2014年上海交通大学外国留学生本科入学考试(数学样题1)(理科)

上海交通大学外国留学生本科入学考试（样题1）
科目：数学（理科） 建议用时：90分钟
一、 选择题 (每小题4分, 共48分)
1. 设x R ∈ ，向量(vector)(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ，则||a b += ( ) (A)5 (B)10 (C)25 (D)10
2. 若集合{
}1
A x x =≤，{}0
B x x =≥，则=B A ( )
(A)
{}11x x -≤≤ (B){}0x x ≥ (C){}01x x ≤≤ (D) ∅
3. 10(1)x -的展开式中，3x 的系数是 ( )
( Expand 10(1)x -,find the coefficient in term of 3x )
(A)720- (B) 720 (C) 120 (D)120- 4．已知椭圆(ellipse)的中心(centre)在原点)0,0(，焦距(distance between two foci)为4，一条
准线(directrix)为4x =-，则该椭圆的方程为( find the equation of the ellipse) ( )
(A) 2211612x y += (B)221128x y += (C) 22184x y += (D)22
1124x y +=
5. i
是虚数单位(imaginary unit i )，计算(simplify the expression) 2
42(1)12i
i i +--- =
( )
(A) 0
(B) 2
(C) i 4-
(D) i 4
6．已知直线1l :01=++y x , 2l :01=-+y x , 则1l ,2l 之间的距离为 ( )
( find the distance between line 1l and line 2l ) (A) 1 (B)
3 (C)
2 (D)
5
7. 已知等差数列(arithmetic sequence) {}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的
前10项的和(
102110a a a S +++= )
=
10S （ ）
(A)138 (B) 135 (C) 95 (D)23
8．已知双曲线(hyperbola))0.0(122
2
2>>=-b a b y a x 的两条渐近线(asymptotes)均和圆
(circle)C ：
0562
2=+-+x y x 相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心(the focus of hyperbola on the right side is the center of circle C)，则该双曲线的方程为(find the equation of hyperbola) ( )
(A) 14522=-y x (B) 1542
2=-y x (C) 1632
2=-y x (D)
1362
2=-y x
9．不等式
22
x x --＞的解集是 ( )
(A)(,2)-∞ (B) (,)-∞+∞ (C)(2,)+∞ (D)(,2)(2,)-∞+∞
10. 从已有1个红球，2个白球和3个黑球的袋中任取2个球，则所取的2个球中一白一黑的概率是 (choose 2 balls at random from a bag with 1 red balls, 2 white balls and 3 black
balls inside, what is the probability that one white ball and one black ball are chosen) ( )
(A) 15 (B) 25 (C) 35 (D) 4
5
11. 函数
2
sin sin 1y x x =+-的值域是(find the range of values of y ) ( ) (A)[]1,1- (B)5,14
⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ (C)5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ (D)51,,4⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦ 12. 已知
1
F 、
2
F 为双曲线(hyperbola)
22
:2C x y -=的左、右焦点(two foci)，点P 在C 上，12||2||
PF PF =，则
12cos F PF ∠=
( )
(A) 34 (B)35 (C) 14 (D)4
5
二. 填空题: （每题5分，共40分） 13. 函数
2log 2-=x y 的定义域为(find the range of values of x ) _____________
14. 等比数列(geometric sequence)
{}
n a 的前n 项和为
n
S ，已知
1
S ，
2
2S ，
3
3S 成
等差数列(arithmetic sequence)，则
{}
n a 的公比(common ratio)q =
15．已知圆C 经过A(5,1)，B(1,3)两点（circle C pass through the point A and B ），圆心在x 轴
上( the center of circle C is on x -axis)， 则圆C 的方程为( find the equation of circle C)
16. 已知椭圆(ellipse) 22
134
x y ＋＝的焦点(two foci)分别是21,F F ,点P 在椭圆上,且121=-PF PF ,则21cos PF F ∠=
17. 函数
121
2-+=x
x y 的值域是(find range of values of y ) 18. 方程）（6
log 3)2(log )14(log 222++=+++x x x 的解=x 19. 已知⎪⎭
⎫
⎝⎛∈ππα,2，55sin =α，则=α2tan
20. 函数
3()log (3)
f x x =+的反函数(inverse function of )(x f )的图像与y 轴的交点坐标
是(point P is the intersection of y -axis and the graph of inverse function ,find the coordinates of point P) 三. 解答题 (每小题6分, 共12分)
21. 已知函数
()()21cot sin 2sin sin 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭, 且,122x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦， 求
()
f x 的取值范围 ( find the range of values of
()
f x )
22. 已知椭圆(ellipse)1422
=+y x ，过点)0,(m P 作圆
22
1x y +=的切线l 交椭圆于A ，B 两点，用
AB
表示为m 的函数, 求
AB
的最大值.
（a line l touches the circle
22
1x y += and pass the point )0,(m P , also cuts the ellipse 1422
=+y x at two points A and B, express AB in terms of m , find maximum value of
AB
)
参考答案（理科）
一. 选择题: （每题4分，共48分）
1 2 3 4 5 6 B C D C D C 7 8 9 10 11 12 C
A
A
B
C
A
二. 填空题: （每题5分，共40分） 13. ),4[+∞ 14. 13
q = 15. (x －2)2＋y 2＝10 16.
5
3 17. ），（），（∞+-∞-11 18. 2 19. －4
3 20. (0,-2)
三. 解答题: （每题6分，共12分）
21.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+221,0
22. 2。