面面垂直的判定及其性质
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
面面垂直的条件
面面垂直的条件
一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。
如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相
垂直。
定义：若两个平面的二面角为直二面角，则面面垂直
判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直
性质定理：
1.若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
2.若两个平面垂直，则过第一个平面内任意一点,向另一平面作这条垂线必在第一个
平面内
3.若两个平面垂直，则两个平面内除了交线的各任意的两条直线都互相垂直
如何证明面面垂直
面与面的垂直，其实就是两个面法向量的的垂直关系。
即是读者要找到两个面的法向量，然后判别两个法向量的位置关系即可。
分别算出两个平面的法向量，n1,n2.找法向量一般根据平面的书写形似即可找到。
两个面的法向量之间的向量积结果是零的话，就说明两个平面是垂直的。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
两个平面垂直的判定与性质
• 两个平面垂直的判定定理 • 两个平面垂直的性质 • 两个平面垂直的判定与性质的关
系 • 两个平面垂直在实际生活中的应
用 • 两个平面垂直的典型例题解析
目录
01
两个平面垂直的判定定理
判定定理的内容
01
02
03
判定定理
如果一个平面内的两条相 交直线与另一个平面垂直， 则这两个平面垂直。
线来证明。
性质的应用
01
在几何学中，两个平面垂直的性 质可以用于证明空间几何中的一 些定理和性质，例如空间几何中 的勾股定理等。
02
在物理学中，两个平面垂直的性 质可以用于研究物体的运动和力 的作用，例如物体在重力作用下 的运动轨迹等。
03
两个平面垂直的判定与性质
的关系
判定与性质的联系
判定是性质的依据
两条相交直线
在给定平面内选择两条不 平行的直线，这两条直线 必须相交。
垂直关系
这两条相交直线必须与另 一个平面垂直。
判定定理的证明
证明思路
通过反证法证明，假设两个平面不垂直，则它们必然存在一个公共点，由此可以确定一条过该点的直线。由于这 条直线同时位于两个平面内，因此它必然与两个平面都垂直。这与题目中给定的条件矛盾，因此假设不成立，所 以两个平面垂直。
家装设计
在家装设计中，需要确保墙面、 地面和天花板之间的垂直度，以
提高家居的美观度和舒适度。
家具摆放
在家具摆放时，需要确保家具与 地面垂直，以提高家具的稳定性
和安全性。
悬挂物品
在悬挂物品时，需要确保物品与 墙面垂直，以提高物品的稳定性
和安全性。
05
两个平面垂直的典型例题解
析
例题一解析
07垂直的判定及其性质(第1课时面面)
如果两个平面所成的二面角是直角,那么就说这两 个平面互相垂直。 (2)平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两
个平面互相垂直。 线面垂直→面面垂直
(3)平面与平面垂直的判定的其他方法
证明 （1）方法一：如图，取EC的中点F，连接DF. ∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BC. ∵CE=2BD，∴BD=CF. 又∵BD∥CE,∴BD CF. ∴四边形BDFC是平行四边形. ∴BC DF.∴DF⊥EC. 在Rt△DEF和Rt△ADB中， ∵EF= 1EC=BD,FD=BC=AB,
2
∴Rt△DEF≌Rt△ADB.∴DE=DA. 方法二：如图，取AC中点N，连接BN、MN. ∵△ABC是正三角形，∴BN⊥AC于点N.
又∵M是AE中点，∴DA=DE.
(2)取CA的中点N，连接MN、BN，则M1N EC.
2
又∵BD∥EC且EC=2BD,∴MN DB.
∴N点在平面BDM内.
∵EC⊥平面ABC，BN 平面ABC，∴EC⊥BN.
∵△ABC为正三角形，∴BN⊥AC.
又AC∩EC=C,EC 平面ACE，AC 平面ACE,
∴BN⊥平面ACE.
2、(2009·江苏)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1 中，E、F分别是 A1B 、A1C 的中点，点D在 B1C1 上，A1D ⊥ B1C ，求证： （1）EF∥平面ABC;
（2）平面 A1FD ⊥平面 BB1C1C 。
作业：
《名师金典》配套 达标检测 P297 7 另：P298 7（2）、8（1）作为课后练习。
α//β,Υ⊥α,则Υ⊥β。
1、 平面与平面垂直的性质 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直 于它们交线的直线垂直于另一个平面。
面面垂直的判定与性质
本题题目文字少，但有一定难度．只有真正 对面面垂直的性质定理熟练掌握后才能得心应 手．面面垂直的性质定理的核心是“垂直于交线， 则垂直于平面”，所以已知面面垂直，首先应找 交线，看是否在某个平面内存在直线垂直于交线， 若无，肯定要向交线作垂线．在不同平面内向交 线作垂线都能解决问题，但难度显然不同，做题 前应认真分析．本题的方法1较简单，但方法2将 平行和垂直的位置关系的判定和性质考查得淋漓 尽致，不失为一个训练的好题．
【例3】 如图所示，在直四棱柱ABCD－ A1B1C1D1 中 ， DB ＝ BC ， DB⊥AC，点M是棱BB1上一点． (1)求证：MD⊥AC； (2)试确定点M的位置，使得平面 DMC1⊥平面CC1D1D.
与垂直有关的探 索性问题
【证明】1 证明：因为BB1 平面ABCD，AC 平面ABCD，所以BB1 AC. 又因为BD AC，且BD BB1＝B， 所以AC 平面BB1D. 而MD 平面BB1D，所以MD AC.
面面垂直的性质的理解中三个条件也 不可缺少，即： ①两个平面垂直； ②其中一个平面内的直线； ③垂直于交线．所以无论何时见到已知两 个平面垂直，都要首先找其交线，看是否 存在直线垂直于交线来决定是否该作辅助 线，这样就能目标明确，事半功倍．
1． (2011淮阴中学、姜堰中学、前黄中学第一次 联考) m、n是两条不同的直线，、、 是三 设 个不同的平面，有下面四个命题： / / ① / / ; ② m ; / / m / / m m / / n ③ ;④ m / / ; m / / n 其中真命题的序号是 ________ ．
1.若l为一条直线，、、 为三个互不重合 的平面，给出下面三个命题： ① ， ； ② ， ； ③l ，l .
面面垂直的判定与性质定理
面面垂直的判定与性质定理一.面面垂直的判定定理：符号表示：1.（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD,1AB AA==1A(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;(Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.2．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P ABCD-中,//AB CD,AB AD⊥,2CD AB=,平面PAD⊥底面ABCD,PA AD⊥,E和F分别是CD和PC的中点,求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)//BE平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD3．（2013年高考山东卷（文））如图,四棱锥P ABCD -中,,AB AC AB PA ⊥⊥,,2AB CD AB CD =∥,,,,,E F G M N分别为,,,,PB AB BC PD PC 的中点(Ⅰ)求证:CE PAD ∥平面;(Ⅱ)求证:EFG EMN ⊥平面平面4.（2013年高考天津卷（文））如图, 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等. D , E , F 分别为棱AB , BC , A 1C 1的中点.(Ⅰ) 证明EF //平面A 1CD ; (Ⅱ) 证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1;ABCD 图2BACD 图1二. 面面垂直的性质定理：符号表示：5. 如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90ADE ∠=，DE AF //，22===AF DA DE .(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求证：//AC 平面BEF ； （Ⅲ）求四面体BDEF 的体积.6.如图1,在直角梯形A B C D 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,4,2AB AD CD ===.将ADC ∆沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示.(Ⅰ) 求证:BC ⊥平面ACD ；(Ⅱ) 求几何体D ABC -的体积.CDFE。
面面垂直的判定定理及性质定理
面面垂直的判定定理及性质定理
性质定理：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内等。
定义：
若两个平面的二面角为的直二面角(平面角就是直角的二面角)，则这两个平面互相横向。
1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的.直线垂直于另一个平面。
2、如果两个平面相互横向，那么经过第一个平面内的一点并作旋转轴第二个平面的直线在第一个平面内。
3、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
4、如果两个平面互相横向，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
(认定定理推断1的逆定理)。
两个平面垂直的判定和性质
D1 E B1
C1
F
G
D
C
A
B
例3 P 为ABC 所在平面外一点，PA 面ABC
ABC 90 ，AE PB于 E ，AF PC 于 F ，求证
（1）平面AEF 平面 PBC
P
（2）平面AEF 平面 PAC
F
E
A
C
B
例4 P 是ABC 所在平面外一点，ABC 90 ,
黑龙一样,分成三团.而是分成两团,一团继续在灵魂海洋内游走,绞杀着恶魔黑龙,另外一份却是朝蓝色护罩闪电般冲去.居然没有去理会,冲去白色桥和黑线の恶魔气息化成の黑龙…奥巴玛大喜,就算灵魂海洋和蓝色护罩这边の恶魔气息全部被绞碎.但只要魔化了这桥梁,通过这桥梁迅速の朝两 边灵魂蔓延而去.当自己魔化了一半灵魂之后,就能获得白重炙灵魂の控制权.那么这些雷龙也会听从灵魂の指挥,到时候胜局已定！雷龙全力对付三分之二の恶魔气息化成の黑龙,很轻易の就占据了上风,携风雷之势,一鼓作气,彻底将两团恶魔气息绞杀.灵魂海洋上再次下起了黑色の雨！"杂碎, 狗屎！这是什么鬼东西?这是什么鬼灵魂…"另外一团七八条恶魔气息黑龙,很轻易就冲到了桥梁之上,留下一条朝那截黑线冲去.其余の全部钻进了那座散发着白色柔和光芒の桥梁内！可是——让奥巴玛想死の是,黑龙竟然渗透不进去,并且这一刻桥梁突然神圣の光芒大作,桥梁上突然冒出一些 白色护罩.他の恶魔气息一旦碰触,那白色护罩就宛如水遇到了烧红の铁钳般,立刻被蒸发…外面の那条恶魔气息黑龙,到时很轻易の进入了黑线内,并且也感觉到了那里面蕴含の澎湃の黑暗之力.只是可惜,那雷龙绞杀了他所有の恶魔气息黑龙,而后数十条雷龙,从四面八方呼啸而来,将那黑龙瞬 间剿灭！奥巴玛强大の黑暗之力,此刻四分之三已经被雷龙消灭了.还有四分之一却是被困在了桥梁之上,连动都不
面面垂直的判定和性质
教师姓名学生姓名教材版本人教版学科名称数学年级高一上上课时间2012. 课题名称两个平面垂直的判定和性质教学目标1．了解空间直线和平面的位置关系；2．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；进一步熟悉反证法的实质及其一般解题步骤．教学重点线面垂直的判定和性质。
教学过程备注一、知识要点：1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或.2.二面角的平面角在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条构成的角叫做二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.3.平面与平面垂直定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.表示方法：平面与垂直，记作.画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：4.平面与平面垂直的判定定理判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号语言：图形语言：特征：线面垂直面面垂直要点诠释：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可.5.平面与平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：图形语言：二、典型例题：例1．如图所示，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且，，求以BC为棱，以面BCD和面BCA为面的二面角大小.例2．在四面体ABCD中，，AB=AD=CB=CD=AC=，如图所示.求证：平面ABD⊥平面BCD.例3、如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上任一点，请写出图中互相垂直的平面，并说明理由。
面面垂直的判定与性质
面 角
注 二面角的平面角必须满足： 1）角的顶点在棱上
的
意 2）角的两边分别在两个面内
平 面
3）角的边都要垂直于二面角的棱
角
A
A
l
O
O
B
B
28
10
二 1、定义法
面
根据定义作出来
角
A
O
l
B
的 平
2、垂面法 作与棱垂直的平面与
面
两半平面的交线得到
l
O
角
γA
B
的 3、三垂线定理法
A
作 法
借助三垂线定理或 其逆定理作出来
12
例2：正方体ABCD-A1B1C1D1中
求证: 面 AA 1C 1C面 A 1BD
D1
证明: AA1面 ABCD
又BD 面ABCD A1
AA1 BD
BDAC
D
且 AC AA1A
A
BD面 AA1C1C
BD面 A1BD
面 AA 1C 1C面 A 1BD
C1 B1
C B
13
练习3： ABCD是正方形，O是正方形的 中心，PO⊥平面ABCD，E是PC的中点， 求证：(1) AP∥平面BDE；
A B
CD
β β
A B
BE CCDDA
BE是二 的平面角
面 C D角 βα
α A
D
A B B E
β β
A
B
B
E
A B9E0
β
E 二面角 CDα β为直二 。面
B
C
平面α平面β。
24
面面垂直性质定理证明过程
已知：平面 ⊥平面β，平面 ∩平面β=CD， A平面 ，AB⊥CD且AB交CD于B。
平面与平面垂直的判定与性质
C
又因为 BC⸦ α , 所以，BD ⊥BC,
因此, CBD 是直角三角形.
lA
在 RtABC 中,BC AC2 AB2 2
β
在 RtCBD 中,CD BC2 BD2 2 2．
α
B
D
已知：如图所示, α ⊥ β ,在 α 与 β 的交线上取线段 AB 3,且AC、BD
分别在平面α和平面β内,它们都垂直于交线AB,并且AC=1,BD=2,求CD的
O
B
小结 判断面面垂直的方法：利用直二面角、面面垂直的判定定理.
α
A m β
OB
α
Am lβ
On
小结 判断面面垂直的方法：利用直二面角、面面垂直的判定定理.
线线垂直
线面垂直
面面垂直
直角 三角 形的 定义
勾股 逆定 理
直径所 对圆周 角是直 角
线面 垂直 的定 义
线面 垂直 的性 质
例.已知,在三棱锥 A-BCD中, AB⊥平面BCD,BC⊥CD.请问在三棱锥
（1）.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.
（×）
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
（2）.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.
（× ）
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
（3）. 如果平面α内的一条直线 l 垂直于平面β内的两条相交直线, 则
α⊥β.（ √ ）
l⊥β ，l ⸦ α，则α⊥β.
长．
α
C
lA
B
β
D
课堂小结
1、面面垂直的判定定理：证明两个平面相互垂直、寻找平面的垂面 2、判断两个平面互相垂直的方法：⑴定义 ⑵判定定理 3、面面垂直的性质定理：线面垂直的判断方法
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bbbll 面bb简面述垂为：直该命题正确线吗？面垂直
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。
已知平面α⊥平面β,α∩ β＝l下列命题
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β
（ ×）
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β
（ ×）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此
√ 垂线必垂直于平面β（ ）
P
A
C
B
3.如图，以正方形ABCD的对角线AC为折痕， 使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面，求BD 与平面ABC所成的角。
D
D
折成
A
C
O
A
O
C
B
B
练习2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
证明：过点A作AE⊥PB，垂足 P 为E，
∵平面PAB⊥平面PBC，
l
b
b
bl
2、证明线面垂直的两种方法： 线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直
3、线线、线面、面面之法。
1、如图,α⊥β,α∩β=l，AB α， AB⊥l， BC β，DE β，BC⊥DE.
求证：AC⊥DE.
A
B
l
D
C
E
2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
C
平面PAC∩平面ABC＝AC,
BC 平面ABC
A
O
B
∴BC⊥平面PAC
(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
解题反思
1、面面垂直的性质定理给我们提供了一 种证明线面垂直的方法
2、本题充分地体现了面面垂直与 线面 垂直之间的相互转化关系。
面面垂直
性质定理 判定定理
线面垂直
1、平面与平面垂直的性质定理：
a // b ', a ,b ' .
经过同一点 O 的两直
线 b， b '都垂直于
是不可能的，所以 a // b
平面与平面垂直的性质定理
两Ⅰ个. 观平察面实垂验直,则一个平
面观内察垂两垂直直于平交面线中的,一直线
与个另平一面内个的平直面线垂与直另.
l
一符个号平表面示的：有哪些位
b
置关系?
平面PAB∩平面PBC=PB，
∴AE⊥平面PBC
A
C
∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴PA⊥BC
∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB
2.3.3直线和平面垂直线面垂的直、性面面垂质直的性质
判断：若有
ab
a ,b 是否,正则确a？// b
已知：a ,b a 求证： // b
反证法证明命题的一般步骤：
否定结论
推出矛盾
肯定结论
线面垂直、面面垂直的性质
ab
o
b ' 证明：
假定 b 与 a 不平行，
设 b O ，经过点 O
a 作直线 b ' 与直线 平行。
例1：如图，在长方体ABCD-A’B’C’D’中，
（1）判断平面ACC’A’与平面ABCD的位置关系 （2）MN在平面ACC’A’内，MN⊥AC于M，判断 MN与AB的位置关系。
D’
A’ N
D
A
M
C’ B’
C B
例4、已知平面,, ,直线a满足a , a ,试判断直线a与平面的位置关系.
b
a
例3：如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同 于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC，
(1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。
(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径， P C是圆周上不同于A，B的任
意一点
∴∠ACB=90°∴BC⊥AC
又∵平面PAC⊥平面ABC，