高中数学全参数方程知识点大全
高中数学极坐标与参数方程公式大全
高中数学极坐标与参数方程公式大全极坐标公式极坐标是一种用极径和极角来确定平面上点位置的坐标系统。
在高中数学中，我们常常会遇到极坐标与直角坐标之间的转换和相关公式。
点的极坐标表示在极坐标系统中，一个点的位置由极径和极角确定。
极径表示点到极点的距离，通常用字母 r 表示；极角表示点与极轴的夹角，通常用字母θ表示。
通过将直角坐标系中的点 (x, y) 转换成极坐标系下的点(r, θ)，可以使用以下公式：•极径 r：r = √(x^2 + y^2)•极角θ：θ = arctan(y / x)极坐标到直角坐标的转换假设在极坐标系统中，有一个点(r, θ)，我们可以通过以下公式将其转换为直角坐标系统下的点：•x 坐标：x = r * cos(θ)•y 坐标：y = r * sin(θ)参数方程公式参数方程是一种用参数表示自变量和因变量之间关系的方式。
在高中数学中，我们常常使用参数方程来描述曲线或者路径。
曲线的参数方程表示对于一个给定的曲线，我们可以使用参数方程来表示。
通常，我们用参数 t 来表示自变量，然后通过指定 x 和 y 的表达式，将参数 t 和 (x, y) 一一对应。
例如，一个曲线的参数方程可以表示为：•x = f(t)•y = g(t)参数方程与直角坐标系的关系通常情况下，参数方程与直角坐标系下的方程之间存在关系。
我们可以通过参数方程将曲线在直角坐标系下表示出来。
在参数方程中，将参数 t 的取值范围确定在一定的区间上，可以画出曲线的一部分或者整条曲线。
极坐标与参数方程之间的转换在一些数学问题中，我们需要在极坐标和参数方程之间进行转换。
下面是一些常见的极坐标与参数方程之间的转换公式：极坐标到参数方程的转换•x = r * cos(θ)•y = r * sin(θ)上述公式可以表示为参数方程：•x = f(θ) = r * cos(θ)•y = g(θ) = r * sin(θ)参数方程到极坐标的转换给定参数方程 x = f(t) 和 y = g(t)，我们可以通过以下步骤将其转换为极坐标：1.计算 r 的表达式：r = √(f(t)^2 + g(t)^2)2.计算极角θ 的表达式：θ = arctan(g(t) / f(t))可以注意到，在将参数方程转换为极坐标时，需要考虑函数 f(t) 和 g(t) 的符号，以确保角度θ 的取值范围正确。
(完整word版)高中数学参数方程知识点大全
高考复习之参数方程 一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构 1.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2+b 2=1,②即为标准式，此时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t ｜.直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数）若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t=221t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜221t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)(2)椭圆 椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆 12222=+by a y (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数) 3.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫 做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x ytg y x θρ 三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例1 在圆x 2+y 2-4x-2y-20=0上求两点A 和B ，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解： 将圆的方程化为参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin 51cos 52y x （θ为参数） 则圆上点P 坐标为(2+5cos θ，1+5sin θ)，它到所给直线之距离d=223430sin 15cos 120+++θθ故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时 ，d 最长，这时，点A 坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d 最短，这时，点B 坐标为(-2，2).(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明 这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.例2 极坐标方程ρ=θθcos sin 321++所确定的图形是（ ） A.直线B.椭圆C.双曲D.抛物线解： ρ=)6sin(1211)]cos 2123(1[21πθθ++⋅=++(三)综合例题赏析 例3 椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨⎧Φ+-=Φ+=y x （ ）A.(-3，5)，(-3，-3)B.(3，3)，(3，-5)C.(1，1)，(-7，1)D.(7，-1)，(-1，-1)解：化为普通方程得125)1(9)3(22=++-y x ∴a 2=25,b 2=9,得c 2＝１６,c=4.∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)∴在xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5). 应选B.例4 参数方程表示)20()sin 1(212sin 2cos πθθθθ<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x A.双曲线的一支，这支过点(1，21) B.抛物线的一部分，这部分过(1，21)C.双曲线的一支，这支过(-1，21) D.抛物线的一部分，这部分过(-1，21) 解：由参数式得x 2=1+sin θ=2y(x ＞0) 即y=21x 2(x ＞0). ∴应选B. 例5 在方程⎩⎨⎧==θθcos sin y x (θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )A.(2,-7)B.（31，32）C.(21，21) D.(1，0)解：y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x 2 将x=21代入，得y=21∴应选C.例6 下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎨⎧==ty t x B.⎩⎨⎧==t y t x 2cos cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y tgtx 2cos 12cos 1D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y tgtx 2cos 12cos 1解：普通方程x 2-y 中的x ∈R ，y ≥0，A.中x=｜t ｜≥0，B.中x=cost ∈〔-1,1〕，故排除A.和B.C.中y=tt 22sin 2cos 2=ctg 2t=2211x t tg ==，即x 2y=1，故排除C. ∴应选D.例7 曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化 成直角坐标方程为( ) A.x 2+(y+2)2=4 B.x 2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y 2=4 D.(x+2)2+y 2=4解：将ρ=22y x +，sin θ=22y x y +代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2=4.∴应选B.例8 极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解：原极坐标方程化为ρ=21(cos θ+sin θ)⇒22ρ=ρcos θ+ρsin θ，∴普通方程为2(x 2+y 2)=x+y ，表示圆.应选D.例9 在极坐标系中，与圆ρ=4sin θ相切的条直线的方程是( ) A.ρsin θ=2 B.ρcos θ=2C.ρcos θ=-2D.ρcos θ=-4例9图解：如图.⊙C 的极坐标方程为ρ=4sin θ，CO ⊥OX,OA 为直径，｜OA ｜=4,l 和圆相切， l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l 上任意一点，则有 cos θ=ρ2=OPOB ，得ρcos θ=2，∴应选B.例10 4ρsin 22θ=5 表示的曲线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解：4ρsin 22θ=5⇔4ρ·.5cos 2221cos -=⇔-θρρθ把ρ=22y x + ρcos θ=x ，代入上式，得 222y x +=2x-5. 平方整理得y 2=-5x+.425.它表示抛物线. ∴应选D.例11 极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是( )A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线解：由4sin 2θ=3,得4·222yx y +＝3,即y 2=3 x 2，y=±x 3,它表示两相交直线. ∴应选B.四、能力训练 (一)选择题 1.极坐标方程ρcos θ=34表示( ) A.一条平行于x 轴的直线B.一条垂直于x 轴的直线C.一个圆D.一条抛物线2.直线：3x-4y-9=0与圆：)(,sin 2cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3.若(x ，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M 的直角坐标和极坐标，t 表示参数，则下列各组曲 线：①θ=6π和sin θ=21；②θ=6π和tg θ=33，③ρ2-9=0和ρ= 3；④⎩⎨⎧+=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x ty t x 322213222和其中表示相同曲线的组数为( )A.1B.2C.3D.44.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0 ，θ1+θ2=0，则M ，N 两点位置关系是( )A.重合B.关于极点对称C.关于直线θ=2πD.关于极轴对称5.极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ所表示的曲线是( )A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线6.经过点M(1，5)且倾斜角为3π的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( )A ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211 B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211 D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t x t y 215231 7.将参数方⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++⋅=+++⋅=2222222222m m m b y m m mm a x (m 是参数，ab ≠0)化为普通方程是( )A.)(12222a xb y a x ≠=+B.)(12222a x b y a x -≠=+ C.)(12222a x by a x ≠=-D.)(12222a x by a x -≠=- 8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+6π)，则圆心的极坐标和半径分别为( ) A.(1,3π),r=2 B.(1,6π),r=1 C.(1, 3π),r=1 D.(1,-3π),r=2 9.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x (t 为参数)所表示的曲线是( )A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线10.双曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsec 212y tg x (θ为参数)的渐近线方 程为( )A.y-1=)2(21+±x B.y=x 21± C.y-1=)2(2+±xD.y+1=)2(2-±x11.若直线⎩⎨⎧=+=bty at x 4( (t 为参数)与圆x 2+y 2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为( )A. 3πB.32πC.3π或32π D.3π或35π12.已知曲线⎩⎨⎧==pt y pt x 222(t 为参数)上的点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，且t 1+t 2=0，那么M ，N 间的距离为( )A.2p(t 1+t 2)B.2p(t 21+t 22) C.│2p(t 1-t 2)│ D.2p(t 1-t 2)213.若点P(x ，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy ，y 2-x 2)也在单位圆上运动，其运动规律是( )A.角速度ω，顺时针方向B.角速度ω，逆时针方向C.角速度2ω,顺时针方向D.角速度2ω，逆时针方向14.抛物线y=x 2-10xcos θ+25+3sin θ-25sin 2θ与x 轴两个交点距离的最大值是( )A.5B.10C.23D.315.直线ρ=θθsin cos 23+与直线l 关于直线θ=4π(ρ∈R)对称，则l 的方程是( )A ．θθρsin cos 23-=B ．θθρcos cos 23-=C ．θθρsin 2cos 3-=D ．θθρsin 2cos 3+=(二)填空题16.若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=ty t x 532543(t 为参数)，则过点(4，-1)且与l 平行的直线在y 轴上的截距为.17.参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=θθθθcos 1sin cos 1cos y x （θ为参数）化成普通方程为 .18.极坐标方程ρ=tg θsec θ表示的曲线是 . 19.直线⎩⎨⎧-=+-=ty tx 3231(t 为参数)的倾斜角为 ；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，2)的距离为 .(三)解答题20.设椭圆⎩⎨⎧==θθsin 32cos 4y x (θ为参数) 上一点P ，若点P 在第一象限，且∠xOP=3π，求点P 的坐标.21.曲线C 的方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222(p ＞0，t 为参数)，当t ∈［-1，2］时 ，曲线C 的端点为A ，B ，设F 是曲线C 的焦点，且S △AFB =14，求P 的值.22.已知椭圆222y x +=1及点B(0，-2)，过点B 作直线BD ，与椭圆的左 半部分交于C 、D 两点，又过椭圆的右焦点F 2作平行于BD 的直线，交椭圆于G ，H 两点.(1)试判断满足│BC │·│BD │=3│GF 2│·│F 2H │成立的直线BD 是否存在?并说明理由 .(2)若点M 为弦CD 的中点，S △BMF2=2，试求直线BD 的方程.23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 3sec 48(θ为参数)的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为49，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离. 24.A ，B 为椭圆2222by a x +=1，(a ＞b ＞0) 上的两点，且OA ⊥OB ，求△AOB 的面积的最大值和最小值.25.已知椭圆162422y x +=1，直线l ∶812y x +=1，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且 满足│OQ │·│OP │=│OR │2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线.参考答案(一)1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D(二)16.-4；17.y ２=-2(x-21),(x ≤21);18.抛 物线；19.135°,|32t| (三)20.(5154,558)；21.;332 22.(1)不存在，(2)x+y+2=0；23.51(27-341)；24.Smax=2ab ，s max=2222b a b a +;25.25)1(25)1(22-+-y x =1(x,y)不同时为零)。
【高中数学】高中数学知识点：参数方程的概念
【高中数学】高中数学知识点：参数方程的概念参数方程的概念：一般地，在给定的平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确认的点m（x，y）都在这条曲线上，那么这个方程组称作这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t称作参变数，缩写参数。
相对于参数方程而言，轻易得出点的座标间关系的方程叫作普通方程．参数方程和普通方程的互化：在参数方程与普通方程的互化中，必须并使x，y的值域范围保持一致．否则，互化就是不等价的。
（1）参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：①代入法：利用解方程的技巧谋出来参数t，然后代入解出参数；②三角法：利用三角恒等式消去参数；③整体窭元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上解出．(2)普通方程化为参数方程需要引入参数．例如：①直线的普通方程就是2x-y+2=0，可以化成参数方程②在普通方程xy=1中，令可以化成参数方程关于参数的几点说明：(1)参数就是联系变数x，y的桥梁，可以就是一个存有物理意义或几何意义的变数，也可以就是没显著实际意义的变数．(2)同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不同．(3)在实际问题中要确认参数的值域范围．参数方程的几种常用方法：方法1参数方程与普通方程的互化：将曲线的参数方程化成普通方程的方法需为题目的特点而的定，必须挑选恰当的方法消参，并必须特别注意由于消参后引发的范围管制消失而导致的增解问题．常用的消参技巧大加减消参，代人消参，平方消参等．方法2求曲线的参数方程：求曲线的参数方程或应用曲线的参数方程，要熟记曲线参数方程的形式及参数的意义．方法3参数方程问题的化解方法：化解参数方程的一个基本思路就是将其转变为普通方程，然后利用在直角坐标系下解决问题的方式展开解题．方法4利用圆的渐开线的参数方程求点：利用参数方程求解点时只需将参数代入方程就可求得。
方法5求圆的摆线的参数方程：根据圆的摆线的参数方程的表达式，可知只需求出其中的r，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点代人参数方程求出r值再代人参数方程的表达式．。
高中数学参数方程知识点大全
高中数学参数方程知识点大全同学，下面就是超全的高中数学参数方程知识点啦！一、参数方程的基本概念。
1. 啥是参数方程。
简单来说呢，一般的方程是直接表示两个变量（比如x和y）之间的关系。
但参数方程就不一样啦，它是通过引入一个额外的变量，这个变量就叫参数（通常用t 之类的字母表示），然后分别用这个参数来表示x和y。
就好像x = f(t)，y = g(t)，这样x和y的值就随着参数t的变化而变化啦。
举个例子，对于直线y = 2x+1，它的参数方程可以写成x = t，y = 2t + 1（这里t就是参数）。
2. 参数的意义。
参数是有实际意义的哦。
比如说在描述物体运动轨迹的时候，参数可能表示时间。
如果一个点在平面上运动，x坐标和y坐标随着时间t的变化而变化，那这个t就是很有意义的参数，它能让我们知道这个点在每个时刻的位置。
二、常见曲线的参数方程。
1. 直线的参数方程。
对于过点(x_0,y_0)，倾斜角为α的直线。
它的参数方程一般形式是<=ft{begin{array}{l}x=x_0+tcosα y = y_0+tsinαend{array}right.（这里t是参数）。
这个参数t的几何意义可重要啦。
| t|表示直线上的动点(x,y)到定点(x_0,y_0)的距离。
如果t>0，动点在定点的沿直线方向的一侧；如果t < 0，动点在定点的另一侧。
2. 圆的参数方程。
对于圆心在(a,b)，半径为r的圆，它的参数方程是<=ft{begin{array}{l}x=a + rcosθ y=b + rsinθend{array}right.（这里θ是参数，θ∈[0,2π)）。
你可以把θ想象成是一个角度，当θ从0变到2π的时候，(x,y)这个点就绕着圆转了一圈，把圆上所有的点都遍历了一遍呢。
3. 椭圆的参数方程。
椭圆frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)的参数方程是<=ft{begin{array}{l}x=acosθ y = bsinθend{array}right.（这里θ是参数，θ∈[0,2π)）。
高中数学参数方程知识点大全
高考复习之参数方程一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构1.直线的参数方程(1)标准式过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y a t x x sin cos 00(t 为参数)(2)一般式过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tgα=ab的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 不参数)②在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2+b 2=1,②即为标准式，此时，｜t｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t｜.直线参数方程的应用设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y a t x x sin cos 00（t 为参数）若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则(1)P 1、P 2两点的坐标分别是(x 0+t 1cosα,y 0+t 1sinα)(x 0+t 2cosα,y 0+t 2sinα)；(2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t，则t=221t t +中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t｜=｜221t t +｜(4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则t 1+t 2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)(2)椭圆椭圆12222=+b y a x (a＞b＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆12222=+by a y (a＞b＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数)3.极坐标极坐标系在平面内取一个定点O，从O 引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x y tg y x θρ三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例1在圆x 2+y 2-4x-2y-20=0上求两点A 和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解：将圆的方程化为参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin 51cos 52y x （θ为参数）则圆上点P 坐标为(2+5cos θ，1+5sin θ)，它到所给直线之距离d=223430sin 15cos 120+++θθ故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时，d 最长，这时，点A 坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d 最短，这时，点B 坐标为(-2，2).(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.例2极坐标方程ρ=θθcos sin 321++所确定的图形是（）A.直线B.椭圆C.双曲D.抛物线解：ρ=)6sin(1211)]cos 2123(1[21πθθ++⋅=++(三)综合例题赏析例3椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨⎧Φ+-=Φ+=y x （）A.(-3，5)，(-3，-3)B.(3，3)，(3，-5)C.(1，1)，(-7，1)D.(7，-1)，(-1，-1)解：化为普通方程得125)1(9)3(22=++-y x ∴a 2=25,b 2=9,得c 2＝１６,c=4.∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)∴在xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5).应选B.例4参数方程表示)20()sin 1(212sin 2cos πθθθθ<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x A.双曲线的一支，这支过点(1，21) B.抛物线的一部分，这部分过(1，21)C.双曲线的一支，这支过(-1，21) D.抛物线的一部分，这部分过(-1，21)解：由参数式得x 2=1+sinθ=2y(x＞0)即y=21x 2(x＞0).∴应选B.例5在方程⎩⎨⎧==θθcos sin y x (θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是()A.(2,-7)B.（31，32） C.(21，21) D.(1，0)解：y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x 2将x=21代入，得y=21∴应选C.例6下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是()A.⎩⎨⎧==t y t xB.⎩⎨⎧==ty tx 2cos cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y tgt x 2cos 12cos 1D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t ty tgt x 2cos 12cos 1解：普通方程x 2-y 中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B.中x=cost∈〔-1,1〕，故排除A.和B.C.中y=t t 22sin 2cos 2=ctg 2t=2211xt tg ==，即x 2y=1，故排除C.∴应选D.例7曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化成直角坐标方程为()A.x 2+(y+2)2=4B.x 2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y 2=4D.(x+2)2+y 2=4解：将ρ=22y x +，sinθ=22y x y +代入ρ=4sinθ，得x 2+y 2=4y，即x 2+(y-2)2=4.∴应选B.例8极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是()A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解：原极坐标方程化为ρ=21(cosθ+sinθ)⇒22ρ=ρcosθ+ρsinθ，∴普通方程为2(x 2+y 2)=x+y，表示圆.应选D.例9在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的条直线的方程是()A.ρsinθ=2 B.ρcosθ=2C.ρcosθ=-2 D.ρcosθ=-4例9图解：如图.⊙C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，CO⊥OX,OA 为直径，｜OA｜=4,l 和圆相切，l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l 上任意一点，则有cosθ=ρ2=OPOB ，得ρcosθ=2，∴应选B.例104ρsin 22θ=5表示的曲线是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解：4ρsin 22θ=5⇔4ρ·.5cos 2221cos -=⇔-θρρθ把ρ=22y x +ρcosθ=x，代入上式，得222y x +=2x-5.平方整理得y 2=-5x+.425.它表示抛物线.∴应选D.例11极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是()A.两条射线 B.两条相交直线 C.圆D.抛物线解：由4sin 2θ=3,得4·222yx y +＝3,即y 2=3x 2，y=±x 3,它表示两相交直线.∴应选B.四、能力训练(一)选择题1.极坐标方程ρcosθ=34表示()A.一条平行于x 轴的直线B.一条垂直于x 轴的直线C.一个圆D.一条抛物线2.直线：3x-4y-9=0与圆：)(,sin 2cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 的位置关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3.若(x，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M 的直角坐标和极坐标，t 表示参数，则下列各组曲线：①θ=6π和sinθ=21；②θ=6π和tgθ=33，③ρ2-9=0和ρ=3；④⎩⎨⎧+=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x ty t x 322213222和其中表示相同曲线的组数为()A.1 B.2 C.3 D.44.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=0，则M，N 两点位置关系是()A.重合B.关于极点对称C.关于直线θ=2π D.关于极轴对称5.极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线6.经过点M(1，5)且倾斜角为3π的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是()A．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211 B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211 C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t x t y 2152317.将参数方⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++⋅=+++⋅=2222222222m m m b y m m mm a x (m 是参数，ab≠0)化为普通方程是()A.)(12222a xb y a x ≠=+ B.)(12222a x b y a x -≠=+C.)(12222a x by a x ≠=- D.)(12222a x by a x -≠=-8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+6π)，则圆心的极坐标和半径分别为()A.(1,3π),r=2 B.(1,6π),r=1 C.(1,3π),r=1D.(1,-3π),r=29.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x (t 为参数)所表示的曲线是()A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线10.双曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsec 212y tg x (θ为参数)的渐近线方程为()A.y-1=)2(21+±x B.y=x 21±C.y-1=)2(2+±x D.y+1=)2(2-±x 11.若直线⎩⎨⎧=+=bty at x 4((t 为参数)与圆x 2+y 2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为()A.3π B.32π C.3π或32π D.3π或35π12.已知曲线⎩⎨⎧==pty pt x 222(t 为参数)上的点M，N 对应的参数分别为t 1，t 2，且t 1+t 2=0，那么M，N 间的距离为()A.2p(t 1+t 2)B.2p(t 21+t 22) C.│2p(t 1-t 2)│D.2p(t 1-t 2)213.若点P(x，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy，y 2-x 2)也在单位圆上运动，其运动规律是()A.角速度ω，顺时针方向B.角速度ω，逆时针方向C.角速度2ω,顺时针方向D.角速度2ω，逆时针方向14.抛物线y=x 2-10xcosθ+25+3sinθ-25sin 2θ与x 轴两个交点距离的最大值是()A.5B.10C.23D.315.直线ρ=θθsin cos 23+与直线l 关于直线θ=4π(ρ∈R)对称，则l 的方程是()A．θθρsin cos 23-=B．θθρcos cos 23-=C．θθρsin 2cos 3-=D．θθρsin 2cos 3+=(二)填空题16.若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=ty t x 532543(t 为参数)，则过点(4，-1)且与l 平行的直线在y 轴上的截距为.17.参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=θθθθcos 1sin cos 1cos y x （θ为参数）化成普通方程为.18.极坐标方程ρ=tgθsecθ表示的曲线是.19.直线⎩⎨⎧-=+-=ty tx 3231(t 为参数)的倾斜角为；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，2)的距离为.(三)解答题20.设椭圆⎩⎨⎧==θθsin 32cos 4y x (θ为参数)上一点P，若点P 在第一象限，且∠xOP=3π，求点P 的坐标.21.曲线C 的方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222(p＞0，t 为参数)，当t∈［-1，2］时，曲线C 的端点为A，B，设F 是曲线C 的焦点，且S △AFB =14，求P 的值.22.已知椭圆222y x +=1及点B(0，-2)，过点B 作直线BD，与椭圆的左半部分交于C、D 两点，又过椭圆的右焦点F 2作平行于BD 的直线，交椭圆于G，H 两点.(1)试判断满足│BC│·│BD│=3│GF 2│·│F 2H│成立的直线BD 是否存在?并说明理由.(2)若点M 为弦CD 的中点，S △BMF2=2，试求直线BD 的方程.23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 3sec 48(θ为参数)的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为49，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.24.A，B 为椭圆2222by a x +=1，(a＞b＞0)上的两点，且OA⊥OB，求△AOB 的面积的最大值和最小值.25.已知椭圆162422y x +=1，直线l∶812yx +=1，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R，又点Q 在OP 上且满足│OQ│·│OP│=│OR│2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线.参考答案(一)1.B 2.D3.C4.C5.B6.A7.A8.C9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D(二)16.-4；17.y ２=-2(x-21),(x≤21);18.抛物线；19.135°,|32t|(三)20.(5154,558)；21.;33222.(1)不存在，(2)x+y+2=0；23.51(27-341)；24.Smax=2ab ，s max=2222b a b a +;25.25)1(25)1(22-+-y x =1(x,y)不同时为零)。
高中数学参数方程知识点大全
高中数学参数方程知识点大全一、参数方程的定义与表示参数方程是描述平面曲线的一种方法，它将曲线上的点用两个或多个参数表示。
参数方程的一般形式为：$$\begin{cases}x = x(t) \\y = y(t)\end{cases}$$其中，$t$ 是参数，$x(t)$ 和 $y(t)$ 分别是曲线上的点的横坐标和纵坐标。
二、参数方程与普通方程的转换1. 消去参数将参数方程中的参数消去，可以得到曲线的普通方程。
消去参数的方法主要有代数法和三角法。
2. 参数方程转换为普通方程将参数方程中的参数 $t$ 用普通方程中的变量 $x$ 或 $y$ 表示，可以得到曲线的普通方程。
三、参数方程的应用1. 描述运动轨迹参数方程可以用来描述物体的运动轨迹，例如抛体运动、圆周运动等。
2. 解决几何问题参数方程可以用来解决一些几何问题，例如求曲线的长度、面积、切线等。
3. 解决物理问题参数方程可以用来解决一些物理问题，例如求物体的速度、加速度、位移等。
四、常见参数方程1. 抛物线$$\begin{cases}x = at^2 \\y = bt^2 + ct + d\end{cases}$$2. 圆$$\begin{cases}x = a \cos t \\y = a \sin t\end{cases}$$3. 椭圆$$\begin{cases}x = a \cos t \\y = b \sin t\end{cases}$$4. 双曲线$$\begin{cases}x = a \sec t \\y = b \tan t\end{cases}$$5. 抛物线$$\begin{cases}x = a t^2 \\y = b t^2 + c t + d\end{cases}$$五、参数方程的优缺点优点可以方便地描述曲线的形状和运动规律。
可以解决一些普通方程难以解决的问题。
缺点需要找到合适的参数。
计算量可能较大。
参数方程是高中数学中一个重要的知识点，它可以帮助我们更好地理解曲线的形状和运动规律。
高中数学参数方程知识点大全
高中数学参数方程知识点大全一、参数方程的定义和基本概念参数方程是指用一个或多个参数表示一个点在平面或空间上的坐标，一般形式为x=f(t)，y=g(t)或x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)等形式。
1. 参数的取值范围参数的取值范围是指t,u,v等参数的取值范围，有些问题中可能要求特定的参数取值范围，例如0≤t≤1。
2. 参数方程的解析式参数方程的解析式是指将参数方程中的参数用其他变量（如x,y,z）表示出来的式子，通常要具体分析题目所求的内容，才能得到具体的解析式。
二、参数方程表示的图形及其性质参数方程表示的图形是指用参数方程所描述的点的集合，常见的有平面曲线、空间曲线和曲面。
1. 平面曲线的参数方程平面曲线的参数方程一般形式为x=f(t)，y=g(t)，t∈[a,b]，其中a,b为常数。
2. 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程一般形式为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，t∈[a,b]，其中a,b为常数。
3. 曲面的参数方程曲面的参数方程一般形式为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，u,v∈D，其中D为平面区域。
三、参数方程在计算机绘制图形中的应用在计算机绘制图形中，参数方程可以方便地表示出各种曲线和曲面，并通过计算机程序实现绘制，除此之外还可以进行各种变换和操作。
1. 坐标变换坐标变换是指通过参数方程的变换操作实现图形的变形、旋转、平移等操作。
2. 光照模拟通过参数方程计算表面法向量、光照强度和光照颜色，实现真实的光照模拟。
3. 碰撞检测通过参数方程计算图形的表面或体积信息，实现碰撞检测的功能，以及物体的相交等计算。
四、参数方程的求导1. 参数方程的一阶导数参数方程的一阶导数是指对参数t求导数得到的结果，常用来表示曲线的斜率和切线方向。
2. 参数方程的二阶导数参数方程的二阶导数是指对参数t进行二次求导得到的结果，常用来表示曲线的曲率和弧度的变化率。
五、参数方程的应用示例1. 斜抛运动斜抛运动的轨迹可以用参数方程表示，通过求解初始速度、角度等参数可以得到斜抛运动的轨迹方程，从而计算两点之间的距离和时间等参数。
高中数学 参数方程
21 取值范围为20，＋∞.
[类题通法]
1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普 通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．
x＝x0＋at， 2．对于形如 y＝y0＋bt
(t 为参数)．
当 a2＋b2≠1 时，应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意 义解题．
考点三
极坐标、参数方程的综合应用 (重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
极坐标与参数方程的综合应用规律 1．化归思想的应用，即对于含有极坐标方程和参数的题目， 全部转化为直角坐标方程后再求解．
2． 数形结合的应用， 即充分利用参数方程中参数的几何意义， 或者利用 ρ 和 θ 的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题 目的．
(t 为参数，t>0)，求曲线
1 1 y 2 解：因为 x ＝t＋ t －2，所以 x ＋2＝t＋ t ＝3，故曲线 C 的普
2
通方程为 3x2－y＋6＝0.
[类题通法]
参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代 入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为 普通 (重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法 经 过 点 P(x0 ， y0) ， 倾 斜 角 为 α 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数)．若 A，B 为直线 l 上两点，其对应的
x＝2 2．求曲线 y＝ 3
3cos θ， (θ 为参数)中两焦点间的距离． 2sin θ
y2 x2 解：曲线化为普通方程为18＋12＝1，∴c＝ 6，故焦距为 2 6.
极坐标和参数方程知识点+典型例题与详细讲解
极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或θθec a y b x s tg ==）5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
高中数学参数方程知识点详解(讲义+过关检测+详细答案)
5．【答案】D
【解析】 x2 t, y2 1 t 1 x2, x2 y2 1,而t 0, 0 1 t 1,得0 y 2 .
4
4
6.【答案】D
【解析】圆
x=2 cos，
的圆心为原点，半径为
y =2 sin
2，
则圆心到直线 3x-4y-9=0 的距离为 9 ，小于半径 2，故直线与圆相交. 5
D．(1, 3)
2.已知某曲线的参数方程为 xy==ccooss2， +1，则该曲线是（
）
A．直线
B．圆
C．双曲线
3.若一直线的参数方程为
x
x0
1 2
t
（t 为参数），则此直线的倾斜Байду номын сангаас为（
y
y0
3t 2
A．30º
B. 60º
C．120º
4．若点
P(4，a)在曲线
x＝
t 2
(t 为参数)上，点 F(2，0)，则|PF|等于(
)
y＝2 t
A．4
B．5
C．6
D．抛物线 ） D．150º
D．7
5．与参数方程为
x
t
(t为参数) 等价的普通方程为（ ）
y 2 1 t
A． x2 y2 1 4
B． x2 y2 1(0 x 1) 4
C. x2 y2 1(0 y 2) 4
D． x2 y2 1(0 x 1, 0 y 2) 4
y2 b2
1（ a
0 , b 0 ）的参数方程为：
x a sec
y
b
tan
（
为参数，
[0, 2 ) 且
, 2
3 2
高三数学参数方程知识点
高三数学参数方程知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学全参数方程知识点大全
高中数学全参数方程知识点大全一、全参数方程的概念全参数方程是指带有n个参数的方程，分别为a1, a2, a3, …… an。
它可以表达成：ai xi + a2 x2 + a3 x3 + …… + an xn = 0其中xi(i=1,2,3…n)为未知数。
二、常见的全参数方程全参数方程可以分为几何全参数方程、数论全参数方程和分析函数全参数方程。
1.几何全参数方程几何全参数方程也被称为n次全参数方程，它以n次根式的形式表示，它具有如下形式：a1x1 + a2x2 + a3x3 + …… + anxn = 0其中a1,a2,a3……an为实数，x1,x2,x3……xn为未知数。
2.数论全参数方程数论全参数方程的定义与几何全参数方程相似，只是其中的系数a1,a2,a3……an不再只有实数，而是可以是任意位数的整数。
数论全参数方程的形式如下：a1x1 + a2x2 + a3x3 + …… + anxn = 0其中a1,a2,a3……an为任意位数的整数，x1,x2,x3……xn为未知数。
3.分析函数全参数方程分析函数全参数方程也是一种带有多个参数的方程，它的形式如下：a1f1(x,y,z…) + a2f2(x,y,z…) + a3f3(x,y,z…) +…… +anfn(x,y,z…) = 0其中a1,a2,a3……an是任意实数，f1,f2,f3……fn是函数，x,y,z…..是未知数。
三、全参数方程的解法1.待定系数法这种方法是将要求解的全参数方程中的系数和未知数中的其中一个参数留下来，然后将其化为低阶未知参数方程，再求解出其它参数的值。
高中数学选修4-4-参数方程
参数方程知识集结知识元参数方程知识讲解1．参数方程的概念【知识点的认识】参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x，y）都是某个变数t的函数，即，并且对于t的每一个允许值，由该方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F（x，y）＝0叫做普通方程．2．参数方程化成普通方程【知识点的认识】参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．直线的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+＝1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．4．圆的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+＝1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M0M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．例题精讲参数方程例1.直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程为（θ为参数），则直线l被圆C截得的弦长为___．例2.已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是___．例3.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ（ρ≥0），直线l的参数方程为（t为参数），设直线l与抛物线C的两交点为A、B，点F为抛物线C的焦点，则|AF|+|BF|=___．当堂练习填空题练习1.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程是=（θ为参数），直线l与圆C交于两个不同的点A、B，当点P在圆C上运动时，△PAB面积的最大值为___练习2.参数方程（θ∈R）所表示的曲线与x轴的交点坐标是_______练习3.设直线的参数方程为（t为参数），点P在直线上，且与点M0（-4，0）的距离为2，若该直线的参数方程改写成（t为参数），则在这个方程中P点对应的t值为____．练习4.设a∈R，直线ax-y+2=0和圆（θ为参数）相切，则a的值为___。
高中数学参数方程
(t为参数)
x 5cos, (2) (θ为参数) y y+1,代入x=3t+2得 x=3(y+1)+2,故所求普通方程为x-3y-5=0,这是一条 直线.
x cos, 2 2 x y 5 (2)曲线方程化为 所以 ＋ ＝1，这是椭圆. 25 16 y sin, 4
考向一 参数方程与普通方程的互化 【典例1】 将下列参数方程化为普通方程.
1 x ， t 1 (t为参数 ). y 1 t 2 1 t x 2 sin 2 (为参数 ). 2 y 1 cos 2
【解析】(1)由t2-1≥0⇒t≥1或t≤-1
普通方程 (x-a)2+(y-b)2=r2
参数方程
x a rcos, y b rsin _____________
( θ为参数)
x acos, y bsin _____________
椭圆
x 2 y2 2 2 a b
=1(a>b>0)
(φ为参数)
【金榜状元笔记】 1.参数方程化普通方程 (1)常用技巧:代入消元、加减消元、平方后加减消元等. (2)常用公式:cos 2θ+sin 2θ=1,1+tan 2θ=
1 . 2 cos
2.直线参数方程的标准形式的应用 过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是
x x 0 tcos, 若M1,M2是l上的两点,其对应参数分别 y y0 tsin.
x 1 2t, 2.已知曲线C的参数方程是 (t为参数,a∈R), 2 y at
抛物线的参数方程-高中数学知识点讲解
抛物线的参数方程1．抛物线的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程푥=푥0+푡푐표푠휃直线y﹣y0＝tan α（x﹣x0）{푦=푦0+푡푠푖푛휃（t 为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2 {푥푦==푎푏++푟푟푐푠표푖푛푠휃휃（θ为参数）椭圆푥2푎2+푦2푏2푥=푎푐표푠휃= 1（a＞b＞0）{푦=푏푠푖푛휃（θ为参数）双曲线푥2푎2―푦2푏2푥=푎푠푒푐휃= 1 {푦=푏푡푎푛휃（θ为参数）抛物线y2＝2px（p＞0）{푥=2푝푡푦=2푝푡（t 为参数）2【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y 与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y 的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y 与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：1/ 2（1）若M1，M2 为l 上任意两点，M1，M2 对应t 的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0 为线段M1M2 的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2 的中点为M，则M0M＝t M =푡1+휆푡2．1+휆푡1+푡2．一般地，若点P 分线段M1M2 所成的比为λ，则t P = 2푥=푥0+푎푡4．直线的参数方程的一般式{푦=푦0+푏푡（t 为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅푥=푥0+푎푡当a2+b2＝1 且b≥0 时，才是标准方程，t 才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程{푦=푦0+푏푡化为标准方程푥=푥0±푦=푦0±是{|푎|푎2+푏2|푏|푎2+푏2푡′（t′∈R），式中“±”号，当a，b 同号时取正；当a，b 异号时取负．푡′5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y 的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．2/ 2。
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高考复习之参数方程 一、考纲要求1.理解参数方程的概念,了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法．会根据所给出的参数,依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程,会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点．二、知识结构1．直线的参数方程（１)标准式 过点Po(x ０,ｙ0），倾斜角为α的直线l(如图）的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00 （ｔ为参数) （2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率ｋ=ｔg α=ab的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00(t 不参数） ② 在一般式②中,参数ｔ不具备标准式中t 的几何意义,若ａ2+b 2=1，②即为标准式,此时, | t|表示直线上动点P 到定点Ｐ０的距离；若ａ2＋b ２≠１,则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t ｜．直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0，y ０),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数）若P １、P 2是l 上的两点,它们所对应的参数分别为ｔ1,t 2,则 (1)P １、Ｐ2两点的坐标分别是 （ｘ０+t 1co ｓα，ｙ0＋t １sin α) (ｘ0+t 2c ｏs α,y ０+ｔ2ｓｉn α); (2）|P 1Ｐ2｜=｜t 1-t ２｜;（3)线段P 1P 2的中点Ｐ所对应的参数为t,则 ｔ＝221t t + 中点P 到定点P 0的距离|ＰＰ0|=｜t|=|221t t +｜ （4)若P ０为线段P 1P 2的中点，则 t １+ｔ２=0.２.圆锥曲线的参数方程（1)圆 圆心在（ａ，b ）,半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x （φ是参数）φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角,φ∈［0，2π］(见图）(2）椭圆 椭圆12222=+by a x (a ＞b>０)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆 12222=+by a y （a ＞b>0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x （φ为参数） 3.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点Ｏ,从O 引一条射线O ｘ,选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ｏx 叫 做极轴.①极点;②极轴；③长度单位;④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素,缺一不可．点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ,那么ρ叫做Ｍ点的极径，θ叫做M 点的极角,有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化 (１)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x ytg y x θρ 三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程,参数方程与普通方程的互化例1 在圆x 2+y 2-4x-２y －20=０上求两点Ａ和B,使它们到直线4x+3y+19＝0的距离分别最短和最长.解： 将圆的方程化为参数方程:⎩⎨⎧+=+=θθsin 51cos 52y x (θ为参数) 则圆上点P 坐标为(2＋5cos θ，1+5si ｎθ)，它到所给直线之距离ｄ=223430sin 15cos 120+++θθ故当ｃos(φ－θ）=1，即φ＝θ时 ,d 最长，这时,点A 坐标为（6，4)；当cos （φ-θ)=-１,即θ=φ-π时，d 最短,这时,点B 坐标为（－2，2）.(二)极坐标系，曲线的极坐标方程,极坐标和直角坐标的互化说明 这部分内容自1９86年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.例2 极坐标方程ρ＝θθcos sin 321++所确定的图形是（ ) A.直线 ﻩB.椭圆Ｃ.双曲 ﻩﻩD.抛物线解： ρ=)6sin(1211)]cos 2123(1[21πθθ++⋅=++(三)综合例题赏析 例3 椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨⎧Φ+-=Φ+=y x （ ）Ａ.（-3，5）,(-3，-３) ﻩﻩﻩB.(3,３），(3，－５) C.（1,1)，(－7，1) ﻩﻩﻩＤ．(7，-1),（-1，-1）解：化为普通方程得125)1(9)3(22=++-y x ∴ａ２=2５,b 2=9，得c 2=１6,c=４.∴F(x －3,y+1)=Ｆ(0,±4)∴在xO ｙ坐标系中,两焦点坐标是（3，３)和（3,-5）. 应选B ．例4 参数方程表示)20()sin 1(212sin 2cos πθθθθ<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x Ａ．双曲线的一支,这支过点(1,21)ﻩ ﻩB ．抛物线的一部分，这部分过(１,21） Ｃ.双曲线的一支，这支过(－1，21)ﻩﻩＤ.抛物线的一部分,这部分过(-1,21）解:由参数式得x ２=1+sin θ=２ｙ（x ＞0)即y=21x 2(x>0). ∴应选Ｂ. 例5 在方程⎩⎨⎧==θθcos sin y x (θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是（ )A ．(2,-7) ﻩB ．(31，32)C ．(21，21) ﻩﻩD.(1,０) 解：ｙ=ｃｏs2θ=1-２sin2θ=1-2x 2 将ｘ＝21代入,得y=21 ∴应选Ｃ．例6 下列参数方程(t 为参数）与普通方程x 2－y=0表示同一曲线的方程是( )Ａ.⎩⎨⎧==ty t x B.⎩⎨⎧==t y t x 2cos cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y tgtx 2cos 12cos 1D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y tgtx 2cos 12cos 1解：普通方程ｘ２-y 中的x ∈R ，y ≥0，A.中x=|ｔ｜≥０,B.中x=c ｏst ∈〔－1,1〕,故排除A.和B.C.中y=tt 22sin 2cos 2=ｃt ｇ2t=2211x t tg ==，即ｘ２y=1,故排除C. ∴应选D.例7 曲线的极坐标方程ρ＝4ｓin θ化 成直角坐标方程为（ )Ａ.x ２＋(y+２)２＝４ B.x 2+(y-2)2=4 ﻩﻩＣ．(ｘ-2)2+y 2=4 D.（x ＋2)2+y 2=4解：将ρ=22y x +，sin θ=22y x y +代入ρ＝4sin θ，得x 2＋ｙ2=４ｙ，即x ２+(y－2）2=4.∴应选B.例8 极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是( )A.双曲线 ﻩB ．椭圆ﻩﻩﻩﻩＣ.抛物线 ﻩﻩD.圆 解：原极坐标方程化为ρ=21(c ｏs θ+ｓi ｎθ)⇒22ρ=ρco ｓθ+ρｓin θ,∴普通方程为2(ｘ2+ｙ2)=x+y,表示圆.应选Ｄ．例9 在极坐标系中，与圆ρ=4si ｎθ相切的条直线的方程是（ ) A.ρsin θ=2 B ．ρcos θ=2C.ρcos θ=－2 Ｄ.ρcos θ=－４ ﻩﻩ ﻩﻩ例9图解：如图．⊙C 的极坐标方程为ρ＝4ｓin θ，C Ｏ⊥OX ，OA 为直径,|OA|=4,l 和圆相切, l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l 上任意一点,则有ｃos θ=ρ2=OPOB ,得ρｃo ｓθ=2,∴应选Ｂ.例10 4ρｓin ２2θ＝5 表示的曲线是( )A.圆B.椭圆ﻩﻩ ﻩC.双曲线的一支D.抛物线 解：4ρsin 22θ＝5⇔4ρ·.5cos 2221cos -=⇔-θρρθ 把ρ=22y x + ρｃｏｓθ＝x,代入上式，得 222y x +=2x －５. 平方整理得y ２=-5x+.425.它表示抛物线． ∴应选Ｄ.例11 极坐标方程4s ｉｎ2θ=3表示曲线是（ ） A.两条射线 ﻩＢ．两条相交直线 ﻩC.圆 ﻩD.抛物线解:由4ｓi ｎ2θ=3,得４·222yx y +＝3,即ｙ2＝3 x 2,y=±x 3,它表示两相交直线． ∴应选B.四、能力训练 (一)选择题1．极坐标方程ρｃｏs θ=34表示( ) Ａ.一条平行于ｘ轴的直线 ﻩ B.一条垂直于x 轴的直线 Ｃ.一个圆ﻩD ．一条抛物线2.直线：3ｘ-4y-9=０与圆：)(,sin 2cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 的位置关系是( )A.相切B.相离ﻩC.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3.若（x ，y)与（ρ,θ)(ρ∈Ｒ)分别是点M 的直角坐标和极坐标,t 表示参数,则下列各组曲 线：①θ＝6π和si ｎθ=21;②θ＝6π和t ｇθ=33，③ρ２-9=0和ρ= 3；④⎩⎨⎧+=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x ty t x 322213222和其中表示相同曲线的组数为( ）A.1 ﻩＢ.２ ﻩ ﻩﻩ C.３ ﻩD.４４.设M(ρ1，θ1)，N （ρ２，θ２）两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=０ ,θ1＋θ2=0,则M ，N 两点位置关系是（ ）Ａ.重合 B ．关于极点对称ﻩﻩﻩC.关于直线θ=2πﻩD.关于极轴对称 5．极坐标方程ρ=sin θ+2co ｓθ所表示的曲线是( ) A.直线 Ｂ.圆ﻩﻩ ﻩ Ｃ．双曲线 D.抛物线6．经过点M(1,５)且倾斜角为3π的直线，以定点Ｍ到动点Ｐ的位移t 为参数的参数方程是( ）Ａ.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211ﻩﻩC.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211Ｄ.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t x t y 215231 7.将参数方⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++⋅=+++⋅=2222222222m m m b y m m mm a x (ｍ是参数，ab ≠０)化为普通方程是（ ）Ａ.)(12222a xb y a x ≠=+ﻩB.)(12222a x by a x -≠=+ C.)(12222a x b y a x ≠=- ﻩ ﻩD.)(12222a x by a x -≠=- ８.已知圆的极坐标方程ρ=２ｓin(θ+6π)，则圆心的极坐标和半径分别为（ ）A.(1,3π），r=２ B.(１，6π)，r ＝1 C.(1,3π）,r=１D.(1, -3π），r=2９.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x (t 为参数)所表示的曲线是( )A.一条射线 Ｂ.两条射线ﻩﻩ ﻩＣ．一条直线 ﻩＤ.两条直线10.双曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsec 212y tg x (θ为参数)的渐近线方 程为（ ）A ．ｙ-１=)2(21+±xB ．y=x 21±ﻩﻩ C ．y-1=)2(2+±x Ｄ.y＋1=)2(2-±x11.若直线⎩⎨⎧=+=bty at x 4( (ｔ为参数）与圆ｘ２+ｙ2-4x+1=0相切,则直线的倾斜角为（ )Ａ.3π B.32π ﻩ Ｃ.3π或32πＤ. 3π或35π12.已知曲线⎩⎨⎧==pty pt x 222(t 为参数)上的点M,N 对应的参数分别为ｔ １,t ２,且t 1+t 2＝0，那么M ，N 间的距离为( )A.２p （t 1＋t 2）B.２p(t 21+t 22) ﻩＣ．│2p(t １-t 2)│ D.2p(t 1-t 2)213.若点P(ｘ，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动,点M （-2xy,y ２-ｘ２)也在单位圆上运动，其运动规律是( )A ．角速度ω,顺时针方向 ﻩ ﻩＢ.角速度ω,逆时针方向 C.角速度2ω,顺时针方向 ﻩD.角速度2ω，逆时针方向14.抛物线y=x ２-1０xco ｓθ+２５+3sin θ-25s ｉn 2θ与ｘ轴两个交点距离的最大值是( ）A.5 B ．１0ﻩ ﻩＣ．23Ｄ.315.直线ρ=θθsin cos 23+与直线l 关于直线θ=4π(ρ∈Ｒ)对称，则l 的方程是（ )A.θθρsin cos 23-= ﻩ ﻩﻩﻩB ．θθρcos cos 23-=C ．θθρsin 2cos 3-=ﻩﻩﻩﻩD ．θθρsin 2cos 3+=(二)填空题16.若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=ty t x 532543(ｔ为参数)，则过点(4，-1）且与l 平行的直线在ｙ轴上的截距为.１7．参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=θθθθcos 1sin cos 1cos y x (θ为参数)化成普通方程为 .18.极坐标方程ρ=tg θsec θ表示的曲线是 . 1９.直线⎩⎨⎧-=+-=ty tx 3231（t 为参数)的倾斜角为 ；直线上一点P （x ,ｙ）与点M(-1，2）的距离为 .(三)解答题20.设椭圆⎩⎨⎧==θθsin 32cos 4y x (θ为参数) 上一点P ，若点P 在第一象限，且∠xOP=3π，求点P 的坐标．21.曲线C 的方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222(p ＞0,ｔ为参数),当t ∈[-1，２］时 ,曲线C 的端点为A,B,设F 是曲线C 的焦点，且S △AFB =14,求Ｐ的值.２2．已知椭圆222y x +=１及点B （0，-2)，过点B 作直线BD ，与椭圆的左 半部分交于C 、D 两点,又过椭圆的右焦点F 2作平行于BD 的直线，交椭圆于G ,H 两点．(1）试判断满足│BC │·│ＢD │=3│GF 2│·│Ｆ２H │成立的直线BD 是否存在？并说明理由 ．(2）若点Ｍ为弦ＣD 的中点，S △B ＭＦ２＝2,试求直线BD 的方程．23．如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 3sec 48(θ为参数)的左焦点和左顶点,且焦点到相应的准线的距离为49，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离． 24.A,B 为椭圆2222by a x +＝１,(a>b>0） 上的两点，且OA ⊥OB,求△A ＯB 的面积的最大值和最小值.２5．已知椭圆162422y x +＝１,直线l ∶812y x +=1，P 是l 上一点,射线OP 交椭圆于点R ，又点Ｑ在OP 上且 满足│ＯＱ│·│OP │=│OR │2，当点P 在l 上移动时,求点Q 的轨迹方程．并说明轨迹是什么曲线.参考答案(一)1．B 2.D 3．C ４.Ｃ 5.B ６.A ７．A 8.Ｃ 9.B 10.C 1１.C １2.Ｃ 13.C １４.C 15.D(二)16.-４;17.y 2=-2（x-21),(ｘ≤21);18.抛 物线;１9.135°,｜32t| (三)2０．(5154,558)；２1.;332 22．(1)不存在，(2）x+ｙ+2=0；23．51(２7-341)；24.Ｓｍax =2ab,ｓmax =2222b a b a +;２５．25)1(25)1(22-+-y x =1(x ，y ）不同时为零）。