高考数学一轮复习函数函数的单调性与最值教学案理北师大版

第二节 函数的单调性与最值[最新考纲] 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数 减函数定 义 在函数y ＝f (x )的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A 当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间A 上是增加的 当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间A 上是减少的图 像 描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的 (2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间A 上是增加的或减少的，那么称A 为单调区间． 2．函数的最值前提 函数y ＝f (x )的定义域为D ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈D ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意的x ∈D ，都有f (x )≥M ；(4)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M结论M 为函数y ＝f (x )的最大值，记作y max ＝f (x 0)M 为函数y ＝f (x )的最小值，记作y min ＝f (x 0)[常用结论]1．函数单调性的结论 (1)对任意x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f x 1－f x 2x 1－x 2＞0⇔f (x )在D 上是增函数；f x 1－f x 2x 1－x 2＜0⇔f (x )在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋a x(a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”． 2．函数最值存在的2个结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(2)若定义在R 上的函数f (x )有f (－1)＜f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材改编1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上( ) A ．递减 B ．递增 C ．先递减后递增D ．先递增后递减C [因为函数y ＝x 2－6x ＋10的图像为抛物线，且开口向上，对称轴为直线x ＝3，所以函数y ＝x 2－6x ＋10在(2,3)上为减函数，在(3,4)上为增函数．]2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4A [y ＝3－x 在R 上递减，y ＝1x在(0，＋∞)上递减，y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减，故选A.]3．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0， 即k ＜－12.]4．已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．2 25 [易知函数f (x )＝2x －1在x ∈[2,6]上为减函数，故f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.]考点1 确定函数的单调性(区间)确定函数单调性的4种方法(1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图像法：由图像确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图像不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．求函数的单调区间(1)函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32和[2，＋∞) C ．(－∞，1]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32和[2，＋∞) (2)函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为________，单调递减区间为________． (1)B (2)[2，＋∞) (－∞，－3] [ (1)y ＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－x 2－3x ＋2，1＜x ＜2.如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2.故选B. (2)令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数．令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，所以y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．](1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．(2)求复合函数的单调区间的步骤一般为：①确定函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”．含参函数的单调性[一题多解]判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1＜a ＜3)在x ∈[1,2]上的单调性．[解] 法一：(定义法)设1≤x 1＜x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－⎝⎛⎭⎪⎫ax 21＋1x 1＝(x 2－x 1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 1＋x 2－1x 1x 2，由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0,2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14. 又1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增． 法二：(导数法)因为f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x2， 因为1≤x ≤2，所以1≤x 3≤8， 又1＜a ＜3， 所以2ax 3－1＞0， 所以f ′(x )＞0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1＜a ＜3)在[1,2]上是增函数．定义法证明函数单调性的一般步骤：①任取x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2；②作差f (x 1)－f (x 2)；③变形(通常是因式分解和配方)；④定号(即判断f (x 1)－f (x 2)的正负)；⑤下结论(即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性)．1.函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的递增区间为________．(－∞，－1]，[0,1] [由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图像如图．由图像可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的递增区间为(－∞，－1]，[0,1]．] 2．判断并证明函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． [解] 法一：(定义法)设－1＜x 1＜x 2＜1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－1x 2－1，由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递减；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增． 法二：(导数法)f ′(x )＝a x －1－ax x －12＝－ax －12，所以当a ＞0时，f ′(x )＜0，当a ＜0时，f ′(x )＞0， 即当a ＞0时，f (x )在(－1,1)上为单调减函数， 当a ＜0时，f (x )在(－1,1)上为单调增函数． 考点2 函数的最值求函数最值的5种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2x ≤0，x ＋1x＋a x ＞0的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2](2)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．(3)函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．(1)D (2)3 (3)14 [(1)当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立．故当x ＝1时取得最小值2＋a ， ∵f (x )的最小值为f (0)，∴当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2单调递减，故a ≥0， 此时的最小值为f (0)＝a 2，故2＋a ≥a 2，得－1≤a ≤2. 又a ≥0，得0≤a ≤2.故选D.(2)∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上单调递减，∴f (x )max ＝f (－1)＝3－log 21＝3.(3)令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.][逆向问题] 若函数f (x )＝－a x ＋b (a ＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则a ＝________，b ＝________.1 52 [∵f (x )＝－a x ＋b (a ＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是增函数，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.](1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．如本例(3)．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．如本例(1)．(3)若函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，则必在区间的端点处取得最值．如本例(2)；若函数f (x )在区间[a ，b ]上不单调，则最小值为函数f (x )在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值，最大值为函数 f (x )在该区间内的极大值和区间端点值中最大的值．1.函数f (x )＝x 2＋4x的值域为________．(－∞，－4]∪[4，＋∞) [当x ＞0时，f (x )＝x ＋4x≥4，当且仅当x ＝2时取等号；当x ＜0时，－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≥4，即f (x )＝x ＋4x≤－4，当且仅当x ＝－2时取等号，所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．] 2．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．1 [法一：(图像法)在同一坐标系中，作函数f (x )，g (x )图像， 依题意，h (x )的图像如图所示． 易知点A (2,1)为图像的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二：(单调性法)依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2 x 是增函数， 当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数， 所以h (x )在x ＝2时取得最大值h (2)＝1.] 考点3 函数单调性的应用比较大小比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．已知函数f (x )的图像向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞cD [根据已知可得函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，f (2)＞f (2.5)＞f (3)，所以b ＞a ＞c .] 本例先由[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0得出f (x )在(1，＋∞)上是减函数，然后借助对称性，化变量－12，2,3于同一单调区间，并借助单调性比较大小．解不等式求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))＞f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )＞h (x )(或g (x )＜h (x ))．此时要特别注意函数的定义域．定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,2)B ．[0,2)C ．[0,1)D ．[－1,1)C [因为函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，所以函数在[－2,2]上单调递增，所以－2≤2a －2＜a 2－a ≤2，解得0≤a ＜1，故选C.]本例在求解时，应注意隐含条件为a 2－a ∈[－2,2]，2a －2∈[－2,2]．[教师备选例题]f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则不等式f (x )＋f (x －8)≤2的解集为________．(8,9] [因为2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2可得f [x (x －8)]≤f (9)，f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x x －8≤9，解得8<x ≤9.]根据函数的单调性求参数利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．(1)(2019·郑州模拟)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a ＜3C ．a ≤－3D ．a ≥－3(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a x ＋1，x ＜1，a x，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0成立，那么a 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 (1)C (2)C [(1)y ＝x －a －2＋a －3x －a －2＝1＋a －3x －a －2＝1＋a －3x －a ＋2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＋2≤－1，得a ≤－3.所以a 的取值范围是a ≤－3. (2)由已知条件得f (x )为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，2－a ×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.故选C.] 分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．如本例(2)．1.若函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]B [因为函数f (x )＝2|x －a |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ＋3，x ≥a ，－2x ＋2a ＋3，x ＜a ，且函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，所以a ＞1.所以a 的取值范围是(1，＋∞)．故选B.]2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)D [作出函数f (x )的图像如图所示 ，由图像可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D.]3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)D [因为当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图像是一条连续的曲线．因为当x ≤0时， 函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数， 所以函数f (x )是定义在R 上的增函数． 因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ， 即x 2＋x －2＜0， 解得－2＜x ＜1.]。