空间谱估计基本原理

将M个阵元在特定时刻的接收信号写成矩阵的形式，且假设各阵元是各 向同性的且通道一致、无互耦影响，gij =1
x1 (t )
x2
(t)
xM (t)
N
g1i ( i ) si
t
1i
N
si (t )e j01i
i1
N
g
2
i
(
i
)
si
t
2
i
i1
n1 (t ) n2 (t)
exp(j0Mi)
可见，一旦求得阵元间的延迟τ就会得到导向矢量阵A。
1 (xc o sc o s ysin c o s zsin ) c
阵元的位置 xk(k1,2, ,M )
信号入射方位角i(i1,2, ,N)
ki
1 c
yk
sini
阵元的位置 (x k,y k)(k 1 ,2 , ,M )
信号入射方位角和俯仰角 (i,i)(i 1 ,2 , ,N )
阵列信号处理实质上是提高阵列输出的信噪比。 特征信息和参数一般包括：空间信号源的方向、数目、信号 的频率、相位、调制形式及波形等。
阵列信号处理具有的优点
灵活的波束控制 较高的信号增益 较强的干扰抑制能力 很好的空间分辨能力
阵列信号处理的两个主要研究方向
自适应阵列处理(空域自适应滤波，自适应波束形成)
信号子空间与噪声子空间正交，且有 A H ei 0 U S U S H U N U N H I, U S U S H I, U N U N H I
具体实现中，数据协方差矩阵是用采样协方差矩阵的代替的
Rˆ 1 L XXH Li 1
数据协方差矩阵的最大似然估计 实际采样数据是有限长度的，影响了模型的假设，改变了数据的相关
e -j0 2 N
s2
t
n1 (t )
n2
(t
)
e -j0 MN
sN
t
nM (t)
n1 (t )
n2
(t
)
nM (t)
X (t) AS (t) N (t)
A为导向矢量阵（阵列流形矩阵），导向矢量为
exp(j01i) ai exp(j02i) i1,2, ,N 02πf 2πc
i 1 N
i 1
si (t )e j0 2 i
N
i 1
g Mi ( i ) si
t
Mi
nM (t)
N
i 1
si
(t )e j0 Mi
e -j011
e -j0 21
e -j0 M 1
e -j012 e -j0 22
e -j 0 M 2
e -j01N s1 t
R ˆ
1 L XXH, Li 1
U ˆS,
U ˆN
由于噪声的存在，导向矢量与噪声子空间不能完全正交，即
Q a H ( )Uˆ N 0
因此，实际DOA估计是以最小优化搜索实现的，即
ˆ M U S IC
a rg m in a H ()U ˆN U ˆN H a ()
ˆ M U SIC
argm inaH(a H )U (ˆN )U aˆ(N H a )()
-150
-200
-250
-300
-100 -80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
jiao du
算法的性能分析
性能分析主要是理想情况下的理论性能和分辨 力，包括 估计偏差、估计方差、成功概率； 谱与信噪比 、阵元数、阵元间距、快拍数、CRB 的关系； 分辨力与信噪比 、阵元数、阵元间距、快拍数的 关系。
空间谱估计基本原理 MUSIC，ESPRIT算法
提纲
空间谱估计概述 阵列的数学模型及其统计特性 多重信号分类算法（MUSIC）及其性能 旋转不变子空间算法（ESPRIT）及其性能
一、空间谱估计概述
阵列信号处理
将多个传感器布置在空间的特定位置组成传感器阵列，接收 空间信号场中的信号，利用各个信号在空间位置上的差异，最大 程度地增强所需要的信号，同时抑制干扰和噪声或不感兴趣的信 号，达到提取各个空间信号源信号及其特征信息和参数的目的。
PM USIC aH()(I U ˆSU ˆS H)a()
理论上，利用信号子空间和噪声子空间估计参数是一致的，但实际应用 时两者估计性能有差别 线阵的信号参数搜索范围为 [ 90 ,90 ，] 而面阵的范围为 [ 180,180]
随着扫描角度的变化，当导向矢量属于信号子空间时，Q是一个趋于 零的值，而当导向矢量不属于信号子空间时， Q是一个不为零的值， 所以，P在信号源方向上会产生很尖的“谱峰”，而在其他方向上相 对平坦
ki1 c(xkco sico siyksinico si)
r 为圆半径
τki
r cos2π(k 1)
c
M
θi cosφi
阵列模型的二阶统计特性
统计分析的假设条件：
信号源为窄带远场、零均值平稳随机信号，与阵元噪声相 互独立；
阵元为各向同性的，无互耦和通道不一致性； 噪声以零均值加性高斯分布，为平稳随机过程，各阵元间
时域谱估计的简单空域扩展，常规波束形成法（CBF） 时域的非线性谱估计方法推广为空间谱估计方法，谐波法, MEM,
Capon法，线性预测类算法。20世纪70年代 现代超分辨测向技术，特征分解类算法: MUSIC, ESPRIT
20世纪70年代末，转折点，基本算法。1986年3月IEEE Trans. AP专刊集中了研究成果 子空间拟合类算法，以最大似然参数估计为基础，ML, WSF， 1983年 相干源估计的预处理算法，空间平滑类, 矩阵重构类, 非降维处理
声且噪声功率为σ2，则上式变为
R A R S A H R N A R S A H 2 I
对R进行特征分解有
M
R U Σ U H i e i e i H ,U [ e 1 e M ] ,Σ d i a g { 1 ,2 , M }
i 1
特征值满足关系 1 2 N N 1 M 2
而定义MUSIC算法的空间谱为
PMUSIC
1
aH()UˆNUˆN Ha()
PMUSIC
aH()a() aH()UˆNUˆN Ha()
应用MUSIC算法应注意的问题
非理想情况下，协方差矩阵的特征值满足下式性质 USUS H UNUN H I，有 1
MNM算法，最小模算法
ˆ M N M a r g m i n a H ( ) U ˆ N U ˆ N H W U ˆ N U ˆ N H a ( ) ,W U ˆ N U ˆ N H u 0 ( u 0 T U ˆ N U ˆ N H u 0 ) 1
加权MUSIC各算法仿真
0 -20 -40 -60 -80 -100 -120
ˆ M V M a r g m i n a H () R 1 a () ,R 1U ˆ N U ˆ N H W U ˆ N U ˆ N H
MEM算法，最大熵算法 ˆ M E M a r g m i n a H ( ) R 1 u 0 ( R 1 u 0 ) a ( ) ,W 1 / 2( U ˆ N U ˆ N H ) 1 R 1 u 0
ui ((tt
) )
ui (t)
(t)
s i( t ) u i( t ) e j ( 0 ( t ) ( t ) ) s i( t ) e j 0
以阵列的某一阵元为参考阵元，则第l个阵元接收通道的信号为
N
xl(t) g lisi(tli)n l(t) l 1 ,2 , ,M i 1
MVM-Music
0 -20
-40
-60
P/dB
-80
-100
-140
-120
-160 -100 -80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
-140 -100
-80
-60
-40
-20
0
20
jiao du
jiao du
MNM-Music
40
60
80
100
dB
dB
0 MEM-Music
-50
-100
j N1
N
M
ieieiH 2
eieiH
i1
j N1
US UNΣUS UNH USΣSUS H UNΣNUN H
S N 由US张成的信号子空间，由UN张成的噪声子空间 s p a n { e 1 e 2 e N } , s p a n { e 1 e 2 e N }
S 由入射信号的导向矢量张成空间与信号子空间为同一个空间 s p a n { e 1 e 2 e N } s p a n { a 1 a 2 a N }
数据协方差矩阵的秩降低，信号子空间的维数小于信源数，信号子空 间“扩散”到噪声子空间，导向矢量与噪声子空间不完全正交，无法 正确估计信号源方向
解相干预处理：降维处理和非降维处理
空间平滑算法---适于均匀线列阵（ULA ）
基本思想是将均匀线列阵分成若干个相互重叠的子阵列，若子阵的阵列流形相同，
3. MUSIC算法的性能分析
MNM 估计偏差小于MUSIC，但估计方差大于MUSIC； 当快拍数L较大、信号不相干及信噪比SNR较大时，即理想情况下， MUSIC算法的性能接近克拉美-罗界CRB；信号相干性对MUSIC影响很大； MUSIC的估计方差优于WMUSIC，即最优权W=I； MUSIC算法的分辨力门限与阵列孔径、角度差、波长成负四次方幂的 关系； 理想条件下的CRB与快拍数L、阵元数M、信噪比SNR成反比； 由加权MUSIC算法可以得出各种算法之间的关系，表现为权矩阵的选 取问题，其实质是约束条件问题。
4. 基于解相干的MUSIC算法
相干信号源数学模型 s i( t ) is 0 ( t )i1 ,2 ,,n
s1(t)
1
X (t) A S(t) N (t) As2(t) N (t) A2s0(t) N (t) A α s0(t) N (t)
sn(t)
n
式中，α是复常数矢量，s0(t)为生成信源
性，也影响了两个子空间的正交性。 实质上，整个问题变成了在有色噪声环境中，对相关信号源做目标参
数估计的问题。 常规波束形成器
aH()Ra() PCBF aH()a()
三、多重信号分类算法 (MUSIC)及其性能
1. 经典MUSIC算法（独立信号）
数据协方差矩阵的最大似然估计及其特征矢量矩阵
定义 Σ S d i a g [ 1 ,,N ] ,Σ N d i a g [ N 1 ,,M ] 2 I
相对应的特征向量矩阵为
U S [ e 1 e 2 e N ] ,U N [ e N 1 e N 2 e M ]
数据协方差矩阵可分为两部分
N
M
R
ieieiH
jeieiH
i1
噪声相互独立，空间平稳（各阵元噪声方差相等）； 信号源数小于阵元的数目N＜M，信号的快拍数大于阵元
数L ＞M。
阵列输出数据的协方差矩阵
R E { X X H } A E { S S H } A H E { N N H } A R S A H R N
RS， RN分别为信号协方差矩阵和噪声协方差矩阵。对于空间理想的白噪
研究在控制主瓣方向的同时自适应地抑制干扰的方法。
空间谱估计(方向估计, 角度估计 , 测向, DOA估计)
研究空间阵列处理系统对感兴趣的空间信号的多种参数进行准确估 计的方法。表示信号在空间各个方向上的能量分布。
超(高)分辨谱估计
能分辨一个波束宽度内的空间不同来向的信号，突破了“瑞利限”。
阵列信号处理的技术或算法
自适应阵列处理
通过一定布置的空间阵元对空间信号场进行采样，然后经加权相加 处理得到期望的输出结果。
空间谱估计
通过一定布置的空间阵元对空间信号场进行采样，利用阵列接收数 据的相关性对其进行数学分解，将其划分为相互正交的信号和噪声子空 间，利用两个子空间的正交性构造出空间谱函数。
空间谱估计的发展及现状
MUSIC算法仿真，线阵，三个信号源
平面阵两个信号源的MUSIC估计
俯视图
2. 加权MUSIC算法（独立信号），约束最优化问题
是MUSIC的推广形式
ˆ W M U S I Ca r g m in a H () U ˆ N U ˆ N H W U ˆ N U ˆ N H a ()
MVM算法，最小方差算法
空间谱估计的研究现状
优化算法，减小运算量，提高精度 算法的实用化系统 模型有偏差时的DOA估计 多维空间谱估计
二、阵列的数学模型 及其统计特性
估计系统结构
信号的数学模型
假设N个远场窄带信号入射到空间某阵列上，该阵列由M个阵元组成， 信号的复包络形式为
ssii((tt)u )i (tu )e i(jt( 0t)(e t))j(0(t)(t))