傅立叶变换的推导

F(n1)

an
jbn（奇偶性） 2
令
F (0)

a0 2
，则得：
f (t)


Fne jn1t
n
QH2.1.9
4，指数形式的傅里叶级数的推导
F (n1)

an
jbn 2

1 2
(T2
T
2

T 2
f (t) cos(n1t)dt
j
2 T
T
2

T 2
f (t) sin(n1t)dt)

0

a

1
j2
f
a
1
j2 f

a2
2a
(2
f
)2
QH2.2.5
5，符号函数
f (t) sgn(t)
1 1
t0 t0
sgn(t) 可以看成是 lim eat ， a0
∴
F( f
)



f
(t)e j2
ftdt

e jate j2

ftdt

f
*(t)e j2
ftdt



[
f
(wenku.baidu.com)e
j2
ft
]*dt
[ f (t)e j(2 f )tdt]*
F*( f )
（3）由(1)(2)即可得。
QH2.3.7
6，傅里叶变换综合练习题
（1） f (t) sin c(t)
（2）
f 也即 t
f
(
f
)



F
(t)e
j
2
ftdt
F(t) f ( f )
QH2.3.2
2，尺度变换
若 f (t) ，F则( f )
f (at)
1 a
F
(
f a
)
推导：
F1(
f
)



f
(at)e j2
f令tdt
则 x at
dt

1 a
dx
F1(
f
)



f
(
F() 2
e jtd

1
2


F
()e
jtd



F
(
f
)e
j2
ft
df
QH2.1.14
7，傅里叶变换的分析
（1）傅里叶变换对：
f
(t)



F
(
f
)e
j2
ftd
f
式2.1.7
F(
f
)



f
(t)e j2
ftdt
规律：正变换为负，反变换为正。
式2.1.8

1 2
an2
bn2

cn 2
相位谱
n


arctan(
bn an
)
（4）
an

2 T
T
2
T2
f (t) cos(n1t)dt
bn

2 T
T
2
T2
f (t) sin(n1t)dt
当 f (t)为偶函数时，bn ，0 则F (n1)为实函数，
当f (t)为奇函数时，an ，0 则 F (n1)为纯虚函数，

e f0t j2
ftdt
QH2.2.7
7，余弦函数
f
(t)

cos(2
f0t)

1 2
[
(
f

f0) ( f

f0)]
cos(2
f0t)

1 2
(e j2
f0t

e j2
f0t )
F( f )

1 2
[
(
f

f0) ( f

f0)]
QH2.2.8
8，矩形窗函数
f (t) GT (t)

lim
a0
2 a2
j2 (2
f f
)2

1
j f
QH2.2.6
6，指数函数
f (t) e j2 f0t ( f f0)
(t) 1
∴

(t
)



e
j
2
ft
df

(
f
)



e
j2
ft
dt
F(
f
)



f
(t)e j2
ftdt

e j2

1 T
T
2

T 2
f (t)(cos(n1t)
j sin(n1t)dt

1 T
T
2

T 2
f (t)e jn1tdt
QH2.1.10
5，指数形式的傅里叶级数的分析
（1）指数形式的傅里叶级数对
f (t)


Fne jn1t
n
（2）
F(n)
1 T
T
2

T 2
f (t)e jn1tdt
第二章 确定信号分析
第一节 确定信号的傅里叶变化及其推导 第二节 典型信号的傅里叶变换 第三节 傅里叶变换的性质 第四节 周期信号的傅里叶变换及抽样定理
QH2.0.2
第一节 确定信号的傅里叶变换 及其推导
1，傅里叶变换的基本结论 2，三角形式的傅里叶级数的推导 3，三角形式的傅里叶级数的分析 4，指数形式的傅里叶级数的推导 5，指数形式的傅里叶级数的分析 6，傅里叶变换的推导 7，傅里叶变换的分析
ftdt
1
思考：0频率与冲击的区别。
QH2.2.2
2，冲击偶函数
f (t) '(t)
F( f
)




'
(t)e
j
2
ftdt
(t)e j2 ft

(t)( j2 f )e j2 ftdt
j2 f
QH2.2.3
3，单边指数信号
f
(t)
T
2

T 2
f (t)dt
QH2.1.3
2，三角形式的傅里叶级数的推导
对式2.1.1两边同乘 cos(n1t)
再[在T2
,
T 2
]
T
2
T2
f (t) cos(n1t)dt
积分，得：

T
2

T 2
a0 2
cos(n1t)dt

T
2

T 2

an
n1
cos2(n1t)
bn sin(n1t) cos(n1t)dt

f (t)e jtdt
令 F()

2 1
F (n，1)
则
F(
)



f
(t)e jtdt
f
(t)



n
F (n1) 1
e
j
n1t 1
QH2.1.13
6，傅里叶变换的推导
∵
F()
2 1
F (n1)
，
且 1 d ，
∴
f
(t)



A 0

T 2

t

T 2
other
F(
f
)



f
(t)e j2
ftdt
T

2

T 2
Ae j2 ftdt

A
j2
f
(e
j 2
f
T 2

e
j
2
f
T 2
)

A
j2 f
[2
j
sin(
2 fT
2
)]

ATSin( fT
fT)

AT
sin
c(
fT)
QH2.2.9
第三节 傅里叶变换的性质
bn
sin(n1t)
a0 an (e jn1t e jn1t ) bn (e jn1t e jn1t )
2 n1 2
2j

a0 2



(
an
n1
jbn 2
)e jn1t

( an
jbn 2
)e jn1t
令
F (n1)

an
2
jbn
，则
arc
t
a
n
(
bn an
)
被c称n 为频率谱， 被称为n 相位谱。
QH2.1.8
4，指数形式的傅里叶级数的推导
cos(n1t)

1 2
(e jn1t

e jn1t )
sin(n1t)

1 2j
(e jn1t
e
jn1t )
f
(t)

a0 2


an
n1
cos(n1t)

T2
f (t) cos(n1t)dt
bn

2 T
T
2

T 2
f (t) sin(n1t)dt
为偶函数 为奇函数
QH2.1.7
3，三角形式的傅里叶级数的分析
（2）同频合并：
f
(t)

c0 2


cn
n1
cos(n1t
n)
其中： c0 a0
cn
an2 bn2
n


f
(t)

a0 2


an
n1
cos(n1t)
bn
sin(n1t)
式2.1.1
根据三角函数的正交性，对式2.1.1两边积分，得：
T
2

T 2
f
(t)dt

T
2

T 2
a0 2
dt

T
2
T2

an
n1
cos(n1t) bn
sin(n1t)dt

a0 2
T
a0

2 T
an

2 T
T
2

T 2
f (t) cos(n1t)dt
F(n)
1 T
T
2

T 2
f (t)e jn1tdt
思考：其中的2到哪去了？
式2.1.5 式2.1.6
QH2.1.11
5，指数形式的傅里叶级数的分析
（3）
F(n1)

an
2
jbn

F(n1) e jn
其中频率谱
F (n1)
ftdt



f
(t)e j(2
f
)(t )d (t) (1)



f
(x)e j(2
f
)xdx(1)



f
(x)e j(2
f
)xdx

F(
f
)
x t
QH2.3.6
5，奇偶虚实性
（2）
F(
f
)



f
(t)e j2
ftdt
F1(
f
)


（2）傅里叶变换的基本条件：无限区间绝对可积
QH2.1.15
第二节 典型信号的傅里叶变换
1，冲击函数 2，冲击偶函数 3，单边指数信号 4，双边指数信号 5，符号函数 6，指数函数 7，余弦函数 8，矩形窗函数
QH2.2.1
1，冲击函数
f (t) (t)
F(
f
)




(t)e
j2
若 f (t) ，F则( f )
F ( f f0) f (t)e j2 f0t
推导：f1(t)


F
(
f

f0)e j2 ftdf
令 x f f0
则 f x f0
f1(t)



F(x)e
j2
(x
f0
)tdx
F(x)e j2 xtdxe j2 f0t

eat

0
t0 t0
F(
f
)



f
(t)e j2
ftdt

eate j2
0
ftdt

a
1
j2
f
QH2.2.4
4，双边指数信号
f (t) ea t
F(
f
)



f
(t)e j2
ftdt
0 eate j2 ftdt eate j2 ftdt

an 2
T
an

2 T
T
2
T2
f (t) cos(n1t)dt
QH2.1.4
2，三角形式的傅里叶级数的推导
同理，对式2.1.1两边同乘 sin(n1t)
再[在T2
,
T 2
]
积分，得：
T
2

T 2
f (t) sin(n1t)dt

T
2
T 2
a0 2
sin(n1t)dt

T
2
1，对称性 2，尺度变换 3，时移特性 4，频移特性 5，奇偶虚实性 6，傅里叶变换综合例题
QH2.3.1
1，对称性
若 f (t) F( f ) ，则 F(t) f ( f )
推导：
f
(t)



F
(
f
)e
j
2
ft
df
∴
f
(t)



F(
f
)e
j
2
ftdf互换
和 ，得：
QH2.1.1
1，傅里叶变换的基本结论
（1）三角形式的傅里叶级数
f
(t)

a0 2


an
n1
cos(n1t)
bn
sin(n1t)
（2）复数形式的傅里叶级数
f (t)


Fne jn1t
n
（3）傅里叶变换
f
(t)



F
(
f
)e
j
2
ftdf
QH2.1.2
2，三角形式的傅里叶级数的推导

bn
sin(n1t)
其中：
a0

2 T
T
2
T 2
f (t)dt
式2.1.2
an

2 T
T
2
T 2
f (t) cos(n1t)dt
式2.1.3
bn

2 T
T
2

T 2
f (t) sin(n1t)dt
式2.1.4
QH2.1.6
3，三角形式的傅里叶级数的分析
（1）奇偶性
an

2 T
T
2
QH2.1.12
6，傅里叶变换的推导
由上一节的推导可知， F(n1)
1 T
T
2
T2
f (t)e jn1tdt
T
两边同乘T，得：T F
(n1)

2
T2
f (t)e jn1tdt，其中
T

2
当 T
时，1

2
T
0
n1
∴
2 1
F(n1)


x)e
j
2 a
f
x
1 a
dx

1 a
F(
f a
)
a0
∴
F1(
f
)



f
(x)e
j
2 a
f
x
1 a
dx

1 a
F(
f a
)
a0
f (at)
1 a
F
(
f a
)
QH2.3.3
3，时移特性
若 f (t) ，F则( f )
f (t t0) F ( f )e j2 ft0
T 2

an
n1
cos(n1t) sin(n1t)

bn
s i n 2(n1t)d t
bn T 2
bn

2 T
T
2

T 2
f (t) sin(n1t)dt
QH2.1.5
2，三角形式的傅里叶级数的推导
由此可得三角形式的傅里叶级数：
f
(t)

a0 2


an
n1
cos(n1t)
f (t)e j2 f0t
QH2.3.5
5，奇偶虚实性
若 f (t) ，F则( f：)
（1） f (t) F( f )
（2）f *(t) F *( f )
（3） f *(t) F*( f )
推导：（1）F(
f
)



f
(t)e
j2
ftdt
F1(
f
)



f
(t)e j2
推导：F1(
f
)



f
(t
t0)e j2
f令tdt
则 x t t0 t x t0
∴
F1(
f
)



f
(x)e j2
f (xt0 )dx
F1( f
)



f
(x)e j2
fxdxe j2
ft0

F( f
)e j2 ft0
QH2.3.4
4，频移特性