2017年考研数学三真题与解析

P( A B)P(C) (P( A) P(B) P( AB))P(C) P( A)P(C) P(B)P(C) P( AB)P(C)
显然， A B 与 C 相互独立的充分必要条件是 P( ABC) P( AB)P(C) ，所以选择（C ）．
1n
8．设 X1, X 2,, X n (n 2) 为来自正态总体 N (,1) 的简单随机样本，若 X Xi ，则下列结论中不
0
0
1
特征向量，也就是可以对角化，也就是 A ~ C ．
0 1 0
对于矩阵
B
，
2E
B
0
0
0
，秩等于
2
，也就是矩阵 A 属于特征值
2 只有一个线性无关的
0
0
1
特征向量，也就是不可以对角化，当然 B, C 不相似故选择（B）．
7．设 A, B ， C 是三个随机事件，且 A,C 相互独立， B,C 相互独立，则 A B 与 C 相互独立的充分必要
2017 年考研数学三真题
一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
1 cos x
,x 0
1．若函数 f (x) ax
在 x 0 处连续，则
b,
x0
1
1
（A） ab （B） ab （C） ab 0 （D） ab 2
2
2
1
x
1 cos 【详解】 lim f (x) lim
（D） (1,1)
【详解】 z y(3 x y) xy 3y 2xy y2 ， z 3x x2 2xy ，
x
y
2z
2z
2z 2z
2 y, 2x, 3 2x
x2
y 2
xy yx
解方程组
z
x
z
3y 3x
2xy y2 x2 2xy
0
，得四个驻点．对每个驻点验证
【详解】设 g(x) ( f (x))2 ，则 g(x) 2 f (x) f (x) 0 ，也就是 f (x)2 是单调增加函数．也就得到
2
2
f (1) f (1) f (1) f (1) ，所以应该选（C）
1
1
4．
若级数 n2 sin
k ln(1 n
n) 收敛，则 k
（
）
（A）1
条件是（ ）
（A） A, B 相互独立
（B） A, B 互不相容
（C） AB,C 相互独立
【详解】
（D） AB,C 互不相容
2 长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
P(( A B)C) P( AC AB) P(AC) P(BC) P( ABC) P( A)P(C) P(B)P(C) P( ABC)
n
（4）对于选项（B）： ( X n
X1) ~
N (0, 2)
Xn
X1 2
~
N (0,1)
1 2 (Xn
X1)2
~
2 (1) ，所以（B）结
论是错误的，应该选择（B）
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
9． (sin3 x 2 x2 )dx
0
AC
B2 ，发现只有在点 (1,1)
处满足
y
AC B2 3 0 ，且 A C 2 0 ，所以 (1,1) 为函数的极大值点，所以应该选（D）
3．设函数 f (x) 是可导函数，且满足 f (x) f (x) 0 ，则
（A） f (1) f (1) （B） f (1) f (1) （C） f (1) f (1) （D） f (1) f (1)
（B） 2
（C） 1
（D） 2
1 长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
1
1
1
1
1
1
2
1
1 k 1 1
【详解】iv n
时 sin
n
k
ln(1
பைடு நூலகம்
) n
n
k
n
2
n
o
n2
(1
k)
n
2
n2
o
n2
1 显然当且仅当 (1 k) 0 ，也就是 k 1 时，级数的一般项是关于 的二阶无穷小，级数收敛，从而选择
别为 0,1,1,1； 2,1,1,,1 ； 1,1,1,,1； 3,1,1,,1．显然只有 E T 存在零特征值，所以不可逆，
应该选（A）．
2 0 0
2 1 0
1 0 0
6．已知矩阵
A
0
2
1
，
B
0
2
0
，
C
0
2
0
，则
0
0
1
0
0
1
0
0
2
（A） A,C 相似， B,C 相似 （B） A,C 相似， B,C 不相似
（C） A,C 不相似， B,C 相似 （D） A,C 不相似， B,C 不相似
【详解】矩阵 A, B 的特征值都是 1 2 2, 3 1．是否可对解化，只需要关心 2 的情况．
0 0 0
对于矩阵
A
，
2E
A
0
0
1 ，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值 2 存在两个线性无关的
．
解：由对称性知 (sin3 x
2 x2 )dx 2
2 x2 dx 3 ．
i 1
2 (n) 分布，也就是（A）结论是正确的；
（2）
n i 1
(Xi
X )2
(n 1)S 2
(n 1)S 2 2
~
2 (n 1) ，所以（C）结论也是正确的；
1 （3）注意 X ~ N (, )
n ( X ) ~ N (0,1) n( X )2 ~ 2 (1) ，所以（D）结论也是正确的；
n
（C）．
5．设 为 n 单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则
（A） E T 不可逆
（B） E T 不可逆
（C） E 2 T 不可逆
（D） E 2 T 不可逆
【详解】矩阵 T 的特征值为1和 n 1个 0 ，从而 E T , E T , E 2 T , E 2 T 的特征值分
n i1
正确的是（ ）
n
（A） ( Xi )2 服从 2 分布
i 1
（B） 2 X n X1 2 服从 2 分布
n
（C） ( Xi X )2 服从 2 分布
i 1
（D） n( X )2 服从 2 分布
n
解：（1）显然 ( Xi ) ~ N (0,1) ( Xi )2 ~ 2 (1), i 1, 2,n 且相互独立，所以 ( Xi )2 服从
x lim 2
1 ， lim f (x) b f (0) ，要使函数在 x 0 处连续，
x0
x0
ax
x0 ax 2a x0
1
1
必须满足 b ab ．所以应该选（A）
2a
2
2．二元函数 z xy(3 x y) 的极值点是（ ）
（A） (0, 0)
（B） (0,3)
（C） (3, 0)