高考数学高频考点突破 极限、数学归纳法

处
的左极限和右极限都是单侧极限，双侧极限应理解为x， 即可以从x0的左边无限趋近于x0，也可以从x0的右边无
限
趋近于x0，也可以从x0的两侧交错地无限趋近于x0，只
要
x→x0就有f(x)→a.
2．对于函数的连续性问题，一般则是根据定义：函数在某
[例 2]
(1)求极限
lim
x0
1－sinco2xs3x＝________.
＝
lim
x0
1－cos2x 1－cosx1＋cosx＋cos2x
lim(1 cos x)
＝
lim
x0
1＋c1o＋sxc＋oscxos2x＝
x0
lim(1 cos
x0
x
1
cos2
x)
＝1＋1＋1＋1 1＝23.
x＋bx≥1 (2)由于函数 f(x)＝x2＋x－ax1－3x＜1
在 x＝1 处连续，
法二：由(1)知：an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，
所证不等式为32·54·76·…·2n2＋n 1＞ n＋1.
事实上，32·54·76·…·2n2＋n 1
2＋4 4＋பைடு நூலகம் 6＋8 2n＋2n＋2
＝
2 2
2 ·4
2 ·6
·…·
2 2n
＞
2×4 2·
4×6 4·
66×8·…·
2n2n＋2 2n
求数列极限的一些常用方法
(1)分子、分母同时除以n的幂；
(2)利用有理化因子变形；
(3)求和式极限时，一般先求和，再求极限；
(4)利用一些已知极限(如
lim
x
qn＝0(|q|＜1)；
(5)求含参数的式子的极限时，注意对参数的值进行分类讨论，
分别确定极限是否存在，若存在求出值．
[例 1] (1)在数列{an}中，an＝4n－52，a1＋a2＋…＋an
[思路点拨] (1)先求数列{an}的前n项和，再确定a， b的值，(2)对每个式子求极限，再求a的范围．
[自主解答] (1)∵an＝4n－52，
∴a1＝32，
而数列{an}显然是等差数列，
∴Sn＝n32＋24n－52＝2n2－n2，
∴a＝2，b＝－12，∴
lim
n
22nn－＋－－1212nn＝1.
lim
x
31＋－－－4545xx＝3.
数学归纳法是一种重要的证明与正整数有关的 命题的方法．证明时(1)和(2)两个步骤缺一不可，步骤(1) 是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．但数学归纳法
的关键在于第二步，即由n＝k推证n＝k＋1，其中要特别注 意由n＝k推证到n＝k＋1的过程中需用上归纳假设．
[例 3] 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知对任意的 n∈N*，点 (n，Sn)均在函数 y＝bx＋r(b＞0 且 b≠1，b，r 均为常数)的图象 上． (1)求 r 的值； (2)当 b＝2 时，记 bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)． 证明：对任意的 n∈N*，不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1＞ n＋1成 立．
故
lim
x1
f(x)＝
lim
x1
f(x)＝f(1)，所以
x2＋ax－3
必含有因式(x－1)，
即 x＝1 必为方程 x2＋ax－3＝0 的根，所以 a＝2，则可得
b＝3，所以
lim
x
3bbxx－＋aaxx＝
lim
x
33x＋x－1＋22x x＝
lim
x
31＋－2323xx＝3.
[答案]
2 (1)3
(2)D
要证当n＝k＋1时结论成立，
只需证22kk＋＋31≥ k＋2，
即证2k＋ 2 3≥ k＋1k＋2，
由均值不等式
2k＋3 2
＝
k＋1＋k＋2 2
≥
k＋1k＋2 成立，故
22kk＋＋31≥ k＋2成立，
所以，当n＝k＋1时，结论成立．
由①②可知，n∈N*时，
不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1＞ n＋1成立．
(2)证明：法一：由(1)知an＝2n－1， 因此bn＝2n(n∈N*)， 所证不等式为2＋2 1·4＋4 1·…·2n2＋n 1＞ n＋1. ①当n＝1时，左式＝32，右式＝ 2， 左式＞右式，所以结论成立．
②假设n＝k时结论成立， 即2＋2 1·4＋4 1·…·2k2＋k 1＞ k＋1， 则当n＝k＋1时， 2＋2 1·4＋4 1·…·2k2＋k 1·22kk＋＋31 ＞ k＋1·22kk＋＋31＝22kk＋＋31，
＝ 22· 2n＋2＝ n＋1. 故对一切n∈N*，
不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1＞ n＋1成立．
(1)在本例证明过程中，①考虑“n取第一个值的命题形式”
x＋bx≥1 (2)函数 f(x)＝x2＋x－ax1－3x＜1 在 x＝1 处连续，
则
lim
x
3bbxx－＋aaxx的值为
A．0
C．2
B．1 D．3
()
[思路点拨] (1)把sin2x表示为1－cos2x，运算求极限； (2)利用连续求a，b的值，再求极限．
[自主解答]
(1)
lim
x0
sin2x 1－cos3x
＝an2＋bn，n∈N*，其中
a，b
为常数，则
lim
n
an－bn an＋bn
的值为________．
(2)已知
a，b∈R，|a|＞|b|，又
lim
n
an＋1＋bn an
＞
lim
n
an－a1＋n bn，则 a 的取值范围是(
)
A．a＞1
B．－1＜a＜1
C．a＜－1 或 a＞1
D．－1＜a＜0 或 a＞1
[思路点拨]
[自主解答] (1)由题意，Sn＝bn＋r， 当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r， 所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)， 由于b＞0且b≠1， 所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列， 又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，aa21＝b， 即bbb＋－r1＝b，解得r＝－1.
(2)∵|a|＞|b|，则
lim
n
an＋a1＋n bn＝
lim
n
[a＋(ba)n]＝a，
lim
n
an－a1＋n bn＝
lim
n
[1a＋(ba)n]＝1a.
∴a＞1a⇒a＋1aa－1＞0⇒－1＜a＜0或a＞1.
[答案] (1)1 (2)D
1.函数f(x)在点x＝x0处的极限为双侧极限，而在点x＝x0
(2)中条件变为
lim
x1
ax2＋x－bx1＋1＝3，试求
lim
x
3bbxx－＋aaxx的值．
解：
lim
x1
ax2＋x－bx1＋1＝
lim
x1
(ax＋a＋b)＝(2a＋b)．
∴2a＋b＝3，又 a＋b＝－1.∴a＝4，b＝－5.
lim
x
3bbxx－＋aaxx＝
lim
x
3－5x＋4x －5x－4x
＝