2014年上海交通大学外国留学生本科入学考试(数学样题1)(理科)

上海交通大学外国留学生本科入学考试（样题1）

科目：数学（理科） 建议用时：90分钟

一、 选择题 (每小题4分, 共48分)

1. 设x R ∈ ，向量(vector)(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ，则||a b += ( ) (A)5 (B)10 (C)25 (D)10

2. 若集合{

}1

A x x =≤，{}0

B x x =≥，则=B A ( )

(A)

{}11x x -≤≤ (B){}0x x ≥ (C){}01x x ≤≤ (D) ∅

3. 10(1)x -的展开式中，3x 的系数是 ( )

( Expand 10(1)x -,find the coefficient in term of 3x )

(A)720- (B) 720 (C) 120 (D)120- 4．已知椭圆(ellipse)的中心(centre)在原点)0,0(，焦距(distance between two foci)为4，一条

准线(directrix)为4x =-，则该椭圆的方程为( find the equation of the ellipse) ( )

(A) 2211612x y += (B)221128x y += (C) 22184x y += (D)22

1124x y +=

5. i

是虚数单位(imaginary unit i )，计算(simplify the expression) 2

42(1)12i

i i +--- =

( )

(A) 0

(B) 2

(C) i 4-

(D) i 4

6．已知直线1l :01=++y x , 2l :01=-+y x , 则1l ,2l 之间的距离为 ( )

( find the distance between line 1l and line 2l ) (A) 1 (B)

3 (C)

2 (D)

5

7. 已知等差数列(arithmetic sequence) {}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的

前10项的和(

102110a a a S +++= )

=

10S （ ）

(A)138 (B) 135 (C) 95 (D)23

8．已知双曲线(hyperbola))0.0(122

2

2>>=-b a b y a x 的两条渐近线(asymptotes)均和圆

(circle)C ：

0562

2=+-+x y x 相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心(the focus of hyperbola on the right side is the center of circle C)，则该双曲线的方程为(find the equation of hyperbola) ( )

(A) 14522=-y x (B) 1542

2=-y x (C) 1632

2=-y x (D)

1362

2=-y x

9．不等式

22

x x --＞的解集是 ( )

(A)(,2)-∞ (B) (,)-∞+∞ (C)(2,)+∞ (D)(,2)(2,)-∞+∞

10. 从已有1个红球，2个白球和3个黑球的袋中任取2个球，则所取的2个球中一白一黑的概率是 (choose 2 balls at random from a bag with 1 red balls, 2 white balls and 3 black

balls inside, what is the probability that one white ball and one black ball are chosen) ( )

(A) 15 (B) 25 (C) 35 (D) 4

5

11. 函数

2

sin sin 1y x x =+-的值域是(find the range of values of y ) ( ) (A)[]1,1- (B)5,14

⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ (C)5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ (D)51,,4⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦ 12. 已知

1

F 、

2

F 为双曲线(hyperbola)

22

:2C x y -=的左、右焦点(two foci)，点P 在C 上，12||2||

PF PF =，则

12cos F PF ∠=

( )

(A) 34 (B)35 (C) 14 (D)4

5

二. 填空题: （每题5分，共40分） 13. 函数

2log 2-=x y 的定义域为(find the range of values of x ) _____________

14. 等比数列(geometric sequence)

{}

n a 的前n 项和为

n

S ，已知

1

S ，

2

2S ，

3

3S 成

等差数列(arithmetic sequence)，则

{}

n a 的公比(common ratio)q =

15．已知圆C 经过A(5,1)，B(1,3)两点（circle C pass through the point A and B ），圆心在x 轴

上( the center of circle C is on x -axis)， 则圆C 的方程为( find the equation of circle C)

16. 已知椭圆(ellipse) 22

134

x y ＋＝的焦点(two foci)分别是21,F F ,点P 在椭圆上,且121=-PF PF ,则21cos PF F ∠=

17. 函数

121

2-+=x

x y 的值域是(find range of values of y ) 18. 方程）（6

log 3)2(log )14(log 222++=+++x x x 的解=x 19. 已知⎪⎭

⎫

⎝⎛∈ππα,2，55sin =α，则=α2tan

20. 函数

3()log (3)

f x x =+的反函数(inverse function of )(x f )的图像与y 轴的交点坐标

是(point P is the intersection of y -axis and the graph of inverse function ,find the coordinates of point P) 三. 解答题 (每小题6分, 共12分)

21. 已知函数

()()21cot sin 2sin sin 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭, 且,122x ππ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦， 求

()

f x 的取值范围 ( find the range of values of

()

f x )

22. 已知椭圆(ellipse)1422

=+y x ，过点)0,(m P 作圆

22

1x y +=的切线l 交椭圆于A ，B 两点，用

AB

表示为m 的函数, 求

AB

的最大值.

（a line l touches the circle

22

1x y += and pass the point )0,(m P , also cuts the ellipse 1422

=+y x at two points A and B, express AB in terms of m , find maximum value of

AB

)