几种特殊类型函数的积分(1)

例6 求积分
1 x
1 xdx x
解 令 1 x t 1xt2,
x
x
x
t
2
1
, 1
dx
2tdt t2 1 2
,
1 x
1 x
xdxt21tt22t12dt
2
t 2dt t2 1
21t211dt2tlntt 11C
21 xxln x 1 xx1 2 C .
例 例7 7 求 ( 1 3 d x ) x x
例 练6 习求 1 3 d x 2 x
解 设 3 x2 u 即xu32 则
1 3 d x 2 x 1 1 u3 u2d u 3 u2 1 1 u 1 d u 3 ( u 1 1 1 u ) d 3 ( u 2 2 u u l | 1 u | n C )
3 3 ( x 2 ) 2 3 3 x 2 l | 1 3 x n 2 | C 2
四、积分表的使用
例8 求 (3x14)2dx. 被积函数中含有 axb
在积分表（一）中查得公式（7） ax 1b2dxa12ln|axb|axbbC
现在 a3, b4于是
3x 142dx9 1ln|3x4|3x44C.
例9
求 x
dx . 4x2 9
表中不能直接查出, 需先进行变量代换.
令2xu 4 x 2 9 u 2 3 2
2 dx1u2 du
令 u t 2 x a 则 s x 1 n 2 u u i 2 c n x 1 1 u u o 2 2 s
例 例4 4 求 s 1 x ( 1 s c x i x ) d i n o n x s
解 解 令 u t 2 x 则 an
s1 x ( 1 i s c n x i x ) o d n 1 s x 2 u u ( 1 2 ( 1 1 2 u u 1 1 2 ) u u 2 2 ) 1 2 u 2 du 1 2 ( u 2 u 1 ) d 1 2 ( u 2 2 2 u u l | u | C n )
解 设xt6 于是dx6t5dt 从而
( 1 3 d x ) x ( 1 6 t t 2 5 x ) t 3 d 6 1 t 2 t 2 d t t
6 ( 1 1 1 t 2 ) d 6 ( t a tt ) r C cta
6 ( 6 x ar 6 x ) c C t an
五、小结
有理式分解成部分分式之和的积分.
三角有理式的积分.（万能置换公式） 简单无理式的积分.
作业: 5(3),6(1),7(4).
练习题
一、填空题：
1、
3 x3
dx 1
A x1
Bx C x2 x
dx ，其 A 1
____,
B ________ ,C __________；
2、wenku.baidu.com
x
sin x2sin xcoxs 22
2 tan sec 2
x
2 x
2 tan x
1
tan
2 2x
,
2
2
1 tan 2 x 1 tan 2 x
cos x
sec 2
2 x
1
tan
2
2 x
,
2
2
令u tan x x2arcut（a万能n置换公式） 2
sinx12uu2, cosx11uu22 ,
例3
求积分
x3 x3
dx.
解
x3 x33x23x29x9x2 72 7.
x3
x3
x2 3x9 27 . x3
xx 33dx(x23x9)dxx2 73dx.
1x33x29x27ln(x3)c 32
二、三角函数有理式的积分
三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数．一般记为 R(sx i,n cox)s
8 、
dx 3 ( x 1)2( x 1)4
.
三 、 求 下 列 不 定 积 分 （ 用 以 前 学 过 的 方 法 ）：
1、
1
x
x 3
dx
；
3 、
dx ；
x4 1 x2
5 、
(1
x3 x 8 )2
dx
；
7 、
x(
3
x
x
3
dx x)
；
2、
1 cos x sin
x x
dx
；
4 、
(1(1u)u2)(1(1u2u)2)du
1 u 1 u2du
1
1
du u
arcu ta1lnn(1u2)ln |1u| C
2 utanx
2
x 2
ln| secx |ln|1tan x|C.
2
2
三、简单无理函数的积分
讨论类型 R(x,nax b),R(x,n axb), cxe
解决方法 作代换去掉根号.
提示：x 2 a u d r 1 2 u 2 d c x t u an
例5 求积分 1sisnxin xcoxsdx.
解
由万能置换公式
2u sinx1u2 ,
cosx 11uu22
2 dx1u2 du,
1sisnxinxcoxsdx(1u)2u(1u2)du 2u( 11u)u(12 1u 2)u2du
5、 有 理 函 数 的 原 函 数 都 是_________ .
二、求下列不定积分：
1、
x
1
xdx x2
x
3
；
3、
1
1 x
4
dx
；
5、
2 sin
dx x cos
； x5
7、
1 x dx ； 1 x x
2、
x 2
dx
1 x 2
x；
4、
3
dx sin
2
x
；
6、
x 1 1 dx x11
；
dx
x 4x2 9 u
1 du 2 u2
32
u
du u2 32
2
被积函数中含有 u2 32,
在积分表（六）中查得公式（37）
x
dx x2 a2
1ln |x| C a a x2a2
du 1 |u|
u
u2 32
ln
C
3 3 u232
将 u2x代入得
x
dx 1ln 2|x| C. 4x2 9 3 3 4x29
sin cos
2 3
x x
dx
；
6
、
1
sin x sin
x
dx
；
8 、
xe x (e x 1)2
dx
；
9 、 [ln( x 1 x 2 )] 2 dx ； 1 0 、 1 x 2 arcsin xdx ；
x2 1
12 x 1 dx
x
A
12
B x
1
C x
1 dx ,
其中A _____,B _____,C _______；
3、计算
2
dx sinx
,可用万能代换sin x
___________,
dx _____________；
4、计算
dx ,令t ___,x ___,dx ____ . ax b m