八年级上册数学 全等三角形(提升篇)(Word版 含解析)

八年级上册数学全等三角形（提升篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=1
2
BC，则△ABC的顶角的度数为
_____．
【答案】30°或150°或90°
【解析】
试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．
解：①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，AD=1
2 BC，
∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，
如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，AD=1
2 BC，
∴AD=BD=CD，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD=1
2
×180°=90°，
∴顶角∠BAC=90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
故答案为30°或150°或90°．
点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_____个．
【答案】4
【解析】
【分析】
以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P1、P3，以A为圆心，AO为半径画弧交x轴于点P4，作OA的垂直平分线交x轴于P2．
【详解】
解：如图，使△AOP是等腰三角形的点P有4个．
故答案为4．
【点睛】
本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形，掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键．
3．如图，P 为∠AOB 内一定点，M ，N 分别是射线OA ，OB 上一点，当△PMN 周长最小时，∠OPM ＝50°，则∠AOB ＝___________．
【答案】40°
【解析】
【分析】
作P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2．连接OP 1，OP 2．则当M ，N 是P 1P 2与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP 1M=∠OPM=50°，OP 1=OP 2=OP ，根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
如图：作P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2．连接OP 1，OP 2．则当M ，N 是P 1P 2与OA 、OB 的交点时，△PMN 的周长最短，连接P 1O 、P 2O ，
∵PP 1关于OA 对称，
∴∠P 1OP=2∠MOP ，OP1=OP ，P 1M=PM ，∠OP 1M=∠OPM=50°
同理，∠P 2OP=2∠NOP ，OP=OP 2，
∴∠P 1OP 2=∠P 1OP+∠P 2OP=2（∠MOP+∠NOP ）=2∠AOB ，OP 1=OP 2=OP ， ∴△P 1OP 2是等腰三角形．
∴∠OP 2N=∠OP 1M=50°，
∴∠P 1OP 2=180°-2×50°=80°，
∴∠AOB=40°，
故答案为：40°
【点睛】
本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得△P 1OP 2是等腰三角形是解题的关键．
4．在ABC ∆中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ，20DAE ∠=︒，则BAC ∠=______°.
【答案】80或100
【解析】
【分析】
根据题意，点D 和点E 的位置不确定，需分析谁靠近B 点，则有如下图（图见解析）两种情况：（1）图1中，点E 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，
,BD AD AE CE ==，从而有1,2B DAE C DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，再根据三角形的内角和定理可得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得；（2）图2中，点D 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有3,4B C ∠=∠∠=∠，由三角形的内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得.
【详解】
由题意可分如下两种情况：
（1）图1中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，
1,2B DAE C DAE ∴∠=∠+∠∠=∠+∠
（等边对等角），
两式相加得12B C DAE DAE ∠+∠=∠+∠+∠+∠，
又12DAE BAC ∠+∠+∠=∠
20B C BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠+︒
，
由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，
20180BAC BAC ∴∠+︒+∠=︒
，
80BAC ∴∠=︒
；
（2）图2中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，
3,4B C ∴∠=∠∠=∠
（等边对等角），
两式相加得34B C ∠+∠=∠+∠，
又34DAE BAC ∠+∠+∠=∠，
3420BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠-∠=∠-︒
，
20B C BAC ∴∠+∠=∠-︒
由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，
20180BAC BAC ∴∠-︒+∠=︒
，
100BAC ∴∠=︒
.
故答案为80或100.
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）、等腰三角形的定义和性质（等边对等角）、以及三角形内角和定理，本题的难点在于容易漏掉第二种情况，出现漏解.
5．如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推，若OA1＝3，则a2=_______，a2019=_______.
【答案】6； 3×22018.
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1=6，得出
a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1…进而得出答案．
【详解】
解：如图，
∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=3，
∴A2B1=3，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴a2=2a1=6，
a3=4a1，
a4=8a1，
a5=16a1，
以此类推：a2019=22018a1=3×22018
故答案是：6；3×22018．
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a2=2a1=6，a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1…进而发现规律是解题关键．
6．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE的周长为_____．
【答案】14．
【解析】
【分析】
先根据角平分线的定义及平行线的性质得BD ＝DF ，CE ＝EF ，则△ADE 的周长＝AB +AC ＝14．
【详解】
∵BF 平分∠ABC ，
∴∠DBF ＝∠CBF ，
∵DE ∥BC ，
∴∠CBF ＝∠DFB ，
∴∠DBF ＝∠DFB ，
∴BD ＝DF ，
同理FE ＝EC ，
∴△AED 的周长＝AD +AE +ED ＝AB +AC ＝8+6＝14．
故答案为：14．
【点睛】
此题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的等角对等边的性质.
7．如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，BC DC =，60A ∠=︒，点E 为AD 边上一点，连接BD .CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE AB ∥，若8AB =，6CE =，则BC 的长为_______________.
【答案】7
【解析】
【分析】
由AB AD =，BC DC =知点A,C 都在BD 的垂直平分线上，因此，可连接AC 交BD 于
点O ，易证ABD △是等边三角形，EDF 是等边三角形，根据等边三角形的性质对三角形中的线段进行等量转换即可求出OB,OC 的长度，应用勾股定理可求解.
【详解】
解：如图，连接AC 交BD 于点O
∵AB AD =，BC DC =，60A ∠=︒，
∴AC 垂直平分BD ，ABD △是等边三角形
∴30BAO DAO ∠=∠=︒，8AB AD BD ===，4BO OD ==
∵CE AB ∥
∴30BAO ACE ∠=∠=︒，60CED BAD ∠=∠=︒
∴30DAO ACE ∠=∠=︒
∴6AE CE ==
∴2DE AD AE =-=
∵60CED ADB ∠=∠=︒
∴EDF 是等边三角形
∴2DE EF DF ===
∴4CF CE EF =-=，2OF OD DF =-= ∴2223OC CF OF =-=
∴2227BC BO OC +=【点睛】
本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用等边三角形的判定与性质进行线段间等量关系的转换是解题的关键.
8．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm ，DE=2cm ，则BC=_____cm ．
【答案】8cm.
【解析】
【详解】
解：如图，延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴△EFD为等边三角形，
∵BE=6cm，DE=2cm，
∴DM=4，
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=36°，
∴NM=2，
∴BN=4，
∴BC=8．
9．如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=_____s时，△POQ是等腰三角形.
【答案】10
3
或10
【解析】
【分析】
根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，点P在BO上，分别计算，即可得解.
【详解】
当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图1所示
当点P在AO上时，
∵PO=AO-AP=10-2t，OQ=t
当PO=QO时，
102t t
-=
解得
10
3 t=
当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图2所示当点P在BO上时
∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=t
当PO=QO时，
210
t t
-=
解得10
t=
故答案为：10
3
或10
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质及动点问题，熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论思想是解题关键.
10．已知，∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，
△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=a，则△A7B7A8的边长为______．
【答案】64a
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到A2B2=2B1A2，进而得出A3B3=4B1A2=4a，A4B4=8B1A2=8a，A5B5=16B1A2…从而得到答案．
【详解】
∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°．
∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°．
又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°．
∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=a，∴A2B1=a．
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°．
∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，
∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4a，A4B4=8B1A2=8a，
A5B5=16B1A2=16a，以此类推：A7B7=64B1A2=64a．
故答案为：64a．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题的关键．
二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
11．如图，120AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，且2OP =，若点M N 、分别在OA OB 、上，且PMN ∆为等边三角形，则满足上述条件的PMN ∆有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．无数个
【答案】D
【解析】
【分析】 根据题意在OA 、OB 上截取OE=OF=OP ，作∠MPN=60°，只要证明△PEM ≌△PON 即可反推出△PMN 是等边三角形满足条件，以此进行分析即可得出结论.
【详解】
解：如图在OA 、OB 上截取OE=OF=OP ，作∠MPN=60°．
∵OP 平分∠AOB ，120AOB ∠=︒，
∴∠EOP=∠POF=60°，
∵OE=OF=OP ，
∴△OPE ，△OPF 是等边三角形，
∴EP=OP ，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN，
在△PEM和△PON中，
PEM PON
PE PO
EPM OPN
∠
⎪∠
⎧
⎩
∠
⎪
∠
⎨
＝
＝
＝
∴△PEM≌△PON（ASA）．
∴PM=PN，
∵∠MPN=60°，
∴△PNM是等边三角形，
∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选：D．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确添加辅助线并构造全等三角形.
12．如图，已知：30
MON
∠=︒，点
1
A、
2
A、
3
A…在射线ON上，点
1
B、
2
B、
3
B…在
射线OM上，
112
A B A
△、
223
A B A
△、
334
A B A
△…均为等边三角形，若
1
1
2
OA=，则667
A B A的边长为( )
A．6 B．12 C．16 D．32
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据等边三角形的各边相等且各角为60°得：∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，再利用外角定理求∠OB1A1=30°，则∠MON=∠OB1A1，由等角对等边得：B1A1=OA1=
1
2
，得出△A1B1A2的边长
为
1
2
，再依次同理得出：△A2B2A3的边长为1，△A3B3A4的边长为2，△A4B4A5的边长为：22=4，△A5B5A6的边长为：23=8，则△A6B6A7的边长为：24=16．
【详解】
解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B 1A 1A 2=60°，A 1B 1=A 1A 2，
∵∠MON=30°，
∴∠OB 1A 1=60°-30°=30°，
∴∠MON=∠OB 1A 1，
∴B 1A 1=OA 1=12
， ∴△A 1B 1A 2的边长为
12
， 同理得：∠OB 2A 2=30°， ∴OA 2=A 2B 2=OA 1+A 1A 2=
12+12
=1， ∴△A 2B 2A 3的边长为1， 同理可得：△A 3B 3A 4的边长为2，△A 4B 4A 5的边长为：22=4，△A 5B 5A 6的边长为：23=8，则△A 6B 6A 7的边长为：24=16．
故选：C ．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质和外角定理，运用类比的思想，依次求出各等边三角形的边长，解题关键是总结规律，得出结论．
13．如图，60AOB ∠=，OC 平分AOB ∠，如果射线OA 上的点E 满足OCE ∆是等腰三角形，那么OEC ∠的度数不可能为（ ）
A ．120°
B ．75°
C ．60°
D ．30°
【答案】C
【解析】
【分析】 分别以每个点为顶角的顶点，根据等腰三角形的定义确定∠OEC 是度数即可得到答案.
【详解】
∵60AOB ∠=，OC 平分AOB ∠，
∠AOC=30︒，
当OC=CE 时，∠OEC=∠AOC=30︒，
当OE=CE 时，∠OEC=180OCE COE ∠∠︒--=120︒，
当OC=OE 时，∠OEC=
12
（180COE ∠︒- ）=75︒， ∴∠OEC 的度数不能是60°，
故选：C.
【点睛】
此题考查等腰三角形的定义，角平分线的定义，根据题意正确画出符合题意的图形是解题的关键.
14．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定
【答案】C
【解析】
【分析】
将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．想办法证明
∠HCN=120°HN=MN=x即可解决问题．
【详解】
将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°．
∵∠MON=30°，∴∠CBH+∠CBN=∠ABM+∠CBN=30°，∴∠NBM=∠NBH．
∵BM=BH，BN=BN，∴△NBM≌△NBH，∴MN=NH=x．
∵∠BCH=∠A=60°，CH=AM=n，∴∠NCH=120°，∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝
角三角形．
故选C ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
15．如图，在ABC ∆中，120BAC ︒∠=，点,E F 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，边BC 分别与DE 、DF 相交于点,H G ，且,DE AB DF AC ⊥⊥，连接AD 、AG 、AH ，现在下列四个结论：
①60EDF ︒∠=，②AD 平分GAH ∠，③B ADF ∠=∠，④GD GH =.
则其中正确的结论有（ ）.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
利用,DE AB DF AC ⊥⊥及四边形的内角和即可得到①正确；；根据三角形内角和与线段的垂直平分线性质得到∠BAH+∠GAC=60︒，无条件证明∠GAD=∠HAD,故②错误；由等量代换得B ADF ∠≠∠，故③错误；利用三角形的内角和与对顶角相等得到GD GH ≠，故④错误.
【详解】
∵,DE AB DF AC ⊥⊥，
∴∠DEA=∠DFA=90︒，
∵120BAC ︒∠=,
∴∠EDF=360︒-∠DEA-∠DFA-∠BAC=60︒，故①正确；
∵120BAC ︒∠=，
∴∠B+∠C=60︒，
∵点,E F 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，,DE AB DF AC ⊥⊥，
∴BH=AH ，AG=CG ，
∴∠BAH=∠B ，∠GAC=∠C ，
∴∠BAH+∠GAC=60︒，
∵无条件证明∠GAD=∠HAD,
∴AD 不一定平分GAH ∠，故②错误；
∵∠ADF+∠DAF=90︒，∠B=∠BAH,
90BAH DAF ∠+∠≠,
∴B ADF ∠≠∠，故③错误；
∵90B BHE ∠+∠=，30B ∠≠ ，
∴ 60BHE ∠≠，
∴60DHG ∠≠，
∴DHG HDG ∠≠∠,
∴GD GH ≠，故④错误，
故选：A.
【点睛】
此题考查线段的垂直平分线的性质，利用三角形的内角和，四边形的内角和求角度，利用对顶角相等，等角对等边推导边的关系.
16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，在直线AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有( )
A ．6个
B ．5个
C ．4个
D ．3个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】
解：根据题意，
∵△PAB 为等腰三角形，
∴可分为：PA=PB ，PA=AB ，PB=AB 三种情况，如图所示：
∴符合条件的点P 共有4个；
故选择：C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据等腰三角形的判定定理解答．
17．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，5AB =,将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段EF 的长为（ ）
A ．52
B ．125
C ．4
D ．53
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用折叠的性质证明出△ECF 是一个等腰直角三角形，因此EF=CE ，然后再根据文中条件综合得出S △ABC =
12AC∙BC=12
AB∙CE ，求出CE 进而得出答案即可. 【详解】
根据折叠性质可知：CD=AC=3，BC=B C '=4，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B 'CF ，CE ⊥AB ， ∴∠DCE+∠B 'CF=∠ACE+∠BCF ，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
又∵CE ⊥AB ，
∴△ECF 是等腰直角三角形，
∴EF=CE ， 又∵S △ABC =
12AC∙BC=12
AB∙CE ， ∴AC∙BC=AB∙CE ， ∵3AC =，4BC =，5AB =,
∴125CE =
， ∴EF 125
=. 所以答案为B 选项.
【点睛】
本题主要考查了直角三角形与等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
18．如图，已知△ABC 与△CDE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，连接OC 、FG ，则下列结论：
①AE =BD ；②AG =BF ；③FG ∥BE ；④∠BOC =∠EOC ．其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，结合图形，对选项一一求证，即可得出正确选项．
【详解】
（1）△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线
上，∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACE=∠BCD=120°．
在△BCD和△ACE中，∵
AC BC
BCD ACE
CD CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△BCD≌△ACE，∴AE=BD，故结论①正
确；
（2）∵△BCD≌△ECA，∴∠GAC=∠FBC．
又∵∠ACG=∠BCF=60°，AC=BC，∴△ACG≌△BCF，∴AG=BF，故结论②正确；（3）∵△ACG≌△BCF，∴CG=CF．
∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=60°，∴△FCG为等边三角
形，∴∠FGC=60°，∴∠FGC=∠DCE，∴FG∥BE，故结论③正确；
（4）过C作CN⊥AE于N，CZ⊥BD于Z，则∠CNE=∠CZD=90°．
∵△ACE≌△BCD，∴∠CDZ=∠CEN．
在△CDZ和△CEN中，
CZD CNE
CDZ CEN
CD CE
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△CDZ≌△CEN，∴CZ=CN．
∵CN⊥AE，CZ⊥BD，∴∠BOC=∠EOC，故结论④正确．
综上所述：四个结论均正确．
故选
D．
【点睛】
本题综合考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等重要几何知识点，有一定难度，需要学生将相关知识点融会贯通，综合运用．
19．如图，平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)，若在x轴上取点C，使△ABC为等
腰三角形，则满足条件的点C 的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【解析】
【分析】 由点A 、B 的坐标可得到AB=22，然后分类讨论：若AC=AB ；若BC=AB ；若CA=CB ，确定C 点的个数．
【详解】
∵点A 、B 的坐标分别为(2，2)、B(4，0)．
∴AB=22，
如图，①若AC=AB ，以A 为圆心，AB 为半径画弧与x 轴有2个交点(含B 点)，即(0，0)、(4，0)，
∴满足△ABC 是等腰三角形的C 点有1个；
②若BC=AB ，以B 为圆心，BA 为半径画弧与x 轴有2个交点，即满足△ABC 是等腰三角形的C 点有2个；
③若CA=CB ，作AB 的垂直平分线与x 轴有1个交点，即满足△ABC 是等腰三角形的C 点有1个；
综上所述：点C 在x 轴上，△ABC 是等腰三角形，符合条件的点C 共有4个．
故选D ．
【点睛】
本题主考查了等腰三角形的判定以及分类讨论思想的运用，分三种情况分别讨论，注意等腰三角形顶角的顶点在底边的垂直平分线上．
20．如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，AH BC ⊥，AE 平分BAC ∠，M 是 BC 中点，
则下列结论正确的个数为（ ）
（1）AB BE AC += （2）2AB BH BC += （3）2AB HM = （4）
CH EH AC +=
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【解析】
【分析】
（1）延长AB 取BD=BE ，连接DE ，由∠D=∠BED ，2ABC C ∠=∠，得到∠D=∠C ，在△ADE 和△ACE 中，利用AAS 证明ADE ACE ≌，可得AC=AD=AB+BE ；
（2）在HC 上截取HF=BH,连接AF ，可知△ABF 为等腰三角形，再根据2ABC AFB C ∠=∠=∠，可得出△AFC 为等腰三角形，所以FC+BH+HF=AB+2BH=BC ； （3）HM=BM-BH ，所以2HM=2BM-2BH=BC-2BH ，再结合（2）中结论，可得
2AB HM =；
（4）结合（1）（2）的结论，
BC 2BH BE BC BH BE BH CH EH AC AB BE =+=-+=-+-=+
.
【详解】
解：
①延长AB 取BD=BE ，连接DE ，
∴∠D=∠BED ，∠ABC=∠D+∠BED=2∠D,
∵2ABC C ∠=∠，∴∠D=∠C ，
在△ADE 和△ACE 中，
DAE CAE D C AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ADE ACE ≌
∴AC=AD=AB+BE ，故（1）正确；
②在HC 上截取HF=BH,连接AF ，
∵AH BC ⊥，∴△ABF 为等腰三角形，
∴AB=AF ，∠ABF=∠AFB ，
∵2ABC C ∠=∠，∴∠AFB=2∠C=∠C+∠CAF ，
∴FC=AF=AB ，
∴FC+BH+HF=AB+2BH=BC ，
故（2）正确；
③
∵HM=BM-BH ，∴2HM=2BM-2BH=BC-2BH ，
由②可知BC-2BH=AB ，
∴2AB HM =
④
根据①②结论，可得:
BC 2BH BE BC BH BE BH CH EH AC AB BE =+=-+=-+-=+，
故（4）正确；
故选D.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的外角以及全等三角形的判定和性质，结合实际问题作出合适辅助线是解题关键.。