线段比与比例线段概念
线段的比、黄金分割(培优训练)
线段的比、黄金分割知识要点◆要点1 线段的比(1) 线段的比：在同一单位下，两条线的长度的比叫做这两条线段的比。
(2) 成比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即d c b a =，那么这四条线段成比例线段，当b ＝c 时，有db b a =，称b 为a 与d 的比例中项。
(3) 比例尺：比例尺＝图上距离：实际距离★说明：判断四条线段是否成比例，首先要把四条线段的单位化成同一单位，再计算它们的比值来判断，要注意它们的顺序。
◆要点2 比例的性质a . 比例的基本性质：()()0,02≠=⇔=≠=⇔=d c b a ac b cb b a dc b a bc ad d c b a 、、、、、、 b . 合比性质：（两边都加1或减1）dd c b b a d c b a ±=±⇒= c . 等比性质：如果()0≠+++===m d b n m d c b a ，那么b a n d b m c a =++++++ 。
◆要点3 黄金分割概念：若点C 把线段AB 分成两条线段AC 、BC (AC ＞BC)，若ACBC AB AC =，我们称线段AB 被点C 黄金分割，C 点为该条线段的黄金分割点，较短线段与较长线段（或较长线段与原线段）的比叫做黄金比⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈-618.0215。
★说明：(1)一条线段有两个黄金分割点。
黄金分割比是两个线段的比，没有单位；(2) 一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段有其固定关系：若AB ＝1，.253,215-=-=BC AC 则(3)作一条线段的黄金分割点一般有两种方法，如右图XS —01、XS —02：易错易混点 (1)求线段的比时，忽视了单位的统一；(2) 不按顺序写成比例线段；运用等比性质时，忽略了成立的条件；(3) 没有理解黄金分割的定义；XS —02 XS —01例☆ 已知：k zy x y z x x z y =+=+=+，求k 的值。
成比例线段与比例的基本性质
000,2
000,∴ac
3
=6
1
=2
,
d = 1 000 = 1 ,∴a =d ,
b 2 000 2 c b
∴这四条线段成比例.
方法归纳 解此类问题的基本步骤:①统一单位;②进行排序;③进行计
算;④做出判断.
1 成比例线段
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知识点二 比例的性质
名称 比例的 基本性质 等式的 基本性质 合比性质 等比性质
(b,d不为0)
如果 a
b
=
c d
=
e f
=…=mn
(b+d+f+…+n≠0),那么ab
ce df
m n
=
a b
1 成比例线段
例2 (1)根据下列各题的条件求a∶b的值.
①2a=3b;② a b = 1 ;③ a 2b = 5 .
a 2 3b 3
(2)已知 a = b = c ,且a,b,c都是正数,求 a 3b 2c 的值.
1 成比例线段
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解析
(1)∵四条线段的数值按从小到大的顺序排列为3,4,5,7,da
3
=4
,b
c
=
5 ,且3 ≠5 ,∴ a ≠b .
7 47 d c
∴这四条线段不成比例.
(2)a=3 cm,b=20 m=2 000 cm,c=6 cm,d=10 m=1 000 cm.
∵四条线段的数值按从小到大的顺序排列为3,6,1
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初中数学（北师大版）
九年级 上册
第四章 图形的相似
第四章 图形的相似
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1 成比例线段
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知识点一 线段的比及成比例线段
线段的比与比例线段的概念
线段的比与比例线段的概念、比例的性质和黄金分割I 梳理知识比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分 线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割1. 线段的比的定义 在同一单位长度下，两条线段2. 比例线段的定义在四条线段中，如果其中两条线段的_______________________________________ 等于另外两条线段的 _____ ,那么这四条线段叫做 成比例线段，简称 ____________ .在 a ： b = c ： d 中，a 、d 叫做比例的 ___ , b 、c 叫做比例 的 _____ ，称d 为a 、b 、c 的 _____________ .3. 比例的性质(1)比例的基本性质：如果a : b = c : d ，那么 则b 叫a , c 的比例中项.⑵合份)比性质：若a⑶等比性质：若一b4.黄金分割(1) 黄金分割的意义：如图，点 那么称线段 AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的 做 .(2) 黄金分割的作法【例题讲解】 例1.(1)已知1,厉,5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是 ___________ .⑵在比例尺为1: n 的某市地图上，规划出一块长 5cm X 2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是平方米.例 2.(1)已知 X ： y : z = 3 : 4 : 5，①求-—y的值；②若 x +y + z = 6, za(2)已知a 、b 、c 、d 是非零实数，且 --------b c d的值•的比叫做这两条线段的比•特别地，若a : b = b : C,即 ，则C 把线段AB 分成两条线段 AC 和BC,如果 __________________ , ,AC 与AB 的比叫求 X 、y 、z.C bad一d一k ，求 ka b c求x 的值.黄金分割点吗为什么【同步测试】 一、选择题1. 已知一矩形的长 a = 1.35m , (A)9 : 400(B)9 : 402. 下列线段能成比例线段的是( b = 60cm ，贝U a : b 的值为((C)9 : 4(D)90 : 4)(A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm, 72 cm,V 2 cm,2cm (C b/2 cm,亦cm, J 3 cm,1cm(D)2cm,5cm,3cm,4cm3. 如果线段a = 4, (A)84. 已知- b 3 (A)- 25. 已知 (A)— 2(B)16 2 2,则3 4 (B)4 y : z = 1 (B)2b = 16,c = 8, (C)24 「 的值为b5 (C)5 :2 : 3，且 (C)3 那么a 、b 、c 的第四比例项d 为( (D)32 3 (D)- 5 2x + y — 3z =— 15，贝U x 的值为( (D)— 3 6. 在比例尺为1 : 38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为 7cm ，它的实际长度约为()(A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km 7. 某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是 影长是1米，旗杆的影长是 8米，则旗杆的高度是( ) (A)12 米 8. 已知点 1.5 米, (B)11 米 (C)10 米 C 是AB 的黄金分割点(AC >BC , (B)(6 — 2也)cm (D)9 米 若AB = 4cm ，贝U AC 的长为( (C)詰—1)cm AD AE (A)(2A /5 — 2)cm )(D)(3 —75 )cm 9.若D 、E 分别是△ ABC 的边AB 、AC 上的点，且AB =疋，那么下列各式中正确的是 ((3)若a 、b 、c 是非零实数，并满足ab c ，且 xa(a b)(b c)(c a)abc例3.(1 )已知线段AB = a ,在线段 AB 上有一点C,若则点 C 是线段AB 的(A)AD DEDB = BCAB(B)A DAE=A CDB AB(C)Ec = ACAD AE(D)DB = AC10.若k丄空 b 2c a + b+ CM0,k的值为（(A)—1 (B)2 (C)1 (D) —二、填空题11.在(5 +x)：2中的x= (5—x) : x 中的x=12.若10 813.若a : 3 = b : 4 = c : 5 ,且a + b —c= 6,贝U a=,b= c=14.已知x : y :z= 4 : 5 ,且x+ y+ z= 12,那么x= ,y=z=15.若b16.已知ace,②(x + y) : (y + z)17.若x 2y18.图纸上画出的某个零件的长是是32 mm,如果比例尺是 1 : 20,这个零件的实际长19.如图，已知AB : DB = AC：EC, AD = 15 cm , AB = 40 cm , AC = 28 cm ,贝U AEA20.已知，线段 2 cm, c (2 73) cm, 则线段a、c的比例中项b是三、解答题21.已知x3 0，求下列各式的值：（1）2x 3y 4z⑵5x 3y za22.已知——x0，求x+y+ z 的值.23.若△ ABC 的三内角之比为 1 : 2 : 3,求^ ABC 的三边之比.24.已知 a 、b 、c 为^ ABC 的三边，且 a + b + c = 60cm , a : b : c = 3 : 4 : 5,求^ ABC 的面 积.25.已知线段AB = 10cm , C 、D 是AB 上的两个黄金分割点，求线段CD 的长.四、挑战中考DE = 12 , BC = 15, GH = 4，求 AH .ABCD,取 AB 的中点 P ,连结 PD ,在BA 的延 长线上取点F ,使PF =PD,以AF 为边作正方形 AMEF ,点M 在AD 上(1)求AM 、MD 的长；1、若一c-a bA . 12B . 1C .— 1则k 的值为()D .-或一12AGABC 中,2、如图，△ 匹，且。
比例线段
������ = ������������
������
即 ������
������
= ������������
������
类型二
2. 若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则：①AB＝ 5－1 AC；
②AC＝ 3－
5 AB;
③AB∶AC＝AC∶CB;
2
④AC≈0.618AB.
2
其中正确的有( D )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3. 已知-1，9，x，其中一个数是其他两个数的比例中项，求 x 的值.
7. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，过点 C 作 CD∥AB， 且 BD⊥AB，连结 AD．
（1） 判断线段 AC，AB，BD，BC 是否成比例，并说明理由. （2） 若 AB=5，AC=3，求 BD 的长. （3） 若 AB=2AC，求△ACD 与△ABC 的面积比.
6.
已知
������−������������ = ������
������
������
，求
������ ������
的值．
解：������ − ������ = ������
������
������
������ ������
=
������������ ������
解：������������ − ������������������ = ������������
度单位(即统一长度单位)．
2．四条线段成比例与它们的排列顺序有关．线段 a，b，c，d
成比例表示成a＝c，而线段 bd
b，a，c，d
成比例则表示成ba＝cd.
初中数学知识点精讲精析 线段的比
4·1线段的比1. 线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这注意点：（1）两线段的比值总是正数.（2）讨论线段的比时，不指明长度单位.（3）对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示.3. 比例线段四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段.（a 、d 叫做比例线段的外项，b 、c 叫做比例线段的内项） 4. 比例的基本性质. （比例线段中两个外项的积等于两个内项的积）反之也成立。
即如果ad ＝bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么5. 合比性质.6. 等比性质7.线段的比和比例线段的区别和联系两条线段的比：＝：或写成，其中，线段、分别叫做AB CD m n AB CD mn AB CD =这个线段比的前项和后项，如果把表示成比值，那么或。
m n k ABCDk AB k CD ==⋅2. 比例尺＝图上距离实际距离四条线段、、、中，如果与的比等于与的比，即，那么，这a b c d a b c d a b cd=如果，那么。
a b cdad bc ==a b cd =如果，那么。
a b c d a b b c dd =±=±如果，那么。
a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++≠++++++= ()0鹏翔教图1BCA 线段的比是指两条线段之间的比的关系，比例线段是指四条线段间的关系. 若两条线段的比等于另两条线段的比，则这四条线段叫做成比例线段. 线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性.如dcb a =是线段a 、b 、c 、d 成比例，而不是线段a 、c 、b 、d 成比例.8. 注意点:①a:b=k,说明a 是b 的k 倍;②由于线段 a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致; ④除了a=b 之外,a:b ≠b:a, b a 与ab互为倒数; ⑤比例的基本性质:若d c b a =, 则ad=bc; 若ad=bc, 则dc b a =1. 已知A 、B 两地的实际距离是80千米，在某地图上测得这两地之间的距离为1cm ，则该地图的比例尺为_____________，现量得该地图上太原到北京的距离为6.4cm ，则将两地实际距离用科学记数法表示为____________千米.（保留两个有效数字） 【解析】∴图上距离与实际距离之比为1：8000000∴太原到北京的实际距离＝6.4×8000000＝51200000（cm ）＝512千米 点评：注意单位要统一.2.在某市城区地图（比例尺1∶9000）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16 cm 、10 cm.（1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 【解析】（1）根据题意，得808000000千米＝cm太原到北京的图上距离太原到北京的实际距离＝1800000090001=新安大街的实际长谎新安大街的图上长度90001=光华大街的实际长度光华大街的图上长度因此，新安大街的实际长度是 16×9000=144000（cm ）, 144000 cm=1440 m; 光华大街的实际长度是 10×9000=90000（cm ） 90000 cm=900 m.（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是16∶10=8∶5 新安大街的实际长度与光华大街的实 际长度之比是144000∶90000=8∶5 由例2的结果可以发现：光华大街的图上长度新安大街的图上长度光华大街的实际长度新安大街的实际长度= 3.在比例尺为1∶8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm ×2 cm ，矩形运动场的实际尺寸是多少？ 【解析】根据题意，得矩形运动场的图上长度∶矩形运动场的实际长度=1∶8000 因此，矩形运动场的长是 2×8000=16000（cm ）=160（m ） 矩形运动场的宽是1×8000=8000（cm ）=80（m ）所以，矩形运动场的实际尺寸是长为160 m,宽为80 m4.为了参加北京市申办2008年奥运会的活动，如果有两边长分别为1，a （其中a ＞1）的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料没有剩余），使每条彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，画出两种不同裁剪方法的示意图，并写出相应的a 的值. 【解析】方案（1）：∵长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，（*）∴1311a a = 解得：a =3图4－1方案（2）： 由（*）得axa 112111-==∴x =a1,a =2 方案（3）： 由（*）得211ya = ∴y =a21 且11z a = ∴z =a 1 由aa 211+=a 得a =621图4－2方案（4）： 由（*）得an ab a 11111-==m a a a 11-= ∴b =a1 n =1－21am =a 2－1∵m +n =1 ∴1－21a+a 2－1=1∴a =2522+（负值舍去）55.（1）如图，已知d c b a ==3,求b b a +和d dc +; （2）如果dc b a ==k （k 为常数），那么d dc b b a +=+成立吗？为什么？ 【解析】（1）由dcb a ==3,得 a =3b ,c =3d .因此，bbb b b a +=+3=4 ddd d d c +=+3=4 （2）d d c b b a +=+成立. 因为有dcb a ==k ,得a =bk ,c =dk .所以b bbk b b a +=+=k +1, dddk d d c +=+=k +1. 因此：ddc b b a +=+. 6. 在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，求AC 与BD 的比值.【解析】设AO ＝x7．下图（1）中的鱼是将坐标为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）的点O ，A ，B ，C ，D ，B ，E ，O 用线段依次连接而成的；（2）中的鱼是将（1）中鱼上每个点的横坐标，纵坐标都乘以2得到的.AB O DCAC BD ABO B AB AO x ⊥∠=∠===，，则123022又菱形中 ABCD AC x =2BO AB AO x x x=-=-=222223()∴==BD BO x 223∴===AC BD x x 2231333图4－4（1）线段CD 与HL ，OA 与OF ，BE 与GM 的长度分别是多少？（2）线段CD 与HL 的比，OA 与OF 的比，BE 与GM 的比分别是多少？它们相等吗？ （3）在图（2）中，你还能找到比相等的其他线段吗？ 【解析】（1）CD =2，HL =4，OA =415422=+, OF =41281022=+ BE =52122=+, GM =524222=+（2）2141412,2142====OF OA HL CD , 21525==GM BE . 所以，21===GM BE OF OA HL CD . （3）其他比相等的线段还有21====GL BD GH BC FG AB OM OE 8. 已知四条线段a ＝8cm ，b ＝4cm ，c ＝2.5cm ，d ＝5cm ，试判断它们是否成比例（若a ＝8cm ，b ＝0.05m ，c ＝0.6dm ，d ＝10cm 呢）？ 【解析】分析先按从小到大或从大到小的顺序排列，然后比较最大和最小两线段长度的乘积与中间两条线段长度的乘积是否相等.（1）从小到大排列为c 、b 、d 、a ac ＝8×2.5＝20，bd ＝4×5＝20 ac ＝bd ∴成比例（2）先化成同一单位，并从小到大排列为b 、c 、a 、d b ＝5cm ，c ＝6cm ，a ＝8cm ，d ＝10cm bd ＝5×10＝50，ac ＝6×8＝48 bd ≠ac ∴不成比例9.（1）如果dc b a =,那么d dc b b a -=-成立吗？为什么？ （2）如果f e d c b a ==,那么baf d b e c a =++++成立吗？为什么？ （3）如果dc b a =,那么d dc b b a ±=±成立吗？为什么. （4）如果d c b a ==…=nm （b +d +…+n ≠0）,那么b an d b m c a =++++++ 成立吗？为什么.【解析】（1）如果dc b a =,那么d dc b b a -=-. ∵d cb a = ∴d cb a =-1－1 ∴dd c b b a -=-. （2）如果f e d c b a ==,那么baf d b e c a =++++ 设fe d c b a ===k ∴a =bk ,c =dk ,e =fk ∴bak f d b f d b k f d b fk dk bk f d b e c a ==++++=++++=++++)(（3）如果dc b a =,那么d dc b b a ±=±∵d c b a = ∴d c b a =+1+1 ∴dd c b b a +=+ 由（1）得ddc b b a -=- ∴dd c b b a ±=±. （4）如果d c b a ==…=n m（b +d +…+n ≠0）那么b a n d b m c a =++++++设d c b a ==…=nm =k ∴a =bk ,c =dk ,…,m =nk ∴bak n d b m d b k n d b nk dk bk n d b m c a ==++++++=++++++=++++++ )(10.已知：d c b a ==fe=2（b +d +f ≠0） 求：（1）f d b e c a ++++;（2）f d b ec a +-+-;（3）f d b e c a 3232+-+-;（4）fb e a 55--.【解析】∵d c b a ==f3=2 ∴a =2b ,c =2d ,e =2f∴（1）f d b f d b f d b f d b f d b e c a ++++=++++=++++)(2222=2（2）fd b f d b f d b f d b f d be c a +-+-=+-+-=+-+-)(2222=2（3）f d b f d b f d b f d b f d b e c a 32)32(2326423232+-+-=+-+-=+-+-=2（4）f b f b f b e a 510255--=--=fb f b 5)5(2--=211.已知a ∶b ∶c =4∶3∶2,且a +3b －3c =14. （1）求a ,b ,c （2）求4a －3b +c 的值. 【解析】（1）设a =4k ,b =3k ,c =2k ∵a +3b －3c =14 ∴4k +9k －6k =14 ∴7k =14 ∴k =2 ∴a =8,b =6,c =4（2）4a －3b +c =32－18+4=1812的面积.精析：根据比例的性质及已知条件求出a 、b 、c 的值，然后由三角形的面积公式求解.【解析】解之得：k ＝5∴△ABC 是以a ＝15cm ，b ＝20cm 为两条直角边，以c ＝25cm 为斜边的直角三角形.点评：比例实际上是比例性质的应用问题。
比例线段和平行线分线段成比例定理
二、比例线段的例题和练习：
例2. 已知线段a=12cm，b=1dm，c=8cm，d=15cm. (1) 线段a、b、c、d是否是成比例的线段？ a、b、c、d不是成比例的线段. (2) 经过重新排列后，以上四条线段能否是成比例的线段？ 解：∵12×10=120, 15×8=120, ∴ ab=cd. ∴a、c、d、b或a、d、c、b是成比例的线段.
bd
bd
b
d
(3)黄金分割：A
CB
二、比例线段的例题和练习：
例1. 在1 : 500000的地图上，若A、B两市的距离是64cm， 则两个城市间的实际距离是多少千米？ 解：设A、B两市距离为xcm，则
64 = 1 . x 500000
∴x=64×500000=32000000(cm)=320(km). 答：两城市实际距离为320千米.
且 DE = CF = 2 . AB=20, CD=10. EA FB 3
求：EF.
D
C
E
F
N
A
M
B
五、练习题：
5. 已知，如图，在△OCE中，BD∥CE, AD∥BE.
O
求证：OB2=OA·OC.
A
B
D
C
E
在四条线段中如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比那么这四条线段叫作成比例线段
比例线段和 平行线分线段成比例定理
小店乡一初中
一、比例线段的主要知识点
1 两条线段的比：
(1) 定义： 同一单位度量的两条线段a、b，长度分别为m、n，
那么就写成 a : b = m : n 或 a = m .
bn
(2)前项、后项： a叫比的前项，b叫比的后项. 前后项交换，比值要交换. 如 a = 3，则 b = 2 .
比例性质及比例线段
比例性质及比例线段（初二4.16）一、知识点与方法概述：1、比例的性质：基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.合比性质：等比性质：如果，那么.2、（成）比例线段：比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.3、黄金分割：如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点.注意：1、AC 0.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点.4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理）5、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.已知：在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC求证：DE=EF推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC 求证：AE=EF6、三角形的中位线定理：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
比例线段
比例线段一.知识要点：（一）比例线段1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项。
2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．（二）比例的性质：(1)比例的基本性质：(2)反比性质：(3)更比性质: 或(4)合比性质:(5)等比性质: 且(三) 平行线分线段成比例定理1.定理: 三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例。
2.推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
3.平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例。
4.如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
这四个定理主要提出由平行线可得到比例式;反之,有比例可得到平行线。
首先要弄清三个基本图形。
这三个基本图形的用途是:1.由平行线产生比例式基本图形(1): 若l1//l2//l3，则或或或基本图形(2): 若DE//BC，则或或或基本图形(3): 若AC//BD，则或或或在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置。
2．由比例式产生平行线段基本图形(2):若, , , ,, 之一成立，则DE//BC。
基本图形(3):若, , , , , 之一成立，则AC//DB。
二. 本讲内容所需要的计算与证明方法计算方法1.利用引入参数求解相关命题的方法。
2. 会利用比例式建立方程求线段的长。
初三数学--线段的比和比例线段
初三数学 线段的比和比例线段一、线段的比：1.在同一单位长度下，两条线段的倍数关系叫做这两条线段的比。
即两条线段的长度的比。
如：线段a 与b 的比，记作b a （或a ：b ），若b a ＝31，则说明a 是b 的31，b 是a 的3倍。
2.n 1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位。
[练习]1.已知一矩形的长a=1.35m ，宽b=60cm ，则a ∶b 的值为2.图纸上画出的某个零件的长是32mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 .a ，b 的长度分别为8㎝，32㎝，则a ∶b = 。
4.如图，点C 是AB 的中点，点D 在BC 上，AB=24，BD=5， （1）AC ∶CB ＝ ；AC ∶AB ＝ ；（2）_____=BD BC ；_____=AB CD ；_____=CD AD。
5..如图延长线段AB 到C ，使BC=4，若AB=8，则线段AC•：BC=6.延长线段AB 到C ，使BC=2AB ，则AC ：AB 为（ ） A ．1：2 B ．2：1 C ．1：3 D ．3：17.等边三角形的一边与这边上的高的比是（ ） A.3∶2 B. 3∶1 C. 2∶3 D. 1∶3，等边三角形的一边与这一边的高的比是△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB ＝15 cm ，AC ＝10 cm ，且BD ∶DC ＝AB ∶AC ，BD －DC ＝2 cm ，则BC= ． 10.如图所示，已知直角三角形的两条直角边的长的比为a ∶b ＝1∶2，其斜边长为45cm ， 那么这个三角形的面积是（ ）cm 2．A. 32B. 16C. 8D. 411.已知A 、B 两地相距300km ，在地图上量得两地相距15cm ，则图上距离与实际距离之比为 ．∶30000的地图上，如果两点的图上距离为5厘米，那么两点的实际距离为 千米．在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3cm,而两地的实际距离为1500m ，那么这张地图的比例尺为________.13.已知在同一时刻物高与影长成比例．12时整，1.5m 的标杆在地上的影子长3m ，•现在量得一建筑物的影长20m ，则该建筑物有多高？ 二、比例线段AD CBb a的值叫做线段b a ,的比，若d c b a =，则称线段d c b a ,,,成比例线段。
比例线段和平行线分线段成比例定理
2. 相似三角形的性质：
✓ 对应角相等。 ✓ 对应边成比例。
随堂练习
1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。
（1）所有的等腰三角形都相似。× （2）所有的等腰直角三角形都相似。√ （3）所有的等边三角形都相似。√ （4）所有的直角三角形都相似。× （5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。√ （6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。× （7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。√ （8）相似的两个三角形一定大小不等。×
解：1Q b是a、c的比例中项，a : b c : d
b2 ac，b ac 4 9 6 (2)Q MN是线段 MN 0 Q 线段MN是AB,CD的比例中项， AB : MN MN : CD
MN 2 AB CD, MN AB CD 4 5 2 5cm
A
B
C
已知：Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.
AB BC k,
A1B1 B1C1
求证：△ABC∽△A1B1C1. A1
你能证明吗？
B1
C1
知识要点
H
√ 判定三角形相似的定理之四 L
如果一个直角三角形的斜边和一条直角 边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。
用平行线判定三角形相似 （判定三角形相似的预备定理）
如图，D、E、F分别是ABC的边AB、AC、BC上
的点，且DE∥BC，EF∥AB。
A
求证：ADE∽EFC.
D
E
B
F
C
相似三角形具有传递性， 另外还有反身性，对称性。
如图，已知平行四边形ABCD中，E为AB延长线上一点,
北师大版-数学-九年级上册-教案4.1 成比例线段
4．1 成比例线段第1课时 线段的比和比例的基本性质1．了解线段的比和比例线段的概念．2．掌握比例的基本性质，会求两条线段的比，并应用线段的比解决实际问题．(重点)阅读教材P76～79，完成下列内容：(一)知识探究1．线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比(ratio)就是它们________的比，即AB ∶CD ＝m ∶n ，或写成AB CD ＝m n.其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的________和________．如果把m n 表示成比值k ，那么AB CD＝k 或AB ＝k ·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比．2．四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即________，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称________．3．比例的基本性质如果a b ＝c d，那么ad ＝________. 如果ad ＝bc(a ，b ，c ，d 都不等于0)，那么a b＝________. (二)自学反馈1．下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段是( )A ．1，2，3，4B ．1，2，2，4C ．3，5，9，13D ．1，2，2，32．把mn ＝pq 写成比例式，错误的是( )A.m p ＝q nB.p m ＝n qC.q m ＝n pD.m n ＝p q活动1 小组讨论例 如图，一块矩形绸布的长AB ＝a m ，宽AD ＝1 m ，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即AE AD ＝AD AB，那么a 的值应当是多少？解：根据题意可知，AB ＝a m ，AE ＝13a m ，AD ＝1 m. 由AE AD ＝AD AB，得 13a 1＝1a， 即13a 2＝1. ∴a 2＝3.开平方，得a ＝3(a ＝－3舍去)．本例提供了应用比例基本性质的一个具体情境，应注意阅读和理解题意，然后由比例式得到等积式，再通过计算求得结果．易错提示：开平方后求得的结果，需要检验是否符合题意．活动2 跟踪训练1．等边三角形的一边与这边上的高的比是( )A.3∶2B.3∶1C ．2∶ 3D ．1∶ 32．若四条线段a 、b 、c 、d 成比例，且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则d ＝( )A ．2B ．4C ．4.5D ．83．在比例尺为1∶900 000的安徽黄山交通图中，黄山风景区与市政府所在地之间的距离是4 cm ，这两地的实际距离是( )A ．2 250厘米B ．3.6千米C ．2.25千米D ．36千米4．A 、B 两地之间的高速公路为120 km ，在A 、B 间有C 、D 两个收费站，已知AD ∶DB ＝11∶1，AC ∶CD ＝2∶9，则C 、D 间的距离是________km.5．如图，已知AD DB ＝AE EC，AD ＝6.4 cm ，DB ＝4.8 cm ，EC ＝4.2 cm ，求AC 的长． 活动3 课堂小结1．线段的比的概念、表示方法；前项、后项及比值k.2．两条线段的比是有序的；与采用的单位无关，但要选用同一长度单位．3．两条线段的比在实际生活中的应用．【预习导学】(一)知识探究1．长度 前项 后项 2.a b ＝c d 比例线段 3.bc c d(二)自学反馈1．B 2.D【合作探究】活动2 跟踪训练1．C 2.D 3.D 4.905．∵AD DB ＝AE EC ，∴6.44.8＝AE 4.2.解得AE ＝5.6.∴AC ＝AE ＋EC ＝5.6＋4.2＝9.8(cm)．第2课时 等比性质1．理解并掌握等比性质．(重点)2．运用等比性质解决有关问题．(难点)阅读教材P79～80，自学“例2”，完成下列内容：(一)知识探究等比性质：如果a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n＝________. 注意在运用等比性质时，前提条件是：分母b ＋d ＋…＋n ≠0.(二)自学反馈如果a b ＝c d ＝52(b ＋d ≠0)，那么a ＋c b ＋d＝________.活动1 小组讨论例 在△ABC 与△DEF 中，若AB DE ＝BC EF ＝CA FD ＝34，且△ABC 的周长为18 cm ，求△DEF 的周长． 解：∵AB DE ＝BC EF ＝CA FD ＝34， ∴AB ＋BC ＋CA DE ＋EF ＋FD ＝AB DE ＝34. ∴4(AB ＋BC ＋CA)＝3(DE ＋EF ＋FD)，即DE ＋EF ＋FD ＝43(AB ＋BC ＋CA)． 又∵△ABC 的周长为18 cm ，即AB ＋BC ＋CA ＝18 cm ，∴DE ＋EF ＋FD ＝43(AB ＋BC ＋CA)＝43×18＝24(cm)， 即△DEF 的周长为24 cm.在应用等比性质时，要抓住题目已知条件：三角形ABC 的周长，即三边之和为18 cm.活动2 跟踪训练1．已知a b ＝c d ＝e f＝4，且a ＋c ＋e ＝8，则b ＋d ＋f 等于( ) A ．4 B ．8C ．32D ．22．若a ＋b c ＝b ＋c a ＝c ＋a b＝k ，且a ＋b ＋c ≠0，则k 的值为( ) A ．2 B ．－1C ．2或－1D ．不存在3．已知a b ＝c d ＝e f ＝23，则a ＋e b ＋f＝________. 4．如果a b ＝c d ＝e f＝k(b ＋d ＋f ≠0)，且a ＋c ＋e ＝3(b ＋d ＋f)，那么k ＝________.5．已知a b ＝c d ＝e f ＝23，b ＋2d －3f ≠0，求a ＋2c －3e b ＋2d －3f的值． 活动3 课堂小结等比性质：如果a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.【预习导学】(一)知识探究 a b(二)自学反馈52【合作探究】活动2 跟踪训练1．D 2.A 3.234.3 5．∵a b ＝c d ＝e f ＝23，b ＋2d －3f ≠0，∴a b ＝2c 2d ＝－3e －3f ＝23.∵b ＋2d －3f ≠0，∴a ＋2c －3e b ＋2d －3f ＝23.。
比例线段知识点总结
比例线段知识点总结一、概念比例线段是指在空间中，两条相交直线及其被它们截断的线段之间的比例关系。
即在一条直线上，有两个点A、B，它们分别位于C、D两点之间，若AC：CB=AD：DB，则称AB 与CD成比例，这里的A、B、C、D称为比例线段。
二、性质1. 等价性：如果AB与CD成比例，那么CB与AD也成比例。
2. 共线性：如果AB与CD成比例，那么A、B、C、D四点共线。
3. 分解性：如果AB与CD成比例且BC=BD-CD，那么A、C、D三点共线。
4. 反比例性：如果AB线段与CD线段成比例，那么AB与DC反比例。
三、比例线段的性质1. 正比例和反比例（1）正比例：如果两个比列线段是正比例的，那么它们之间的关系是A处乘B等于C处乘D。
即AB/CD=AC/BD；（2）反比例：如果两个比例线段是反比例的，那么它们之间的关系是A处乘B等于C处乘D的倒数。
即AB/CD=AD/BC。
2. 合比例与轴比例（1）合比例：如果两个比例线段是合比例的，那么它们之间的关系是有一个共同的中点E，其中AE/EB=CE/ED；（2）轴比例：如果两个比例线段是轴比例的，那么它们之间的关系是有中点E，其中AE/BE=CE/DE。
3. 调和比调和比是指四个不相等的正数a、b、c、d，如果满足a/b=c/d，那么称a、b、c、d为调和比，用(a,b,c,d)表示。
四、比例线段的运算1. 和与差（1）和：如果AB与BC成比例，那么AB+BC等于线段AC的长度；（2）差：如果AB与BC成比例，且AB大于BC，那么AB-BC等于线段AC的长度。
2. 积与商（1）积：如果AB与BC成比例，那么AB*BC等于AC*BC；（2）商：如果AB与BC成比例，那么AB/BC等于线段AC的比例。
3. 比值定理如果在三角形ABC内，D、E分别是AB、AC的两个点，而线段DE与BC平行，那么AD/DB=AE/EC。
五、应用1. 已知比例求线段长度对于等比例线段AB、CD，通过已知比例和其中一个线段的长度，可以求解另一个线段的长度。
01-第四章1成比例线段
AB 2
AB 2
栏目索引
1 菱形的性质与判定
3.正方形的边长与其对角线长的比是
.
答案 1∶ 2
解析 设正方形的边长为a,则其对角线长为 2 a, ∴所求比为a∶ 2 a=1∶ 2 .
栏目索引
1 菱形的性质与判定
4.已知x∶y∶z=2∶3∶4,求 y z x 的值. z x y
解析 ∵x∶y∶z=2∶3∶4, ∴设x=2k,y=3k,z=4k(k≠0),
1 菱形的性质与判定
栏目索引
题型一 利用比例线段求线段的长 例1 已知a,b,c,d是成比例线段,且a=2 cm,b=0.6 cm,c=4 cm,那么d=
cm.
解析 因为a,b,c,d是成比例线段,所以 a = c ,则d= bc = 0.6 4 =1.2(cm).
bd
a2
答案 1.2
规律总结 比例线段的有序性:对于利用比例线段关系求线段长的题, 一般先根据线段的关系写出比例式,然后根据比例的基本性质转化成关 于所求线段的等式,最后代入相应的数据.不过,在写比例式时,一定要注 意题目中四条线段成比例的顺序,不能随便更改位置.
栏目索引
2.(2019广西桂林灌阳期中)已知a,b,c,d是成比例线段,其中a=5,b=4,c=10,
则线段d=
.
答案 8
解析 ∵a,b,c,d是成比例线段,
∴ a = c ,即ad=bc,
bd
∵a=5,b=4,c=10, ∴5d=40,解得d=8.
1 菱形的性质与判定
栏目索引
3.(2019天津南开期末)在比例尺为1∶1 000 000的地图上,量得甲、乙两
规律总结 本题运用了分类讨论思想.当题目中给出的数没有顺序时, 要依据所求的数在这个比例式中的位置进行讨论.若使四个数成比例, 则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比,或其中两个数的乘积恰 好等于另外两个数的乘积.
线段的比例问题
线段的比例问题线段的比例问题是数学中常见的一个概念，它涉及到了线段之间的相对长度关系。
在解决线段的比例问题时，可以利用几何知识和代数方法来求解。
本文将通过实例和步骤详细阐述解决线段的比例问题的方法和技巧。
1. 线段的比例定义在线段AB上，取一个点C分割成两个部分AC和CB，如果AC与CB之间的长度关系为a:b，可以表示为AC/CB=a/b（a和b为正数），则称线段AC与线段CB的比为a比b，也可以写作AC:CB=a:b。
2. 比例问题的解决步骤解决线段的比例问题的一般步骤如下：步骤一：了解题意首先，我们需要仔细阅读题目，理解题意，明确所给出的线段和要求的比例关系。
在理解题意的基础上，寻找线索和关键信息。
步骤二：画出示意图根据题目所给的线段和比例关系，在纸上画出示意图，标记出所给的线段和比例关系，为后续求解提供便利。
步骤三：设未知量根据题目要求，假设未知量，通常用字母表示。
例如，如果题目要求求解线段CD与线段EF的比例关系，可以设CD:EF=x:y，其中x和y为待求的未知量。
步骤四：利用等式求解根据已知条件和设定的未知量，利用等式求解未知量。
根据几何知识或代数方法，运用线段分割定理、相似三角形性质、等角关系等来推导和求解未知量。
同时，注意化简和整理结果，确保中间步骤的准确性和清晰性。
步骤五：验证结果在求解完未知量后，需要将结果代入题目中检验，验证结果的正确性。
确认结果是否满足题目所给的线段比例关系，若满足，则解题过程正确；若不满足，则需要重新检查求解过程，并找出错误之处。
3. 解题实例现举一个实例来说明线段的比例问题的求解过程。
例题：在线段AB上，点C将线段AB分为三等分，求线段AC和线段BC的比例关系。
解题步骤：步骤一：了解题意题目要求求解线段AC与线段BC之间的比例关系。
步骤二：画出示意图在纸上画出线段AB，并将线段AB等分为三等分，标记出点C。
C|------A------|||B步骤三：设未知量假设线段AC:CB=x:y，其中x和y为所求的未知量。
4.1第1课时线段的比和比例的基本性质-北师大版九年级数学上册习题课件
ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.∴AB＝5.∵S ＝ AB·CD＝ BC·AC，∴CD＝ ＝ 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.
△ABC
2 2 AB 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.
第一课时 线段的比和比例的基本性质
2.4，∴在 Rt△ADC 中，AD＝ 试判断线段AD、BE、AC、BC是否成比例，并说明理由．
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.
17．【核心素养题】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，已知AC＝3，BC＝4.
17．【核心素养题】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，已知AC＝3，BC＝4.
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.
第一课时 线段的比和比例的基本性质
AC2－CD2＝1.8，∴BD＝AB－AD＝3.2，∴AD∶CD
试判断线段AD、BE、AC、BC是否成比例，并说明理由．
＝CD∶BD＝3∶4，即线段 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.
注意：求两条线段的比时，长度单位必须统一．
AD、CD、CD、BD
是成比例线段．
(2)比例尺 在地图或工程图纸上，图上长度与它所表示的实际长度的比通
常称为比例尺．比例尺是两条线段的比的一种． 注意：求两条线段的比时，长度单位必须统一．
知识点 2 比例线段的定义 四条线段 a、b、c、d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即ab＝dc，那么这四 条线段 a、b、c、d 叫做成比例线段，简称比例线段． (1)a、b、c、d 分别叫做比例的第一、二、三、四比例项； (2)a、d 叫做比例外项，b、c 叫做比例内项． 提示：判断给定的四条线段是否成比例的方法：先将四条线段统一单位，再按 大小顺序排列好，看前两条线段之比与后两条线段之比是否相等；也可看最长线段 与最短线段长度的乘积与剩余两条线段长度的乘积是否相等，若相等则成比例，否 则不成比例．
成比例线段知识点
成比例线段知识点
成比例线段是初中数学中重要的概念之一，它涉及到线段的比例关系和相似三
角形的性质。
在学习成比例线段的过程中，我们需要掌握以下几个知识点：
1. 成比例线段的定义
成比例线段是指在两个线段中，它们的比等于另外两个线段的比。
即如果线段AB和线段CD成比例，那么就有AB/CD = AC/BD。
这个比例关系在几何学中非常
重要，它可以帮助我们解决许多与线段长度有关的问题。
2. 成比例线段的性质
成比例线段具有一些重要的性质，比如说如果两个线段成比例，那么它们的长
度比是唯一确定的，即使线段长度发生变化，它们的比例关系仍然成立。
此外，成比例线段的比例也可以用比例的倒数来表示，比如说如果AB/CD = 2/3，那么
CD/AB = 3/2。
3. 成比例线段的应用
成比例线段的应用非常广泛，它可以帮助我们解决许多实际问题，比如说测量
不规则图形的边长、比较不同尺寸的物体、计算地图的比例尺等。
在实际生活中，我们经常会用到成比例线段的知识，因此掌握好这个知识点对我们的日常生活和学习都非常有帮助。
总的来说，成比例线段是初中数学中的重要知识点，它涉及到线段的比例关系
和相似三角形的性质。
通过学习成比例线段，我们可以更好地理解线段的比例关系，解决实际问题，提高数学的应用能力。
希望同学们能够认真学习成比例线段的知识，掌握好相关的概念和性质，从而在数学学习中取得更好的成绩。
线段的比与比例线段的概念
线段的比与比例线段的概念、比例的性质和黄金分割 Ⅰ梳理知识比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割1.线段的比的定义在同一单位长度下，两条线段 的比叫做这两条线段的比.2.比例线段的定义在四条线段中，如果其中两条线段的 等于另外两条线段的 ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称 .在a ：b ＝c ：d 中，a 、d 叫做比例的 ，b 、c 叫做比例的 ，称d 为a 、b 、c 的 .3.比例的性质(1)比例的基本性质：如果a ∶b ＝c ∶d ，那么 .特别地，若a ∶b ＝b ∶c ，即 ，则b 叫a ，c 的比例中项.(2)合(分)比性质：若dc b a =，则 . (3)等比性质：若nm f e d c b a ==== ，且 ，则 . 4.黄金分割(1)黄金分割的意义：如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果 ，那么称线段AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB 的比叫做 .(2)黄金分割的作法【例题讲解】例1.(1)已知1，5，5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是 .(2)在比例尺为1：n 的某市地图上，规划出一块长5cm ×2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是 平方米.例2.(1)已知x ∶y ∶z ＝3∶4∶5，①求z y x +的值；②若x ＋y ＋z ＝6，求x 、y 、z.(2)已知a 、b 、c 、d 是非零实数，且k cb a d d a bcd c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值.(3)若a 、b 、c 是非零实数，并满足a c b a b c b a c c b a ++-=+-=-+，且abc a c c b b a x ))()((+++=，求x 的值.例3.(1)已知线段AB ＝a ，在线段AB 上有一点C ，若AC ＝a 253-，则点C 是线段AB 的黄金分割点吗？为什么？【同步测试】一、选择题1.已知一矩形的长a ＝1.35m ，宽b ＝60cm ，则a ∶b 的值为（ ）(A)9∶400 (B)9∶40 (C)9∶4 (D)90∶42.下列线段能成比例线段的是（ ） (A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,2cm,2cm (C)2cm,5cm,3cm,1cm (D)2cm,5cm,3cm,4cm3.如果线段a ＝4，b ＝16，c ＝8，那么a 、b 、c 的第四比例项d 为（ ）(A)8 (B)16 (C)24 (D)324.已知32=b a ，则bb a +的值为（ ） (A)23 (B)34 (C)35 (D)53 5.已知x ∶y ∶z ＝1∶2∶3，且2x ＋y －3z ＝－15，则x 的值为（ ）(A)－2 (B)2 (C)3 (D)－36.在比例尺为1∶38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为7cm ，它的实际长度约为（ ）(A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km7.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是（ ）(A)12米 (B)11米 (C)10米 (D)9米8.已知点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC)，若AB ＝4cm ，则AC 的长为（ ） (A)(2 5 －2)cm (B)(6－2 5 )cm (C)( 5 －1)cm (D)(3－ 5 )cm9.若D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，且AD AB ＝AE AC，那么下列各式中正确的是（ ） (A)AD DB ＝DE BC (B)AB AD ＝AE AC (C)DB EC ＝AB AC (D)AD DB ＝AE AC10.若ba c a cbc b a k 222-=-=-=，且a ＋b ＋c ≠0，则k 的值为（ ） (A)－1 (B)21 (C)1 (D)－ 12 二、填空题11.在x ∶6＝ (5 ＋x)∶2 中的x ＝ ；2∶3 ＝ ( 5－x)∶x 中的x ＝ .12.若9810z y x ==, 则 ______=+++zy z y x . 13.若a ∶3 ＝b ∶4 ＝c ∶5 , 且a ＋b －c ＝6, 则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .14.已知x ∶y ∶z ＝ 3∶4∶5 , 且x ＋y ＋z ＝12, 那么x ＝ ，y ＝ ， z ＝ .15.若43===f e d c b a , 则______=++++fd be c a . 16.已知x ∶4 ＝y ∶5 ＝ z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z ＝ , ② (x ＋y)∶(y ＋z)＝ .17.若322=-y y x , 则_____=yx . 18.图纸上画出的某个零件的长是32 mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 .19.如图，已知 AB ∶DB ＝ AC ∶EC ，AD ＝ 15 cm , AB ＝ 40 cm , AC ＝ 28 cm , 则 AE ＝ ；20.已知，线段a ＝ 2 cm ，)32(-=c cm ，则线段a 、c 的比例中项b 是 .三、解答题21.已知0753≠==z y x ，求下列各式的值：(1)y z y x +- (2)z y x z y x +-++35432.22.已知0≠-=-=-za c y cb x b a ，求x ＋y ＋z 的值.23.若ΔABC 的三内角之比为1∶2∶3，求ΔABC 的三边之比.24.已知a 、b 、c 为ΔABC 的三边，且a ＋b ＋c ＝60cm ，a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，求ΔABC 的面积.25.已知线段AB ＝10cm ，C 、D 是AB 上的两个黄金分割点，求线段CD 的长.四、挑战中考1、若k ca b c b a b a c =+=+=+＝k ，则k 的值为（ ） A ．12 B ．1 C ．－1 D ．12或－1 2、如图，△ABC 中，AG DE AH BC =，且DE ＝12，BC ＝15，GH ＝4，求AH ．3、 以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取 AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上（1）求AM 、MD 的长；（2）你能说明点M 是线段AD 的黄金分割点吗？。
北师大版九年级(上)数学第10讲：成比例线段(教师版)——王琪
成比例线段一、有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dcb a =4、比例外项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和c 的比例中项。
8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）二、比例性质1.基本性质: bc ad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积）2.反比性质： c d a b dc b a =⇒= (把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变）．5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ． 三：黄金分割（1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
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线段的比与比例线段的概念、比例的性质和黄金分割 Ⅰ梳理知识
比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割
1.线段的比的定义
在同一单位长度下，两条线段 的比叫做这两条线段的比.
2.比例线段的定义
在四条线段中，如果其中两条线段的 等于另外两条线段的 ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称 .在a ：b ＝c ：d 中，a 、d 叫做比例的 ，b 、c 叫做比例的 ，称d 为a 、b 、c 的 .
3.比例的性质
(1)比例的基本性质：如果a ∶b ＝c ∶d ，那么 .特别地，若a ∶b ＝b ∶c ，即 ，则b 叫a ，c 的比例中项.
(2)合(分)比性质：若
d c b a =，则 . (3)等比性质：若n
m f e d c b a ==== ，且 ，则 . 4.黄金分割
(1)黄金分割的意义：如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果 ，那么称线段AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB 的比叫做 .
(2)黄金分割的作法
【例题讲解】
例1.(1)已知1，5，5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是 .
(2)在比例尺为1：n 的某市地图上，规划出一块长5cm ×2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是 平方米.
例2.(1)已知x ∶y ∶z ＝3∶4∶5，①求
z y x +的值；②若x ＋y ＋z ＝6，求x 、y 、z.
(2)已知a 、b 、c 、d 是非零实数，且
k c
b a d d a b
c
d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值.
(3)若a 、b 、c 是非零实数，并满足a c b a b c b a c c b a ++-=+-=-+，且abc a c c b b a x ))()((+++=，求x 的值.
例3.(1)已知线段AB ＝a ，在线段AB 上有一点C ，若AC ＝
a 2
53-，则点C 是线段AB 的黄金分割点吗？为什么？
【同步测试】
一、选择题
1.已知一矩形的长a ＝1.35m ，宽b ＝60cm ，则a ∶b 的值为（ ）
(A)9∶400 (B)9∶40 (C)9∶4 (D)90∶4
2.下列线段能成比例线段的是（ ）
(A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,2cm,2cm (C)2cm,5cm,3cm,1cm (D)2cm,5cm,3cm,4cm
3.如果线段a ＝4，b ＝16，c ＝8，那么a 、b 、c 的第四比例项d 为（ ）
(A)8 (B)16 (C)24 (D)32 4.已知
32=b a ，则b
b a +的值为（ ） (A)23 (B)34 (C)35 (D)53 5.已知x ∶y ∶z ＝1∶2∶3，且2x ＋y －3z ＝－15，则x 的值为（ ）
(A)－2 (B)2 (C)3 (D)－3
6.在比例尺为1∶38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为7cm ，它的实际长度约为（ ）(A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km
7.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是（ ）
(A)12米 (B)11米 (C)10米 (D)9米
8.已知点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC)，若AB ＝4cm ，则AC 的长为（ ） (A)(2 5 －2)cm (B)(6－2 5 )cm (C)( 5 －1)cm (D)(3－ 5 )cm
9.若D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，且AD AB ＝AE AC ，那么下列各式中正确的是（ ） (A)AD DB ＝DE BC (B)AB AD ＝AE AC (C)DB EC ＝AB AC (D)AD DB ＝AE AC
10.若b
a c a c
b
c b a k 222-=-=-=，且a ＋b ＋c ≠0，则k 的值为（ ） (A)－1 (B)2
1 (C)1 (D)－ 1
2 二、填空题
11.在x ∶6＝ (5 ＋x)∶2 中的x ＝ ；2∶3 ＝ ( 5－x)∶x 中的x ＝ .
12.若9
810z y x ==, 则 ______=+++z y z y x . 13.若a ∶3 ＝b ∶4 ＝c ∶5 , 且a ＋b －c ＝6, 则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .
14.已知x ∶y ∶z ＝ 3∶4∶5 , 且x ＋y ＋z ＝12, 那么x ＝ ，y ＝ ， z ＝ .
15.若43===f e d c b a , 则______=++++f
d b
e c a . 16.已知x ∶4 ＝y ∶5 ＝ z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z ＝ , ② (x ＋y)∶(y ＋z)＝ .
17.若322=-y y x , 则_____=y
x . 18.图纸上画出的某个零件的长是32 mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 .
19.如图，已知 AB ∶DB ＝ AC ∶EC ，AD ＝ 15 cm , AB ＝ 40 cm , AC ＝ 28 cm , 则 AE ＝ ；
20.已知，线段a ＝ 2 cm ，)32(-=c cm ，则线段a 、c 的比例中项b 是 .
三、解答题
21.已知
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53≠==z y x ，求下列各式的值：(1)y z y x +- (2)z y x z y x +-++35432.
22.已知0≠-=-=-z
a c y c
b x b a ，求x ＋y ＋z 的值.
23.若ΔABC 的三内角之比为1∶2∶3，求ΔABC 的三边之比.
24.已知a 、b 、c 为ΔABC 的三边，且a ＋b ＋c ＝60cm ，a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，求ΔABC 的面积.
25.已知线段AB ＝10cm ，C 、D 是AB 上的两个黄金分割点，求线段CD 的长.
四、挑战中考
1、若
k c
a b c b a b a c =+=+=+＝k ，则k 的值为（ ） A ．12 B ．1 C ．－1 D ．12
或－1 2、如图，△ABC 中，AG DE AH BC =，且DE ＝12，BC ＝15，GH ＝4，求AH ．
3、 以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取 AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上
（1）求AM 、MD 的长；
（2）你能说明点M 是线段AD 的黄金分割点吗？。