半导体物理与器件第二、三章量子力学初步
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
晶体中的原子体密度在 1022cm-3的量级。那么1mm3 内就有1019个原子。简化假设 为单电子原子，则其中有1019 个电子分布在同一个能带上， 假定该能带的宽度为1eV，则 能带中分立能级的平均宽度就 为1×10-19eV。 P.43例3.1
第三章 固体量子理论初步
r0
24
半导体物理与器件
例：求静止电子经 15000V 电压加速后的德波波长。 解：静止电子经电压U加速后的动能 由
半导体物理与器件
P mv
代入
34 h h 6 . 63 10 2meU P 2 9 . 1 10 31 1 . 6 10 19 15000
P 2meU
1 2 mv eU 2
实际的晶体中，每个原子包含不止一个电子。以3壳层原子 为例，当随着原子距离的缩减，最外层电子首先相互作用 导致n=3的能级分裂。进一步缩减距离导致次外层和内层原 子也分裂成能带。 假定最终的平衡位置在 r0，则处于该系统中的 电子就处于一个被禁带 所隔开的两个能带中。
第三章
固体量子理论初步
25
半导体物理与器件
p
禁带
s
原子能级分裂为能带的示意图
第三章 固体量子理论初步 26
半导体物理与器件
实际晶体的能带分裂还会复杂很多。图为Si原子电子 系统示意图。对于n=3的外层价电子来说，其中两个分布 在能量较低的s轨道上，而可容纳6个电子的p轨道上有两 个电子。
P轨道：六个量子态 S轨道：两个量子态
第三章
固体量子理论初步
2 2
概率密度函数代表在空间中某一点发现粒子的概率。 在量子力学中，我们无法精确确定一个电子的位置， 而只能确定在某处或某个区域内电子存在的概率是 多少。
第二章
量子力学初步
11
半导体物理与器件
自由空间中的电子
在电子不受任何外界作用时，可看作自由电子，用 薛定谔方程来讨论自由电子的状态 和时间无关 的方程 定态解
半导体物理与器件
第二章
量子力学初步
• 为了更深入理解器件的电流——电压特性， 有必要了解不同势函数条件下，晶体中电 子状态的一些相关知识。 • 电子的运动服从量子力学规律，量子力学 的波动理论是半导体物理学理论的基础 • 本章对量子力学进行简要的介绍，了解并 适应量子力学的分析方法
第二章 量子力学初步 1
第三章
固体量子理论初步
21
半导体物理与器件
原子组成晶体后，由于电子壳层的交叠，电子不再完 全局限在某一个原子上，可以由一个原于转移到相邻 的原子上去，因而，电子将可以在整个晶体中运动。 这种运动称为电子的共有化运动
注意：各原子中相似壳层上的电子才有（近似）相同 的能量，电子只能在相似壳层间转移。
最大动能 光电子 光子能量 功函数
例2.1 计算对应某一粒子波长的光子能量。考虑一种X射线，其 波长为λ=0.708×10-8cm。 解答：其能量为：2.81×10-15J 1.75×104eV
第二章 量子力学初步 3
半导体物理与器件
电子伏：eV
• 焦耳： 1焦耳=1库仑电荷经过1V的加速电场后 所获得的能量。 • 电子伏：1电子伏=1单位电荷经过1V加速电场 后所获得的能量。
s能级(l=0,ml=0,ms=±1/2)，2度简并，交叠后分裂 为2N个能级；p 能级（l=1, ml=0, 1，ms=±1/2 ）6度简 并，交叠后分裂为6N个能级，d 能级（l=2, ml=0, 1, 2, ms=±1/2 ），交叠后分裂为10N个能级
能量E
{
{
{
能带
原子能级
原子轨道
d
禁带
允带
• 量子力学是半导体物理的基础（之一）
材 料 电 性 质
电子分布 状态 电子激励 内部电子结构 响应
能 带 结 构
晶 体 结 构 固 体 理 论
微观粒子作用 规律
拓扑学原理
第二章
量子力学初步
2
半导体物理与器件
量子力学的基本原理：
• 能量量子化、波粒二相性、不确定原理
• 能量量子化实验例证：光电效应 hc h E h p 1 2 Tmax mv h h 0 2
粒子的波粒二相性
第二章
量子力学初步
5
半导体物理与器件
波粒二相性
h=6.625×10-34JS
p h h
h p
1eV的电子，波长是多少？
h h 6.625 1034 1.23 109 m 1.23 A p 2mE 2 9.111031 1.6 1019
1 10
11
m
电子的德波波长很短，用 电子显微镜衍射效应小，可 放大200万倍。
9
半导体物理与器件
薛定谔波动方程
一维非相对论性薛定谔波动方程
2 x, t x, t V x x, t j 2 2m t x
Baidu Nhomakorabea
一维定态薛定谔方程
第三章 固体量子理论初步 30
半导体物理与器件
自由电子的运动状态
对于波矢为k的运动状态，自由电子的 能量E，动量p，速度v均有确定的数 值。 波矢k可用以描述自由电子的运动状态， 不同的k值标志自由电子的不同状态
自由电子的E和k的关系曲线，呈抛物 线形状。
由于波矢k的连续变化，自由电子的能 量是连续能谱，从零到无限大的所有V hk , m0 能量值都是允许的。
共有化运动的产生是由于不同原子的相似壳层的交叠， 如图所示
第三章
固体量子理论初步
22
半导体物理与器件
能带的形成 原子靠近→电子云发生重叠→电子之间存在相互作用→分立 的能级发生分裂。从另外一方面来说，这也是泡利不相容原 理所要求的。
第三章
固体量子理论初步
23
半导体物理与器件
如图所示为大量相同的原子靠得很近形成晶体材料之后， 原来相同的电子能级就会发生分裂，变成一系列离散的能 级，这些离散的能级形成能带，其中的r0代表平衡状态下晶 体中的原子间距。
hk E 2m0
2
2
第三章
固体量子理论初步
31
半导体物理与器件
近自由电子近似将电子看成是位于势阱中的近自由电 子，而把周期性势场作为微扰，这样对于一维情况得到： 在 并微扰，能带分裂，形成一 系列的禁带、允带，又由于 周期性边界条件玻恩一卡尔 曼条件，k只能取一些不连续 的点（k取值数与原子总数N 有关），这样晶体中的电子 只能处在允带中的一系列能 级上。 L
1 18eV • 1焦耳=1eV× 19 =6.25×10 1.6 10 焦耳通常用来讨论宏观的、统计的系统。 电子伏通常用来讨论单一粒子。 从强度上而言：1焦耳作用于1库仑等效于1电子伏作用于1电子。 1eV电子速度多少？ 620nm可见光的能量为2eV 例2.2 第二章 量子力学初步 4
半导体物理与器件
14
半导体物理与器件
• 无限深势阱中
1.能级的分裂是由约束条件自然形成的，而非人为强制。这 说明，任何类似波的物理系统，自然地会产生量子行为；与 平常的想法恰恰相反，量子行为不是像变魔术一般变出来的 2.基态（零点能）能量不为0。 3.电子在阱中以驻波形式存在。
第二章 量子力学初步 15
半导体物理与器件
2 x 2mE 2 2 x
jx
x 0
2mE
x A exp
jx 2mE B exp
t
和时间有关 的解
行波解
t e j E /
x, t A exp
2mE Et j B exp x 2mE Et j x
27
半导体物理与器件
大量硅原子形成硅晶体的电子能级分裂示意图
第三章
固体量子理论初步
28
半导体物理与器件
以Si 为例:
每个Si原子最外层有2个S能级和6个p能级，N 个Si原子构成单晶体后，每个能级都分裂成N 个能级，因而总共有8N个能级。但由于形成晶 体时，SP3杂化使得在平衡状态时，3s和3p态 相互作用并交叠，最终每个原子具有4个成键 态（能量低）和4个反键态（能量高）；每个 原子核外的4个电子都填充其中的4个低能状态， 因而低能带被填满（价带），高能带被空置 （导带）。
第二章
量子力学初步
12
半导体物理与器件
假设有向正x方向运动的自由电子，其运动可以表 达为：
x, t A exp j kx t 2 k
h 2mE h p
第二章 量子力学初步 13
半导体物理与器件
• 无限深势阱
第二章
量子力学初步
为什么电子显微镜分辨率高？
第二章
量子力学初步
6
半导体物理与器件
电磁波谱
第二章
量子力学初步
7
半导体物理与器件
不确定性原理
• 共轭变量无法同时精确测量： • 坐标、动量 • 能量、时间
p x E t
第二章 量子力学初步 8
不确定性原理是基本量子力学原理，而不仅仅是适用于测量状 态。由于不确定性原理，我们无法用经典轨道的概念来描述电 子运动，而只能用概率分布。
第三章 固体量子理论初步c 20
半导体物理与器件
电子共有化运动
原子中的电子在原子核的势场和其它电子的作用下， 分列在不同的能级上，形成所谓电子壳层
不同壳层的电子分别用1s;2s,2p;3s,3p,3d;4s…等符 号表示，每一壳层对应于确定的能量。
当原子相互接近形成晶体时，不同原子的内外各电子 壳层之间就有了一定程度的交叠，相邻原子最外壳层 交叠最多，内壳层交叠较少。
第三章 固体量子理论初步 29
半导体物理与器件
定性理论（物理概念）：晶体中原子之间的相互作用 （泡利不相容原理），使能级分裂形成能带。 定量理论（量子力学计算）：电子在周期场中运动， 其能量不连续成能带。
自由电子的运动 晶体中电子的运动与孤立原子的电子、自由电子的运动不同： 孤立原子中的电子是在该原子的核和其它电子的势场中运动 自由电子是在恒定为零的势场中运动 晶体中的电子是在严格周期性重复排列的原子间运动， 单电子近似认为，晶体中的某一个电子是在周期性排列且 固定不动的原子核的势场以及其它大量电子的平均势场中 运动，这个势场也是周期性变化的，而且它的周期与晶格 周期相同。
半导体物理与器件
第三章
§3.1 固体的能带理论
固体量子理论初步
能带理论是研究固体中电子运动的一个主要理论基础 为什么需要能带理论： 怎么样来描述电子
电子-全同性粒子
电子的状态：波失k，能量E；
第三章
固体量子理论初步
19
半导体物理与器件
§3.1 固体的能带理论
能带理论是单电子近似的理论 把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中 的运动。（哈特里-福克自洽场方法） 通过能带理论理解 K空间能带图 电子、空穴 金属、绝缘体、半导体 重在理解能带形成的机理，E-k能带图的作用及意义。
第三章
固体量子理论初步
17
半导体物理与器件
利用单电子的原子模型，再引入两个基本的概念，我们就可以 构造出元素周期表最初的排列规律。 两个基本概念（原理）： （1）电子的自旋角动量和自旋量子数
至此，描述一个电子的状态，一共需要n、l、m、s等四个量 子数。 （2）泡利不相容原理 在任意给定的系统中，不可能有两个电子占据完全相同的量 子态，即不可能有两个电子具有完全相同的一组量子数（n、 l、m、s）。
• 矩形势垒
由于波动性，微观粒子有一定的几率透过势垒。 这一结果是量子隧穿效应的基础。
第二章 量子力学初步 16
半导体物理与器件
关于单电子原子的三个重要结论（P.34 2.41）： 1、对应简单势函数的薛定谔波动方程解引出的电子概率函 数。 2、束缚电子能级量子化。 3、由分离变量法引出量子数和量子态概念。 n=1, 2, 3, ...... , l=n-1, n-2, n-3, ......, 3, 2, 1, 0 |m|=l, l-1, l-2, ...... , 2, 1, 0
2 x x
2
2m
2
E V x x 0
第二章
量子力学初步
10
半导体物理与器件
波函数的物理意义
波函数用以描述粒子或系统的状态，本身是一个复 函数，因而不具有物理意义
波函数的模方是概率密度函数
x, t x, t * x, t x * x x
第三章 固体量子理论初步
r0
24
半导体物理与器件
例：求静止电子经 15000V 电压加速后的德波波长。 解：静止电子经电压U加速后的动能 由
半导体物理与器件
P mv
代入
34 h h 6 . 63 10 2meU P 2 9 . 1 10 31 1 . 6 10 19 15000
P 2meU
1 2 mv eU 2
实际的晶体中，每个原子包含不止一个电子。以3壳层原子 为例，当随着原子距离的缩减，最外层电子首先相互作用 导致n=3的能级分裂。进一步缩减距离导致次外层和内层原 子也分裂成能带。 假定最终的平衡位置在 r0，则处于该系统中的 电子就处于一个被禁带 所隔开的两个能带中。
第三章
固体量子理论初步
25
半导体物理与器件
p
禁带
s
原子能级分裂为能带的示意图
第三章 固体量子理论初步 26
半导体物理与器件
实际晶体的能带分裂还会复杂很多。图为Si原子电子 系统示意图。对于n=3的外层价电子来说，其中两个分布 在能量较低的s轨道上，而可容纳6个电子的p轨道上有两 个电子。
P轨道：六个量子态 S轨道：两个量子态
第三章
固体量子理论初步
2 2
概率密度函数代表在空间中某一点发现粒子的概率。 在量子力学中，我们无法精确确定一个电子的位置， 而只能确定在某处或某个区域内电子存在的概率是 多少。
第二章
量子力学初步
11
半导体物理与器件
自由空间中的电子
在电子不受任何外界作用时，可看作自由电子，用 薛定谔方程来讨论自由电子的状态 和时间无关 的方程 定态解
半导体物理与器件
第二章
量子力学初步
• 为了更深入理解器件的电流——电压特性， 有必要了解不同势函数条件下，晶体中电 子状态的一些相关知识。 • 电子的运动服从量子力学规律，量子力学 的波动理论是半导体物理学理论的基础 • 本章对量子力学进行简要的介绍，了解并 适应量子力学的分析方法
第二章 量子力学初步 1
第三章
固体量子理论初步
21
半导体物理与器件
原子组成晶体后，由于电子壳层的交叠，电子不再完 全局限在某一个原子上，可以由一个原于转移到相邻 的原子上去，因而，电子将可以在整个晶体中运动。 这种运动称为电子的共有化运动
注意：各原子中相似壳层上的电子才有（近似）相同 的能量，电子只能在相似壳层间转移。
最大动能 光电子 光子能量 功函数
例2.1 计算对应某一粒子波长的光子能量。考虑一种X射线，其 波长为λ=0.708×10-8cm。 解答：其能量为：2.81×10-15J 1.75×104eV
第二章 量子力学初步 3
半导体物理与器件
电子伏：eV
• 焦耳： 1焦耳=1库仑电荷经过1V的加速电场后 所获得的能量。 • 电子伏：1电子伏=1单位电荷经过1V加速电场 后所获得的能量。
s能级(l=0,ml=0,ms=±1/2)，2度简并，交叠后分裂 为2N个能级；p 能级（l=1, ml=0, 1，ms=±1/2 ）6度简 并，交叠后分裂为6N个能级，d 能级（l=2, ml=0, 1, 2, ms=±1/2 ），交叠后分裂为10N个能级
能量E
{
{
{
能带
原子能级
原子轨道
d
禁带
允带
• 量子力学是半导体物理的基础（之一）
材 料 电 性 质
电子分布 状态 电子激励 内部电子结构 响应
能 带 结 构
晶 体 结 构 固 体 理 论
微观粒子作用 规律
拓扑学原理
第二章
量子力学初步
2
半导体物理与器件
量子力学的基本原理：
• 能量量子化、波粒二相性、不确定原理
• 能量量子化实验例证：光电效应 hc h E h p 1 2 Tmax mv h h 0 2
粒子的波粒二相性
第二章
量子力学初步
5
半导体物理与器件
波粒二相性
h=6.625×10-34JS
p h h
h p
1eV的电子，波长是多少？
h h 6.625 1034 1.23 109 m 1.23 A p 2mE 2 9.111031 1.6 1019
1 10
11
m
电子的德波波长很短，用 电子显微镜衍射效应小，可 放大200万倍。
9
半导体物理与器件
薛定谔波动方程
一维非相对论性薛定谔波动方程
2 x, t x, t V x x, t j 2 2m t x
Baidu Nhomakorabea
一维定态薛定谔方程
第三章 固体量子理论初步 30
半导体物理与器件
自由电子的运动状态
对于波矢为k的运动状态，自由电子的 能量E，动量p，速度v均有确定的数 值。 波矢k可用以描述自由电子的运动状态， 不同的k值标志自由电子的不同状态
自由电子的E和k的关系曲线，呈抛物 线形状。
由于波矢k的连续变化，自由电子的能 量是连续能谱，从零到无限大的所有V hk , m0 能量值都是允许的。
共有化运动的产生是由于不同原子的相似壳层的交叠， 如图所示
第三章
固体量子理论初步
22
半导体物理与器件
能带的形成 原子靠近→电子云发生重叠→电子之间存在相互作用→分立 的能级发生分裂。从另外一方面来说，这也是泡利不相容原 理所要求的。
第三章
固体量子理论初步
23
半导体物理与器件
如图所示为大量相同的原子靠得很近形成晶体材料之后， 原来相同的电子能级就会发生分裂，变成一系列离散的能 级，这些离散的能级形成能带，其中的r0代表平衡状态下晶 体中的原子间距。
hk E 2m0
2
2
第三章
固体量子理论初步
31
半导体物理与器件
近自由电子近似将电子看成是位于势阱中的近自由电 子，而把周期性势场作为微扰，这样对于一维情况得到： 在 并微扰，能带分裂，形成一 系列的禁带、允带，又由于 周期性边界条件玻恩一卡尔 曼条件，k只能取一些不连续 的点（k取值数与原子总数N 有关），这样晶体中的电子 只能处在允带中的一系列能 级上。 L
1 18eV • 1焦耳=1eV× 19 =6.25×10 1.6 10 焦耳通常用来讨论宏观的、统计的系统。 电子伏通常用来讨论单一粒子。 从强度上而言：1焦耳作用于1库仑等效于1电子伏作用于1电子。 1eV电子速度多少？ 620nm可见光的能量为2eV 例2.2 第二章 量子力学初步 4
半导体物理与器件
14
半导体物理与器件
• 无限深势阱中
1.能级的分裂是由约束条件自然形成的，而非人为强制。这 说明，任何类似波的物理系统，自然地会产生量子行为；与 平常的想法恰恰相反，量子行为不是像变魔术一般变出来的 2.基态（零点能）能量不为0。 3.电子在阱中以驻波形式存在。
第二章 量子力学初步 15
半导体物理与器件
2 x 2mE 2 2 x
jx
x 0
2mE
x A exp
jx 2mE B exp
t
和时间有关 的解
行波解
t e j E /
x, t A exp
2mE Et j B exp x 2mE Et j x
27
半导体物理与器件
大量硅原子形成硅晶体的电子能级分裂示意图
第三章
固体量子理论初步
28
半导体物理与器件
以Si 为例:
每个Si原子最外层有2个S能级和6个p能级，N 个Si原子构成单晶体后，每个能级都分裂成N 个能级，因而总共有8N个能级。但由于形成晶 体时，SP3杂化使得在平衡状态时，3s和3p态 相互作用并交叠，最终每个原子具有4个成键 态（能量低）和4个反键态（能量高）；每个 原子核外的4个电子都填充其中的4个低能状态， 因而低能带被填满（价带），高能带被空置 （导带）。
第二章
量子力学初步
12
半导体物理与器件
假设有向正x方向运动的自由电子，其运动可以表 达为：
x, t A exp j kx t 2 k
h 2mE h p
第二章 量子力学初步 13
半导体物理与器件
• 无限深势阱
第二章
量子力学初步
为什么电子显微镜分辨率高？
第二章
量子力学初步
6
半导体物理与器件
电磁波谱
第二章
量子力学初步
7
半导体物理与器件
不确定性原理
• 共轭变量无法同时精确测量： • 坐标、动量 • 能量、时间
p x E t
第二章 量子力学初步 8
不确定性原理是基本量子力学原理，而不仅仅是适用于测量状 态。由于不确定性原理，我们无法用经典轨道的概念来描述电 子运动，而只能用概率分布。
第三章 固体量子理论初步c 20
半导体物理与器件
电子共有化运动
原子中的电子在原子核的势场和其它电子的作用下， 分列在不同的能级上，形成所谓电子壳层
不同壳层的电子分别用1s;2s,2p;3s,3p,3d;4s…等符 号表示，每一壳层对应于确定的能量。
当原子相互接近形成晶体时，不同原子的内外各电子 壳层之间就有了一定程度的交叠，相邻原子最外壳层 交叠最多，内壳层交叠较少。
第三章 固体量子理论初步 29
半导体物理与器件
定性理论（物理概念）：晶体中原子之间的相互作用 （泡利不相容原理），使能级分裂形成能带。 定量理论（量子力学计算）：电子在周期场中运动， 其能量不连续成能带。
自由电子的运动 晶体中电子的运动与孤立原子的电子、自由电子的运动不同： 孤立原子中的电子是在该原子的核和其它电子的势场中运动 自由电子是在恒定为零的势场中运动 晶体中的电子是在严格周期性重复排列的原子间运动， 单电子近似认为，晶体中的某一个电子是在周期性排列且 固定不动的原子核的势场以及其它大量电子的平均势场中 运动，这个势场也是周期性变化的，而且它的周期与晶格 周期相同。
半导体物理与器件
第三章
§3.1 固体的能带理论
固体量子理论初步
能带理论是研究固体中电子运动的一个主要理论基础 为什么需要能带理论： 怎么样来描述电子
电子-全同性粒子
电子的状态：波失k，能量E；
第三章
固体量子理论初步
19
半导体物理与器件
§3.1 固体的能带理论
能带理论是单电子近似的理论 把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中 的运动。（哈特里-福克自洽场方法） 通过能带理论理解 K空间能带图 电子、空穴 金属、绝缘体、半导体 重在理解能带形成的机理，E-k能带图的作用及意义。
第三章
固体量子理论初步
17
半导体物理与器件
利用单电子的原子模型，再引入两个基本的概念，我们就可以 构造出元素周期表最初的排列规律。 两个基本概念（原理）： （1）电子的自旋角动量和自旋量子数
至此，描述一个电子的状态，一共需要n、l、m、s等四个量 子数。 （2）泡利不相容原理 在任意给定的系统中，不可能有两个电子占据完全相同的量 子态，即不可能有两个电子具有完全相同的一组量子数（n、 l、m、s）。
• 矩形势垒
由于波动性，微观粒子有一定的几率透过势垒。 这一结果是量子隧穿效应的基础。
第二章 量子力学初步 16
半导体物理与器件
关于单电子原子的三个重要结论（P.34 2.41）： 1、对应简单势函数的薛定谔波动方程解引出的电子概率函 数。 2、束缚电子能级量子化。 3、由分离变量法引出量子数和量子态概念。 n=1, 2, 3, ...... , l=n-1, n-2, n-3, ......, 3, 2, 1, 0 |m|=l, l-1, l-2, ...... , 2, 1, 0
2 x x
2
2m
2
E V x x 0
第二章
量子力学初步
10
半导体物理与器件
波函数的物理意义
波函数用以描述粒子或系统的状态，本身是一个复 函数，因而不具有物理意义
波函数的模方是概率密度函数
x, t x, t * x, t x * x x