矩阵酉不变范数Holder不等式及其应用
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范数 Ｈ６ １ ｄ ｅ ｒ不等式
Ｉ ｌ Ｉ Ａ Ｘ Ｂ Ｉ 【 Ｉ ｌ Ｉ Ｉ Ａ Ａ （ ｌ Ｉ ／ 。 【 ［ ｌ Ｘ Ｂ Ｂ Ｉ ｑ ／ Ｉ ｉ 。 ．
比较不 等式 （ １ ． １ ） 和（ １ ． ２ ） ， 自然 的 ，我 们希望 知道
（ １ ． ２ ）
Ｘ Ｂ ｆ
Ｅ— ｍａ ｉ ｌ ：ｌ ｉ ｍｉ ｎ — Ｚ Ｏ Ｕ＠ １ ６ ３． Ｃ Ｏｒ ｎ
ｌ ［ Ｉ Ｊ Ａ ｌ
…
ｌ 。 ， ｑ ，
（ １ ． １ ）
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ６ ． ０ ３ — ２ １ ； 修 订 日期 ： ２ ０ １ ６ — ０ ９ — １ ３
虽然这 个 不等 式 比 Ｂ ｏ ｕ ｒ ｉ ｎ的 问题 弱，但是 比文 献 ［ ４ － ６ 】 中的相关 结果 都更 一般 化． 设 以， Ｂ∈ ， Ｌ ｅ ｅ在文 献 ［ ８ ］ 中得 到 了一个 关 于 Ｓ ｃ ｈ ａ ｔ ｔ ｅ ｎ Ｐ一 范数 的三角 不等式
＋Ｂ ｌ ｌ ｐ ２ 一 ／ 。 ） Ｉ ｌ ｌ ＡＩ ＋ｌ Ｂ… ｐ ．
霞
数学物理学报
ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ａ ｃ ｔ ａ ｍ ｓ ． ｗ ｉ ｐ ｍ． ａ ｃ ． ｃ ｎ
矩阵 酉不 变 范数 ＨＳ ｌ ｄ ｅ ｒ不 等 式 及其 应 用
邹 黎敏 吴艳秋
（ 重庆 三峡 学院数 学与统计学院 重庆 ４ ０ ４ １ ０ ０ ）
＝
Ａ
摘要：讨论 了现有的两个矩阵酉不变范数 Ｈ Ｓ ｌ ｄ ｅ ｒ不等式之 间的关系．同时，利用矩 阵酉不变 范数 Ｈ Ｓ ｌ ｄ ｅ ｒ 不等式以及一些现有的矩 阵酉不变范数不等式，得到了几个新 的矩 阵酉不变范数 不等式．所得结果是 Ａｌ ａ ｋ ｈ ｒ ａ ｓ ｓ和 Ｌ ｅ ｅ等所得相关不等式的推广或改进． 关键词：酉不变范数； Ｈ６ １ ｄ ｅ ｒ 不等式；算子 凸函数；算 子凹函数 ．
∑
Ａ
Ｍ Ｒ（ ２ ０ １ ０ ）主题分类：１ ５ Ａ ６ ０ ； ４ ７ Ａ６ ３ 中图分类号 ： Ｏ１ ５ １ ． ２ １ 文献标识码：Ａ 文章编号：１ ０ ０ ３ — ３ ９ ９ ８ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ３ — ４ ５ ０ — ０ ７
１ 上
ｌ ｌ
ｎ
１ 前言
基金项 目：重庆市教委科学技术研究项 目 （ Ｋ Ｊ １ ５ ０ １ ０ ０ ４ ）
Ｓｕ ｐｐｏ ｒ ｔ ｅ ｄ ｂｙ ｔ ｈ ｅ Ｓｃ ｉ ｅ ｎ ｔ ｉ ｉｃ ｆ ａ ｎ ｄ Ｔｅ ｃ ｈｎ ｏｌ ｏ ｇ ｉ ｃ ａ ｌ Ｒｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ Ｐｒ ｏ ｇ ｒ ａｍ ｏ ｆ Ｃｈ ｏｎ ｇ ｑｉ ｎｇ Ｍ ｕｎｉ ｃ ｉ ｐａ ｌ Ｅｄ—
（ １ ． ５ ）
在这 篇短 文 中，我们首 先讨 论 了不等 式 （ １ ． １ ） 和 （ １ ． ２ ） 之 间的关 系 ，接着 ，利 用矩 阵酉不
变范数Ｈ Ｓ ｌ ｄ ｅ ｒ 不等式， 我们 得到了不等式 （ １ ． ４ ） 和（ １ ． ５ ） 的一个推广以及 Ｉ Ｉ Ａ Ｂ ＋Ｂ Ａ 卜 ｌ ｌ
范数 ， Ｉ Ｉ ＡＩ Ｉ ｏ 。
导 的
ｌ ｌ
ｓ （ ４） ＝ Ｉ １ （ １ ） 为 矩 阵 的谱 范数 ，即是 由向量 的欧 氏范 数诱
上 的算 子范数 ．
Ｐ ｑ
设Ａ ， Ｘ， Ｂ∈ ， ＋ ：１ ， ｐ ， ｑ ＞１ ， ｒ ０ ， Ｈ 。 ｒ ｎ和 ｚ ｈ ａ ｎ在文献 … 中证 明了
（ Ｐ ） 一 ｃ ｔ ， ｌ ＜ ｐ ＜ ａ ｅ
以及 Ｋ ｙ Ｆ ａ ｎ 一 范数
显 然 ， Ｈ Ａ Ｈ ＝ Ｉ Ｌ Ａ Ｌ Ｌ （ ） 为 矩 阵 的 迹 范 数 ， Ｌ Ｉ Ａ Ｌ Ｉ 。 ＝ （ ２ （ ） ） 为 矩 阵 的 ｎ 。 ｂ ｅ ｎ ｉ ｕ ｓ
（ １ ． ３ ）
是否成 立 ？利用矩 阵酉 不变范数 三 角不等 式和 Ｙ ｏ ｕ ｎ ｇ不等式 可知 ， 对 于迹 范数， 不等 式 （ １ ． ３ ）
是成立的． 最近， 不等式 （ １ ． ３ ） 的一些特殊情形被证 明是成立的， 可参见文献 ［ ４ － ６ ］ ． Ａ ｌ ａ ｋ ｈ ｒ ａ ｓ ｓ 在文 献 『 ７ １ 中证 明 了 ｌ Ｉ Ａ Ｂ ～ ＋Ｂ Ａ 一 【 Ｉ ＜２ １ ／ ２ － ｔ ｆ 【 Ｉ Ａ＋Ｂ【 １ ． （ １ ． ４ ）
ｌ Ｉ ｌ Ｉ Ａ ｌ
和
ｌ … １ Ｂ ｌ ｌ
ｌ Ｉ Ｉ Ａ Ａ
之 间的大 小关 系 ，这是 本文 的动 机之 一 ．
Ｂ ｏ ｕ ｒ ｉ ｎ 在文献 ［ ３ ３中提出了如下问题： １ 设Ａ ， Ｂ∈
为半正定矩阵，ｔ ∈［ ０ ， １ 】 ， 则不等 ｌ
文 中， 表 示 ｎ×ｎ复矩 阵 的全 体 ， Ｉ ＡＩ ＝（ ） ／ 表 示矩 阵 Ａ 的绝对 值算 子 ．我 们 分 别用 ｌ （ ） … ｌ ｆ （ ） ｆ 和ｓ １ （ Ａ） … ｓ （ Ａ ） 来 表示 矩 阵 的按 照 降序排列 的特 征值 和奇异 值 ．用 表示 任意 的酉 不变 范数 ，两 类常 见 的酉不变 范数 是 Ｓ ｃ ｈ ａ ｔ ｔ ｅ ｎ Ｐ一 范数
ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｃ ｏ ｍｍｉ ｓ ｓ ｉ ｏ ｎ （ ＫＪ １ ５ ０ １ ０ ０ ４ ） ．
Ｎｏ ． ３
邹黎 敏 等：矩 阵酉 不变范 数 Ｈ５ １ ｄ ｅ ｒ 不等 式及 其应 用
４ ５ １
这是一个矩阵酉不变范数 Ｈ ６ １ ｄ ｅ ｒ 不等式． Ａ ｌ ｂ ａ ｄ ａ ｗ ｉ 在文献 ［ ２ ］ 中也得到了一个矩阵酉不变
Ｉ ｌ Ｉ Ａ Ｘ Ｂ Ｉ 【 Ｉ ｌ Ｉ Ｉ Ａ Ａ （ ｌ Ｉ ／ 。 【 ［ ｌ Ｘ Ｂ Ｂ Ｉ ｑ ／ Ｉ ｉ 。 ．
比较不 等式 （ １ ． １ ） 和（ １ ． ２ ） ， 自然 的 ，我 们希望 知道
（ １ ． ２ ）
Ｘ Ｂ ｆ
Ｅ— ｍａ ｉ ｌ ：ｌ ｉ ｍｉ ｎ — Ｚ Ｏ Ｕ＠ １ ６ ３． Ｃ Ｏｒ ｎ
ｌ ［ Ｉ Ｊ Ａ ｌ
…
ｌ 。 ， ｑ ，
（ １ ． １ ）
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ６ ． ０ ３ — ２ １ ； 修 订 日期 ： ２ ０ １ ６ — ０ ９ — １ ３
虽然这 个 不等 式 比 Ｂ ｏ ｕ ｒ ｉ ｎ的 问题 弱，但是 比文 献 ［ ４ － ６ 】 中的相关 结果 都更 一般 化． 设 以， Ｂ∈ ， Ｌ ｅ ｅ在文 献 ［ ８ ］ 中得 到 了一个 关 于 Ｓ ｃ ｈ ａ ｔ ｔ ｅ ｎ Ｐ一 范数 的三角 不等式
＋Ｂ ｌ ｌ ｐ ２ 一 ／ 。 ） Ｉ ｌ ｌ ＡＩ ＋ｌ Ｂ… ｐ ．
霞
数学物理学报
ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ａ ｃ ｔ ａ ｍ ｓ ． ｗ ｉ ｐ ｍ． ａ ｃ ． ｃ ｎ
矩阵 酉不 变 范数 ＨＳ ｌ ｄ ｅ ｒ不 等 式 及其 应 用
邹 黎敏 吴艳秋
（ 重庆 三峡 学院数 学与统计学院 重庆 ４ ０ ４ １ ０ ０ ）
＝
Ａ
摘要：讨论 了现有的两个矩阵酉不变范数 Ｈ Ｓ ｌ ｄ ｅ ｒ不等式之 间的关系．同时，利用矩 阵酉不变 范数 Ｈ Ｓ ｌ ｄ ｅ ｒ 不等式以及一些现有的矩 阵酉不变范数不等式，得到了几个新 的矩 阵酉不变范数 不等式．所得结果是 Ａｌ ａ ｋ ｈ ｒ ａ ｓ ｓ和 Ｌ ｅ ｅ等所得相关不等式的推广或改进． 关键词：酉不变范数； Ｈ６ １ ｄ ｅ ｒ 不等式；算子 凸函数；算 子凹函数 ．
∑
Ａ
Ｍ Ｒ（ ２ ０ １ ０ ）主题分类：１ ５ Ａ ６ ０ ； ４ ７ Ａ６ ３ 中图分类号 ： Ｏ１ ５ １ ． ２ １ 文献标识码：Ａ 文章编号：１ ０ ０ ３ — ３ ９ ９ ８ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ３ — ４ ５ ０ — ０ ７
１ 上
ｌ ｌ
ｎ
１ 前言
基金项 目：重庆市教委科学技术研究项 目 （ Ｋ Ｊ １ ５ ０ １ ０ ０ ４ ）
Ｓｕ ｐｐｏ ｒ ｔ ｅ ｄ ｂｙ ｔ ｈ ｅ Ｓｃ ｉ ｅ ｎ ｔ ｉ ｉｃ ｆ ａ ｎ ｄ Ｔｅ ｃ ｈｎ ｏｌ ｏ ｇ ｉ ｃ ａ ｌ Ｒｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ Ｐｒ ｏ ｇ ｒ ａｍ ｏ ｆ Ｃｈ ｏｎ ｇ ｑｉ ｎｇ Ｍ ｕｎｉ ｃ ｉ ｐａ ｌ Ｅｄ—
（ １ ． ５ ）
在这 篇短 文 中，我们首 先讨 论 了不等 式 （ １ ． １ ） 和 （ １ ． ２ ） 之 间的关 系 ，接着 ，利 用矩 阵酉不
变范数Ｈ Ｓ ｌ ｄ ｅ ｒ 不等式， 我们 得到了不等式 （ １ ． ４ ） 和（ １ ． ５ ） 的一个推广以及 Ｉ Ｉ Ａ Ｂ ＋Ｂ Ａ 卜 ｌ ｌ
范数 ， Ｉ Ｉ ＡＩ Ｉ ｏ 。
导 的
ｌ ｌ
ｓ （ ４） ＝ Ｉ １ （ １ ） 为 矩 阵 的谱 范数 ，即是 由向量 的欧 氏范 数诱
上 的算 子范数 ．
Ｐ ｑ
设Ａ ， Ｘ， Ｂ∈ ， ＋ ：１ ， ｐ ， ｑ ＞１ ， ｒ ０ ， Ｈ 。 ｒ ｎ和 ｚ ｈ ａ ｎ在文献 … 中证 明了
（ Ｐ ） 一 ｃ ｔ ， ｌ ＜ ｐ ＜ ａ ｅ
以及 Ｋ ｙ Ｆ ａ ｎ 一 范数
显 然 ， Ｈ Ａ Ｈ ＝ Ｉ Ｌ Ａ Ｌ Ｌ （ ） 为 矩 阵 的 迹 范 数 ， Ｌ Ｉ Ａ Ｌ Ｉ 。 ＝ （ ２ （ ） ） 为 矩 阵 的 ｎ 。 ｂ ｅ ｎ ｉ ｕ ｓ
（ １ ． ３ ）
是否成 立 ？利用矩 阵酉 不变范数 三 角不等 式和 Ｙ ｏ ｕ ｎ ｇ不等式 可知 ， 对 于迹 范数， 不等 式 （ １ ． ３ ）
是成立的． 最近， 不等式 （ １ ． ３ ） 的一些特殊情形被证 明是成立的， 可参见文献 ［ ４ － ６ ］ ． Ａ ｌ ａ ｋ ｈ ｒ ａ ｓ ｓ 在文 献 『 ７ １ 中证 明 了 ｌ Ｉ Ａ Ｂ ～ ＋Ｂ Ａ 一 【 Ｉ ＜２ １ ／ ２ － ｔ ｆ 【 Ｉ Ａ＋Ｂ【 １ ． （ １ ． ４ ）
ｌ Ｉ ｌ Ｉ Ａ ｌ
和
ｌ … １ Ｂ ｌ ｌ
ｌ Ｉ Ｉ Ａ Ａ
之 间的大 小关 系 ，这是 本文 的动 机之 一 ．
Ｂ ｏ ｕ ｒ ｉ ｎ 在文献 ［ ３ ３中提出了如下问题： １ 设Ａ ， Ｂ∈
为半正定矩阵，ｔ ∈［ ０ ， １ 】 ， 则不等 ｌ
文 中， 表 示 ｎ×ｎ复矩 阵 的全 体 ， Ｉ ＡＩ ＝（ ） ／ 表 示矩 阵 Ａ 的绝对 值算 子 ．我 们 分 别用 ｌ （ ） … ｌ ｆ （ ） ｆ 和ｓ １ （ Ａ） … ｓ （ Ａ ） 来 表示 矩 阵 的按 照 降序排列 的特 征值 和奇异 值 ．用 表示 任意 的酉 不变 范数 ，两 类常 见 的酉不变 范数 是 Ｓ ｃ ｈ ａ ｔ ｔ ｅ ｎ Ｐ一 范数
ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｃ ｏ ｍｍｉ ｓ ｓ ｉ ｏ ｎ （ ＫＪ １ ５ ０ １ ０ ０ ４ ） ．
Ｎｏ ． ３
邹黎 敏 等：矩 阵酉 不变范 数 Ｈ５ １ ｄ ｅ ｒ 不等 式及 其应 用
４ ５ １
这是一个矩阵酉不变范数 Ｈ ６ １ ｄ ｅ ｒ 不等式． Ａ ｌ ｂ ａ ｄ ａ ｗ ｉ 在文献 ［ ２ ］ 中也得到了一个矩阵酉不变