2020年整理函数与极限练习题.doc

题型

一．求下列函数的极限

二．求下列函数的定义域、值域

三．判断函数的连续性，以及求它的间断点的类型

内容

一．函数

1.函数的概念

2.函数的性质——有界性、单调性、周期性、奇偶性

3.复合函数

4.基本初等函数与初等函数

5.分段函数

二．极限

（一）数列的极限

1.数列极限的定义

2.收敛数列的基本性质

3.数列收敛的准则

（二）函数的极限

1.函数在无穷大处的极限

2.函数在有限点处的极限

3.函数极限的性质

4.极限的运算法则

（三）无穷小量与无穷大量

1.无穷小量

2.无穷大量

3.无穷小量的性质

4.无穷小量的比较

5.等价无穷小的替换原理

三．函数的连续性

x处连续的定义

1.函数在点0

2.函数的间断点

3.间断点的分类

4.连续函数的运算

5.闭区间上连续函数的性质

例题详解题型I函数的概念与性质

题型II求函数的极限（重点讨论未定式的极限）题型III求数列的极限

题型IV已知极限，求待定参数、函数、函数值题型V无穷小的比较

题型VI判断函数的连续性与间断点类型

题型VII与闭区间上连续函数有关的命题证明

自测题一一．填空题

二．选择题

三．解答题

3月18日函数与极限练习题

一．填空题

1.若函数121)x (f x

-⎪⎭

⎫

⎝⎛=，则______)x (f lim x =+∞

→

2.若函数1

x 1

x )x (f 2--=，则______)x (f lim _

1x =→

3. 设23,,tan ,u y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________

4. 设

cos 0()0

x

x f x x ≤⎧⎪=⎨

>⎪⎩ ，则 (0)f = __________

5.已知函数 2

0()1

ax b

x f x x x +<⎧=⎨+≥⎩，则(0)f 的值为 ( )

(A) a b + (B) b a - (C) 1 (D) 2 6. 函数 3

x 2

x y --=

的定义域是 ( ) (A) (2,)+∞ (B) [2,]+∞ (C) (,3)(3,)-∞+∞ (D) [2,3)(3,)+∞

7. 已知 11

()1f x x

=- ，则 (2)f = __________

8.

y =

+，其定义域为 __________ 9. 2

2x

11x 1arcsin y -+

-= 的定义域是 ______

10. 考虑奇偶性，函数

ln(y x = 为 ___________ 函数

11.计算极限：（1） sin lim x x

x →∞= _______；（2）711lim

1x x x →-=- ______ （3）x

x x

x sin lim +∞→ = _______；（4）1253lim 22-+∞→n n n n = _______

12.计算：（1）当 0x → 时，1cos x - 是比 x ______ 阶的无穷小量；

（2）当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = ______；

13.

已知函数2,()1,f x x ⎧-⎪

=-⎨11001x x x ≤--<<≤<，则1

lim ()x f x →- 和 0lim ()x f x →( )

(A) 都存在 (B) 都不存在

(C) 第一个存在，第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在

14. 设 232,0

()2,0

x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩ ，则 0

lim ()x f x +

→= ( ) (A) 2 (B) 0 (C) 1- (D) 2-

15. 当 n →∞ 时，1

sin n n

是 ( )

（A)无穷小量 (B) 无穷大量 (C) 无界变量 (D) 有界变量

计算与应用题

设 )(x f 在点 2x =处连续，且232

,2(),x x x f x a ⎧-+⎪-⎪⎪

=⎨⎪⎪⎪⎩22=≠x x ，求 a

求极限：2

0cos 1lim 2x x x →- 求极限： 1

21lim()21x x x x +→∞+- 求极限： 512lim

43-+-∞→x x x x

求极限：x x x 1

0)41(lim -→ 求极限：2x x )x 211(lim -∞→- 求极限：20cos 1lim x

x

x -→

求极限： 2111lim()22

2n n →∞++

+

求极限：22lim(1)n n n →∞- 求极限：lim()1

x

x x x →∞+

求极限 211

lim ln x x x →- 求极限：201lim x x e x x →-- 求极限：2100

2lim(1)x x

x +→∞+

求极限： lim x →- 求极限：21lim()1x x x x →∞-+ 求极限： 3131

lim()11x x x →---