4.四边形的不稳定性

1. (2011 四川省绵阳市) 王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少要再钉上几根木条？（ ）

A ．0根

B ．1根

C ．2根

D ．3根

答案：B

2. (2011 河南省)

如图，在ABC Rt △中，9030B BC C ∠==∠=°，°．点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是()0t t >秒．过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接DE 、EF ．

（1）求证：AE DF =；

（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由．

（3）当t 为何值时，DEF △为直角三角形？请说明理由．

答案：1）在DFC △中，90302DFC C DC t ∠=∠==°，°，，

DF t ∴=．

又AE t AE DF =∴=，

． （2）能．理由如下：

AB BC DF BC ⊥⊥，，

AE DF ∴∥．

又AE DF =，∴四边形AEFD 为平行四边形．

∵tan 3053

AB BC

===·°， ∴210AC AB ==． ∴102AD AC DC t =-=-．

若使平行四边形AEFD 为菱形，则需AE AD =．即101023

t t t =-=，． 即当103

t =

时，四边形AEFD 为菱形． （3）①90EDF ∠=°时，四边形EBFD 为矩形．

在Rt AED △中，30ADE C ∠=∠=°，

∴2AD AE =．即510222

t t t -==，． ②90DEF ∠=°时，由（2）知EF AD ∥，

∴90ADE DEF ∠=∠=°．

∵90A ∠=°-60C ∠=°，

∴cos 60AD AE

=︒·． 即110242

t t t -==，． ③90EFD ∠=°时，此种情况不存在．

综上所述，当52

t =或4时，DEF △为直角三角形．

3. (2011 黑龙江省哈尔滨市) 如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCD 为

菱形，AB 边在x 轴上，点D 在y 轴上，点A 的坐标是（60-，

）,10AB =． （1）求点C 的坐标；

（2）连接BD ，点P 是线段CD 上一动点（点P 不与C 、D 两点重合），过点P 作PE BC ∥交BD 于点E ，过点B 作BQ PE ⊥交PE 的延长线于点Q ．设PC 的长为x ，PQ 的长为y ，求y 与x 之间的函数关系式（直接写出自变量x 的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，连接AQ 、AE ，当x 为何值时，45

BQE AQE DEP S S S +=△△△？并判断此时以点P 为圆心，以5的半径的P ⊙与直线BC 的位置关系，请说明理由．

答案：解：（1）如图1，过点C 作CN x ⊥轴，垂足为N ，则四边形DONC 为矩形， ON CD ∴=．

四边形ABCD 是菱形，10AB =，

10.10.

AB BC CD AD ON ∴====∴= (6A -，0），

68OA OD ∴===，．

(108)C ∴，．

（2）如图1，过点P 作PH BC ⊥，垂足为H ，则90PHC AOD ∠=∠=．

四边形ABCD 是菱形，PCB DAO ∴∠=∠．

∴PHC DOA △∽△，

CH PH PC AO DO DA

∴==． 6810

CH PH x ∴==． 4355

PH x CH x ∴==，． 3105

BH x ∴=-． PE BC BQ PQ ⊥∥，，

90PQB QBC PHB ∴∠=∠=∠=．

∴四边形PQBH 为矩形，

3105

PQ BH x ∴==-． 310(010)5

y x x ∴=-<<．

（3）如图2，过点P 作PH BC '⊥，垂足为H '，则四边形PQBH '是矩形，

45

BQ PH x '∴==． PE BC PED CBD ∴∠=∠∥，．

CD CB CBD CDB =∴∠=∠，．

CDB PED ∴∠=∠．

2105PE PD x QE PQ PE x ∴==-=-=

，． 过点D 作DG PQ ⊥于点G ，过点A 作AF PQ ⊥交PQ 的延长线于点F ，

90DGF AFG ∴∠=∠=．

PQ BC PQ AD ∴∥，∥．

90ADG ∴∠=．

∴四边形AFGD 为矩形，

AF DG PQ BC ∴=∴，∥．

DPG C ∴∠=∠．

90DGP PH C '∠=∠=，

DGP PH C '∴△∽△．

DP DG PC PH ∴='．44(10)855

AF DG x x ∴==-=-． 111241248(8)222552555

BQE AQE S S EQ BQ EQ AF x x x x x +=+=⨯+⨯-=△△····． 21142(10)(8)8402255DEP S PE DG x x x x ==--=-+△··，45

BQE AQE DEP S S S +=△△△． 2842(840)555

x x x ∴=-+． 整理，得2

251000x x -+=． 12520x x ∴==，．

201020x x <<∴=，不符合题意舍去，5x ∴=．

5x ∴=时，45

BQE AQE DEP S S S +=△△△． 4455

PH x '==<，P ∴⊙与直线BC 相交．