 是以π2为周期的偶函数，当π≤≤x 0时，21)(x x f -=。

（1）将)(x f 在[]ππ,-上展开成傅里叶级数；

（2）根据（1）求∑∞

=--1

2

1

)1(n n n 和∑∞

=141n n 。 十一、（10分）设函数)(x f 在[)+∞,0上连续，在),0(+∞上可微，0)0(=f 。当0

>x 时，)()(0x f x f ≤'≤，证明)(x f 恒等于0。

十二、（10分）设)(x f 在)1,0(上一致连续，证明)(x f 在)1,0(上有界.举例说明

逆命题不成立。