第七章第六节空间向量及其运算(理)

第七章 第六节 空间向量及其运算（理）

空间向量的线性运算

3.A(1,0,1), B(4,4,6), C(2,2,3), D(10,14,17)这四个 点是否共面 _________ (共面或不共面).

T T

解析：AB = (3,4,5), AC = (1,2,2),

AD = (9,14,16),

T T T

设 AD = x AB + y AC .

即(9,14,16) = (3x + y,4x + 2y,5x + 2y),

1.如图所示，已知四面体 ABCD , E 、F 、G 、H 分别为 AB 、BC 、CD 、AC 的中点，则 1

（ AB + BC +

CD 化简

的结果为

T T A. BF B. EH

T

—I

HG

D. FG

2( AB + BC +

CD = 2( AC + CD ) = 1 AD =壬

C.

解析: 2HG

答案:

在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱

2.如图， ABCD — A 1B 1C 1D 1 中，M 是 AC 与 BD 的交点, 卄 T

—I —I

右 AB = a, A ,D i = b, AA = c,则下列向 量中与B i M 相等的向量是 1 1

A . - 2a + 2b + 1 1

B.2a + 2b+ c

C.^a —和 + c

—p —2b+ c

解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则,

T T [T

BM = B 1B + BM = c+2 BD

1 T T 1 1

=C+ 2( AD — AB )= — 2a+2b+ c. 答案：A

题组二 空间中的共线、共面问题

[x = 2,

$ 从而A、B、C、D四点共面.

l y=3,

答案：共面

4.如图在平行六面体 ABCD — A i B i C i D i中，E、F、G

求证：平面 EFG //平面 AB1C.

证明：设AB = a, AD = b,

A A1 = c,

T T T 1 T T 则EG = ED1+ D1G = 2（a + b）, AC = a + b = 2 EG ,

T T T 1 1 1

EF = ED1+ D1F = 2b — 2c= 2（b — c）,

T —I T T T T

B1C = B1C1+ C1C = b — c= 2 EF , •- EF // B1C .

又•/ EG与EF相交，AC与B i C相交,

•••平面 EFG // 平面 AB i C.

题组三空间向量数量积及应用5.如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于

AD、DC的中点，贝U a2等于（

点E、F、G分别为AB、

A . 2 BA -BC C. 2FG CA

解析：〈AD , BD 答案：B

B . 2 AD -BD

D. 2 EF CB =3，…2 AD * BD = 2a xa .

6. （2010长沙模拟）二面角a— I— B为60° A、B

是棱I上的两点，AC、BD分别在半平面 a B内,

AC丄 l, BD 丄 I,且 AB= AC = a, BD = 2a,贝U CD

的长为

C

A. 2a D^/3a

解析：•/ AC丄I, BD丄I,

T T T T T T

〈AC , BD〉= 60° 且AC -BA = 0, AB -BD = 0, C,

分别是A I D I、D I D、D i C i的中点.

a

r D I C

••• BD 1与AC 夹角的余弦值为 理

6

8.已知向量 a = (1 , — 3,2), b = (— 2,1,1), O 为原点，点 A(— 3,— 1,4), B(— 2,—

2,2).

(1)求 |2a+ b|；

(2)在直线AB 上，是否存在一点 E,使得OE 丄b?

解：(1)2a + b = (2, — 6,4) + ( — 2,1,1) = (0,— 5,5),

••• cD =CA +

A B +

B D

, f+a 2 + (2 a)2 + 2a 2acos120 =2a. 答案: 7.如图, 平行六面体 ABCD — A i B i C i D i 中, 以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1,且 两夹角为60° (1)求AC 1的长； ⑵求BD 1与AC 夹角的余弦值. 、T T T

解：设AB = a, AD = b, AA , = c,则两两夹角为60°且模均为1. (1) AC , = AC + CC 1 = AB + AD + A A, =a+ b + c.

• |

AC |2

= (a+ b + c)2

= |a|2

+ |b|2

+ |c|2

+ 2a b + 2b c+ 2a c

=3+ 6X 1 X 1X 2 = 6,

•-|

AC 1 |=^/6,即卩 AC 1 的长为 76.

⑵ BD i = BD + DD i = AD — AB + AA — b — a + c. •- BD 1 -AC = (b — a + c) (• + b)

2 2

=a b — a + a c+ b — a b + b

c

=1.

| BD i |=寸(b - a + C)2

=^/2, AC —> |=寸(a + b)2

= V 3,

二 cos 〈

_ _____ =血

72 x V s 6

.

题组四

空间向量及其运算的综合