《线性代数》习题及答案

《线性代数》作业

一、选择题

1．如果D=333231232221

131211

a a a a a a a a a ，则行列式33

3231232221

13

1211

96364232a a a a a a a a a 的值应为： A ． 6D B ．12D C ．24D D ．36D 2．设A 为n 阶方阵，R （A ）=r<n,那么：

A ．A 的解不可逆

B ．0=A

C.A 中所有r 阶子式全不为零

D. A 中没有不等于零的r 阶子式 3．设n 阶方阵A 与B 相似，那么：

A ．存在可逆矩阵P ，使

B AP P =-1

B ．存在对角阵D ，使A 与B 都相似于D

C ．E B E A λλ-=-

D ．B A ≠

4．如果3333231232221

131211

==a a a a a a a a a D ，则13

1211332332

22312133

32

31

323232a a a a a a a a a a a a ---等于

A ． 6

B ． -9

C ．-3

D ．-6 5．设矩阵n m ij a A ⨯=)(，m<n,且R （A ）=r,那么：

A ．r<m

B ．r<n

C ．A 中r 阶子式不为零

D ．A 的标准型为⎪⎪⎭⎫

⎝⎛0E ， 其中E 为r 阶单位阵。

6．A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征根，则A 的伴随矩阵*

A 的特征根之一是：

A ．n

A

1

-λ

B ．A λ

C ．A 1

-λ

D ．n

A λ

7．如果⎪⎩

⎪

⎨⎧=--=+=++050403z y kx z y z ky x 有非零解，则k 应为：____________。

A ． k =0

B ． k =1

C ． k =2

D ． k =-2 8．设A 是n 阶方阵，3≥n 且2)(-=n A R ，*

A 是A 的伴随阵，那么：___________。

A ． 0≠*

A B ． ()0R A *= C ． 1

-*=n A

A D ． 2)(≤*A R

9．设A 为n m ⨯矩阵，齐次线性方程组0=AX 仅有零解的充要条件是：

A ． A 的列向量线性无关

B ． A 的列向量线性相关

C ． A 的行向量线性相关

D ． A 的行向量线性相关

10．如果

⎝

⎛=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k 应为：________。

A ．0=k

B ．1-=k

C ．2=k

D ．2-=k 11．下列命题正确的是___________。

A ．T T T

B A AB =)( B ．若B A ≠则B A ≠

C ．设A 、B 为三角形矩阵，则A+B 为三角矩阵

D ．))((22

E A E A E A -+=- 12．矩阵A 、B 相似的充要条件是____________。

A ．A 与

B 有相同的特征值 B ．A 与B 相似于同一矩阵

C ．A 与B 有相同的特征向量

D ．k

A 形似于k

B 二、填空题

1．行列式与它的转置行列式的值是__________。 2．矩阵n m A ⨯的K 阶子式共有___________;

3．n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 有__________________________________; 4．行列式的某行（列）加上另一行（列）的k 倍，行列式的值______________。

5．设⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--=11334221t

A ，

B 为三阶非零矩阵，且0=AB ，则t=________________。 6．A 、B 为n 阶方阵，若存在可逆矩P ，使_________则称A 与B 相似。

7．__________________0

1

=

n

λλ。 8．若矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=11012321k A 的2)(=A R ，则____________=k 。

9．若方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++0

00321

321321x x x x x x x x x λλλ仅有零解，则λ应满足的条件是_______________。

10．设多项式x

x x x x f 21211

1)(=则)(x f 中3x 的系数等于_________，2

x 的系数等于_________。

11．已知)3,2,

1(=α，)1,2,3(=β，且α与βα+k 正交，则=k ____________。

12．设A 是3阶方阵，且3||-=A ，则行列式|3|1-A =（ ）

13．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=315021001A ,⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=443112112013B ,则AB 的秩是）

（ 14．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=00

0430000200

0010A ，则1

-A =）

（ 15若线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=+-=+4

143432

321

21a x x a x x a x x a x x 有解，则常量4321,,,a a a a 应满足条件___________。

16.设4阶方阵，),,,(),,,,(43214321B A A A B A A A A A ==其中44321,,,,B A A A A 都是四元列向量，已知

2,1=-=B A ,则行列式B A 2+=( )

17已知矩阵A=PQ,其中⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=121P ,Q=)2,1,2(-,则矩阵)(100=A

18.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100230211A ,⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=026328421421B ,则秩)(AB =( )

三、证明题

1．设A 是三阶方阵，*

A 是A 的伴随矩阵，A 的行列式为,4

1

=

A 求证：2

1)2(A A A =-*-．

2．已知A 为n 阶方阵，且0432

=--E A A ，试证A 可逆，并求1

-A 。