函数模型及其应用

x 1
(x N )
*
知识探究（一）：无条件函数模型的选择
计算三种方案所得回报的增长情
况，选择好的投资方案.
设第x天所得的回报为y元， 方案一： y 40 ( x N )
*
方案二： y 10 x ( x N )
*
方案三： y 0.4 2
x 1
(x N )
*
请将三个方案前11天所得的回报表格
身高 体重 身高 60 6.13 120 70 7.90 130 80 9.99 140 90 100 110 12.15 15.02 17.50 150 160 170
体重
20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
身高 体重
60 6.13
70 7.90
80 9.99
90来自百度文库
思考3:假设日均销售利润为y元，那么y与x 的关系如何？
思考4:上述关系表明，日均销售利润y元是x 的函数，那么这个函数的定义域是什么？
思考5:这个经营部怎样定价才能获得最大利 润？
思考6:你能总结一下用函数解决应用性问题 中的最值问题的一般思路吗？
选取自变量 求函数最值 建立函数式 确定定义域
体重（kg）
o
身高（cm）
思考3:怎样确定拟合函数中参数a，b的值？
思考4:如何检验函数 y 2 1.02 的拟合程度？
x
思考5:若体重超过相同身高男性体重的1.2 倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地 区一名身高为175cm, 体重为78kg的在校男 生的体重是否正常？
思考6:你能总结一下用拟合函数解决应用性 问题的基本过程吗？
100
110
12.15 15.02 17.50
身高
体重
120
130
140
150
160
170
20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
思考1:上表提供的数据对应的散点图大致如 何？ 体重（kg）
o
身高（cm）
思考2:根据这些点的分布情况，可以选用那 个函数模型进行拟合，使它能比较近似地反 映这个地区未成年男性体重y(kg)与身高 x(cm)的函数关系？
销售单 价/元 日均销 售量/桶
6
7
8
9
10
11
12
480 440 400 360 320 280 240
思考1:你能看出表中的数据有什么变化规律？
销售单 价/元 日均销 售量/桶
6
7
8
9
10
11
12
480 440 400 360 320 280 240
思考2:假设每桶水在进价的基础上增加x元, 则日均销售量为多少？
收集数据 画散点图
选择函数模型
求函数模型
No
检验
Yes
用函数模型解 释实际问题
3.2
函数模型及其应用
问题提出
函数是描述客观世界变化规律的基 本数学模型，不同的变化规律常常需要 用不同的数学模型来描述.那么，对于一 个实际问题，应当如何选择恰当的函数 模型来刻画呢？
一、新课引入
到目前为止，我们已经学习了哪些常用函数？ 一次函数
二次函数 指数函数 对数函数
y ax b
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1) f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且 a≠1) f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
对数函数模型 幂函数模型
知识探究（一）：无条件函数模型的选择
例1、假设你有一笔资金用于投资, 现 有三种投资方案供你选择，这三种方案 的回报如下: 方案一: 每天回报40元； 方案二: 第一天回报10元, 以后每天比 前一天多回报10元； 方案三: 第一天回报0.4元, 以后每天 的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？
知识探究（一）：无条件函数模型的选择
设第x天所得的回报为y元， 方案一: 每天回报40元； 方案二: 第一天回报10元, 以后每天比 前一天多回报10元；
y 40 ( x N )
*
y 10 x ( x N )
*
方案三: 第一天回报0.4元, 以后每天 的回报比前一天翻一番.
y 0.4 2
思考4:你能画出这个函数的图象吗？ 分段函数是刻画现实
y
世界的重要模型
2400 2300 2200 2100 2000 .
.
. .
.
.
x
1 2 3 4 5
知识探究（一）：函数最值问题
例5：某桶装水经营部每天的房租、人员 工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5 元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
回答实际问题
解决应用题的一般程序是： ①审题：弄清题意，分清条件和结论， 理顺数量关系； ②建模：将文字语言转化为数学语言， 利用数学知识，建立相应的数学模型； ③解模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将用数学知识和方法得出的结 论，还原为实际问题的意义．
知识探究（二）：函数拟合问题 例5：某地区不同身高(单位：cm)的未成 年男性的体重(单位：kg)平均值如下表：
基础知识梳理
(2)对数函数y＝logax(a＞1)与幂函数 y＝xn(n＞0) 对数函数y＝logax(a＞1)的增长速 度，不论a与n值的大小如何总会 慢于 y ＝xn的增长速度，因而在定义域内总存 在一个实数x0，使x＞x0时有 logax＜xn .
基础知识梳理 由(1)(2)可以看出三种增长型的 函数尽管均为增函数，但它们的 增长速度不同，且不在同一个档 次上，因此在(0，＋∞)上，总会存 在一个x0，使x＞x0时 有 ax＞xn＞logax .
1.2
2.8 6.0 12.4 25.2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
40
40 40
280
320 360
70
80 90
280
360 450
25.6
51.2 102.4
50.8
102.0 204.4
40
400
100
550
204.8
…
409.2
…
40
…
440
…
110
…
660
…
409.6 818.8
y ax bx c （a≠0）
2
y a ( a 0, 且 a 1)
x
y log a x ( a 0, 且 a 1)
幂函数
y x
a
基础知识梳理
1．几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型
二次函数模型
f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
规律方法总结
3．对数函数模型：能用对数函数表达式 表达的函数模型，其增长特点是开始阶段增长 的较快(a>1)，但随着x的逐渐增大，其函数值 变化越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”． 4．幂函数型函数模型：能用幂函数表达 的函数模型，其增长情况随xn中n的取值变化 而定，常见的有二次函数模型．
例3：一辆汽车在某段路程中的行驶速 度与时间的关系如图： 思考1:该图中
作出上述三个函数的图象：
y（元）
o
x（天）
问题提出
1.指数函数y=ax (a>1)，对数函数 y=logax(a>1)和幂函数y=x n (n>0)在区 间（0，+∞）上的单调性如何？
思考:在同一坐标系中这三个函数图象的相对 位置关系如何？请画出其大致图象.
y y=2x
y=x2 y=log2x
1
o
1 2
4
x
思考:根据图象，不等式log2x<2x<x2和 log2x<x2<2x成立的x的取值范围分别如何？
y y=2x y=x2 y=log2x 1
o
1 2
4
x
思考6:上述不等式表明，这三个函数模 型增长的快慢情况如何？
基础知识梳理
2.三种增长型函数之间增长速度的比
较
(1)指数函数y＝ax(a＞1)与幂函数y＝ xn(n＞0) 在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多 少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn， 但由于ax的增长 快于 xn的增长，因而总 存在一个x0，当x＞x0时有 ax＞xn .
想一想
根据指数函数模型、线性函数模型与对 数函数模型之间的增长速度之间的区别，你
认为它们分别适合于描述什么样的变化规律？
规律方法总结
常见函数模型的理解 1．直线模型，即一次函数模型，其增长 特点是直线上升(x的系数k＞0)，通过图象可以 很直观地认识它． 2．指数函数模型：能用指数型函数表达 的函数模型，其增长特点是随着自变量的增 大，函数值增大的速度越来越快(a>1)，常形 象地称之为“指数爆炸”．
90 80 70 60 50 50 40 30 20 10
y
90 80 75 65
反映的数据， 应怎样理解？ 思考2 ：求图 中阴影部分的 面积，并说明 所求面积的实 际含义。
x
1 2 3 4 5
思考3:假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这 段路程前的读数为2004km，那么行驶这段路 程时汽车里程表读数s(km)与时间(h)的函数 关系如何？ y
补充完整：
天次
方案一 当天回 报 40 累计回 报 40
方案二 当天回 报 10 累计回 报 10
方案三 当天回 报 0.4 累计回 报 0.4
1 2
40
40 40 40 40
80
120 160 200 240
20
30 40 50 60
30
60 100 150 210
0.8
1.6 3.2 6.4 12.8
90 80 70 60 50 40 30 20 10
x
t
1
t
2
3
4
5
50t 2004, 0 t 1, 80(t 1) 2054,1 t 2, s 90(t 2) 2134, 2 t 3, 75(t 3) 2224, 3 t 4, 65(t 4) 2299, 4 t 5.