一个丢番图方程组的初等解法

１４ 年 ，Ｌｕ ｇ ｒｎ在 文献 【】 明了 ９１ ｊｎ ｇｅ １证
定理 Ｐ ｌ方程组 ｅｌ
＿ ２ｙ （） １
【 一 ｚ＝ ｙ ３ Ｉ
仅有 正整数 解 ｘ３ｙ２ｚ１ ＝ ，＝ ， ． ＝ １８ ９ ９年 ，曹珍 富 用 Ｂ ｋｒ ａ ｅ 方法 给 出上述 定理 的一个证 明 ，至今 没有 见到ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 初等 方法给 出 的证明 。本
ｆ ２ １ ｘ－ ： ｙ
ｌ 一ｚ＝ ｙ ３ １
仅 正 数 ３：ｚ．８ ， 珍 用 有 整 解 ，２：１９ 曹 富 ），１９ ￣ ，
Ｂ ｋｒ 法 给 出 上述 结 果 的一 个 汪明 。用 递 推 序 列 法 给 出 一个 简 洁 的 初 等 证 明 。 ａｅ方 关 键 词 ： 丢 番 图 方程 组 ；递 推 序 列 法 ； 初等 证 明 ；正 整 数解
第３ ０卷第 ６ 期
２ ｌ ０ ０年 ｌ ２月
辽 宁工业大学学报 （ 自然科 学版）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｉ ｎｎ ｉｅｓ ｙｏ ｃ ｎ ｌｇ （ ｔｒ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒａ ｏ ａ ｉｇＵｎｖｒｉ ｆ ｅ ｈ ｏｏ ｙＮａ ａ Ｓ ｉｎｅ ｉｏ ） Ｌ ｏ ｔ Ｔ ｕｌ Ｅ ｉ
Ｖｏ１３ ＮＯ． ．０， ６
Ｄｅ ． ０ ０ ｃ２ １
一
个丢番 图方程组 的初等解法
佟 瑞洲 ，王振 堂 ２
ｔ ． 阳师 范高 等 号科 学校 ，辽 宁 朝 阳 １２０ ；２ １ 朝 ２ ００ ．朝阳 市财经 学校 ，辽 宁 朝 阳 １２０ ） ２ ００
摘 要 ｌ１ ，ｕｇ 证 了ｅ 程 ｊ ：９年 Ｌｎｒ 明 Ｐ 方 组 ４ ｊｇｅ ｎ ｌ １
ｏｎ ｙ ｐ ｉ ｖ ｎ ｅ ｅ ｏｌ ｉ ＝ ， ＝ ， ＝１ Ｉ ９ ｌ ｏｓｔ ｅ ｉ ｔ ｇ ｒ ｓ ｕｔ ｉ ｏｎ ｘ ３ ｙ ２ ｚ ． ｎ １ ９８ ，Ｃａ ｅ ｆ ｖ ｒ ｏ ｆｔ ｅ ａ ｖ ｅ ｕ ｔ ｔ ｏ Ｚｈ ｎ ｕ ｇａ ｅ ａ ｐ ｏ ｆｏ ｈ ｂｏ ｅ ｒ ｓ ｌｓ ｗｉ ｈ Ｂａ ｅ ｅ ｏ Ｈｏｗｅ ｅ ｖ ｖｅ ｉ ｋ ｒｍ ｔ ｄ． ｈ ｖ ｒｗｅｈａ ｅｇｉ ｎ ａｓｍｐｌ ｌ ｍｅ ｔ ｒ ｒ ｏ ｙ ｒ ｃ ｒ ｉｅ ｓ ｑ ｎｃ ｔ ｏ ｅｅ ｅ ｎ ａ ｙ ｐ ｏ ｆｂ ｅ ｕ ｓｖ ｅ ｕｅ ｅｍｅ ｈ ｄ．
ＴＯＮＧ ｉｚ ｏ Ｗ ＡＮＧ ｅ ．ａ ｇ Ｒｕ ． ｈ ｕ ， Ｚｈ ｎ ｔ ｎ 。
（ ａ ｙ ｎ ｅ ｃ ｅ ｓＣｏ ｌｇ ． ａ ｙ ｎ ２ ０ ０ Ｃｈ ｎ ； ． ａ ｙ ｎ ｉａ ｃ ｃ ｏ ｌ Ｃｈ ｏ ａ ｇ １ ２ ０ ， ｉａ） Ｃｈ ｏ ａ ｇ Ｔ ａ ｈ ｒ ｌ ｅ Ｃｈ ｏ ａ ｇ １ ２ ０ ， ｉ ａ ２ Ｃｈ ｏ ａ ｇ Ｆ ｎ ｎ ｅＳ ｈ ｏ ， ａ ｙ ｎ ２ ０ ０ Ｃｈ ｎ ｅ
中图分类号：Ｏ１２ ２
文献标识码 ：Ａ
文章编号 ：ｌ７ ２ １ ０００ —３ ８０ ６ ４３ ６（ １）６０ ９ —２ ２
Ｅｌｍ ｅ ｔ ｒ ｏ ｕ ｉ ｎ ｔ ｏ ｈ ｎ ｉ ｅ ｅ ｎ ａ ｙ Ｓ ｌ ｔｏ ｏ Ｄｉ ｐ ａ ｔ ｎ
Ｓ ｍ ｕ ｔ ｎ ｏ ｓＥｑ ａ ｉ ｎ ｉ ｌａ ｅ ｕ ｕ ｔｏ ｓ
文用 递推序 列法给 出 一个简洁 的初 等证 明。为此 ，定义 递推序 列 ， 如下 ：
Ｕ
易证 下面 引理 １ 、引理 ２成 立 。
＝２ ）ｒ０，３ （ ” ＝， …… ＋ ， １ ｔ ２
￡ ２ ，： 一 ： ＋ ； ２
）－ Ｕ 半
；
（） Ｕ ＝４ ｉ ｉ Ｕ川 一Ｕ ， ＋ ＝４ ｌ ２ ｖ＋～ｖ ．
ｐｏ ｉｉ ｎ ｅ ｒｓ ｕ ｉ ｓｔ ｖｅｉ ｔｇｅ ｏｌ ｔ ｏｎ
Ａｂｔａ ｔ Ｉ ９ １ Ｌｕ ｇ ｒｎｐｏ ｅ ａ ｓ ｌ ｎ ｏ ｓ ｅｌ ｑ ａｉｎ ２ ｙ＝ ｎ －ｚ＝ ａ ｅ ｓｒ ｃ： ｎ１４ ． ｊｎ ｇｅ ｒｖ ｄｔ ｔ ｉ ｔ ｅ ｕ ｌｅｕ ｔ ｓ — １ ｄ ２３ ｌ ｖ ｈ ｍｕ ａ Ｐ ｏ Ｘ２ ａ ｙ ｈ
（） ２
令 Ｕ ＝２ ， ｙ 一１ Ｖ＝２ ｚ，则 由 Ｐ ｌ方 程 的解法 知上 述方 程 的全 部解 为 ｙ ｅｌ
＋ √ 《＋ ｒ ＝ ，２３ … ｒ：， √ 、， ０１ ， ． ３ ３ ２ ） ， …
并且 由方程 组 （） １ 的第 一个方 程：
Ｕ ＝ ２ｙ 一１＝ 一 ２， ＝ Ｕ ＋ ２
Ｋｅ ｗｏ ｄ ：ｄ ｏ ｈａ ｔｎ ｉ ｙ ｒ ｓ ｉ ｐ ｎ ｉ ｅｓｍｕｌ ｎ ｏ ｓｅ ｕａｉ ｎ ； ｅ ｕ ｓｖ ｅ ｕ ｎ ｅｍｅｈｏ ｅ ｅ ｅ ｔ ｒ ｒ ｏ ； ｔ ｅ ｕ ｑ ｔｏ ｓ ｒ ｃ ｒ ｉ ｅｓ ｑ ｅ ｃ ｔ ｄ； ｌｍ ｎ ａ ｙ ｐ ｏ ｆ ａ
收 稿 日期 ：２ １— ０ １ ０ ０ １— ０ 作者简介：佟瑞洲 （９ ２ ） １６ 一 ，男，辽宁凌源 人，教授． 。
第 ６期
佟瑞洲等：一个丢番 图方程组的初等解法
３９ ９
引理 ２ （ Ｕ ＋ ＝Ｕ ｖ ｖ ； ｉ ） Ｕ ＋３ ．
（） ＋ ｉ ＝Ｕ ｉ （ ｉＵ一 ｉ ） ＝Ｕ ｉ ， ＋【 ； ， ： 一ｖ ； ＝ ＝２ Ｕ ．
（ ） ＝Ｕ ＝２ 一１ ＋ｌ ｉ Ｕ２ Ｖ ２＋３ ＝６ ，
由引理 ２可推得 ：
引理３ ， （１ Ｕ （ ｏ Ｕ） Ｕ 兰 一） ｍ ｄ ，。
利 用上 述 引理 ，给 出定 理 的证 明过程 。 证 明 由方程 组 （） １ 的第 二 个方程 得 到
（ １ 一 （ ｚ ： ２ 一） ３ ｙ １ ｙ ２）