直线的一般形式

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(完整版)直线的一般式方程(附答案)

直线的一般式方程[学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.知识点直线的一般式方程1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x ，y 的二元一次方程；任何关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)叫做直线方程的一般式.2.对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，其斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－C B ；当B ＝0时，在x 轴上的截距为－C A ；当AB ≠0时，在两轴上的截距分别为－C A ，－CB .3.直线一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x ，y 的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列. (3)x 的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 思考 (1)当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0表示什么？ (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？答 (1)当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面；当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A ，B 不同时为零时，即A 2＋B 2≠0时才代表直线.(2)不是.当一般式方程中的B ＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C ＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.题型一直线的一般形式与其他形式的转化例1 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )A.3x ＋4y ＋7＝0B.4x ＋3y ＋7＝0C.4x ＋3y －42＝0D.3x ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A. 3 B.－5 C.95 D.－33答案 (1)B (2)D解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项.又y ＝－43x ＋14过点(0,14)即直线过第一象限，所以只有B 项正确. (2)令y ＝0则x ＝－3 3.跟踪训练1 一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程.解设所求直线方程为x a ＋yb ＝1，∵点A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.第二个方程组无解.故所求直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.题型二直线方程的应用例2 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l 平行； (2)过点(－1,3)，且与l 垂直.解方法一 l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.(1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.方法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1,3)代入上式得m ＝－9.∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.跟踪训练2 a 为何值时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0与x －ay －1＝0. (1)平行；(2)垂直.解当a ＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；当a ≠0且a ≠1时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0的斜率为k 1＝－1＋a2，b 1＝2；直线x －ay －1＝0的斜率为k 2＝1a ，b 2＝－1a .(1)当两直线平行时，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，得1a ＝－1＋a 2，a ≠－12，解得a ＝－1或a ＝2.所以当a ＝－1或2时，两直线平行. (2)当两直线垂直时，由k 1·k 2＝－1，即1a ·(－1＋a )2＝－1，解得a ＝13. 所以当a ＝13时，两直线垂直.题型三由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3 (1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足______. (2)当实数m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1.①倾斜角为45°；②在x 轴上的截距为1. (1)答案 m ≠－3解析若方程不能表示直线，则m 2＋5m ＋6＝0且m 2＋3m ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2＋3m ＝0，得m ＝－3，所以m ≠－3时，方程表示一条直线. (2)解 ①因为已知直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1，所以－2m 2＋m －3m 2－m＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－(m 2－m )，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1.②因为已知直线在x 轴上的截距为1，令y ＝0得x ＝4m －12m 2＋m －3，所以4m －12m 2＋m －3＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3，解得⎩⎨⎧m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2.跟踪训练3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0. (1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围. (1)证明直线方程变形为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15，它表示经过点A ⎝⎛⎭⎫15，35，斜率为a 的直线. ∵点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，∴直线l 必过第一象限.(2)解如图所示，直线OA 的斜率k＝35－015－0＝3.∵直线不过第二象限， ∴直线的斜率a ≥3. ∴a 的取值范围为[3，＋∞).一般式求斜率考虑不全致误例4 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －(2m －6)＝0，若此直线的斜率为1，试确定实数m 的值.分析由直线方程的一般式，可转化为斜截式，利用斜率为1，建立方程求解，但要注意分母不为0.解由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，①2m 2＋m －1≠0. ② 由①，得m ＝－1或m ＝43.当m ＝－1时，②式不成立，不符合题意，故应舍去；当m ＝43时，②式成立，符合题意.故m ＝43.1.若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A.A ≠0 B.B ≠0 C.A ·B ≠0 D.A 2＋B 2≠02.已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限3.过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A.x －2y －1＝0B.x －2y ＋1＝0C.2x ＋y －2＝0D.x ＋2y －1＝04.若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( ) A.－1 B.1 C.12 D.－125.已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a ＝________.一、选择题1.直线x ＋y －3＝0的倾斜角的大小是( ) A.45° B.135° C.1 D.－12.直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A.－2 B.2 C.－3 D.33.直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( ) A.C ＝0，B >0 B.A >0，B >0，C ＝0 C.AB <0，C ＝0D.AB >0，C ＝04.直线ax ＋3my ＋2a ＝0(m ≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k 等于( ) A.－3 B.3 C.13 D.－135.直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R )必过定点( ) A.(3,2) B.(－3,2) C.(－3，－2) D.(3，－2)6.若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3构成三角形，则a 的取值范围是( ) A.a ≠±1 B.a ≠1，a ≠2 C.a ≠－1D.a ≠±1，a ≠27.直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )二、填空题8.已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝_______.9.若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝______.10.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是______________.11.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________.三、解答题12.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.13.(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值.(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？当堂检测答案1.答案D解析方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A 、B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0. 2.答案 C解析由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋cb ，∵ab <0，∴直线的斜率k ＝－ab >0，直线在y 轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限. 3.答案 A解析由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1,0).故所求直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y－1＝0. 4.答案 B解析由两直线垂直，得12×⎝⎛⎭⎫－2m ＝－1，解得m ＝1. 5.答案－3或1解析两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，所以a 3＝1a ＋2≠－21，解得a ＝－3或a ＝1.课时精练答案一、选择题 1.答案 B解析直线x ＋y －3＝0，即y ＝－x ＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°，故选B. 2.答案 D 解析由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，解得：m ＝3. 3.答案 D解析通过直线的斜率和截距进行判断. 4.答案 D解析由点(1，－1)在直线上可得a －3m ＋2a ＝0(m ≠0)，解得m ＝a ，故直线方程为ax ＋3ay ＋2a ＝0(a ≠0)，即x ＋3y ＋2＝0，其斜率k ＝－13.5.答案 A解析由y ＝mx －3m ＋2，得y －2＝m (x －3).所以直线必过点(3,2). 6.答案 A解析因为直线x ＋ay ＝3恒过点(3,0)，所以此直线只需不和x ＋y ＝0，x －y ＝0两直线平行就能构成三角形.所以a ≠±1. 7.答案 C解析将l 1与l 2的方程化为斜截式得： y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C. 二、填空题 8.答案 35解析由两直线垂直的条件，得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35.9.答案 2解析线段AB 的中点为(1,1)，则m ＋3－5＝0，即m ＝2. 10.答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞)解析当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1，只要－a a ＋1>1或者－aa ＋1<0即可，解得－1<a <－12或者a <－1或者a >0.综上可知，实数a 的取值范围是 (－∞，－12)∪(0，＋∞).11.答案 2x ＋3y ＋4＝0解析由条件知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＋4＝0，2a 2＋3b 2＋4＝0，易知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋4＝0上，即2x ＋3y ＋4＝0为所求.三、解答题12.解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为0，当然相等，所以a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当a ≠2时，截距存在且均不为0，所以a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.所以a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，所以a ≤－1.综上，a 的取值范围是a ≤－1.13.解方法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0， l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行. ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3. (2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直. ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直.③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 方法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2. ∴m 的值为2或－3. (2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1，将a＝±1代入方程，均满足题意.故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.。

直线的一般式方程

因为方程表示直线，所以 m2－3m＋2 与 m－2 不能同时为 0，故 m≠2．
(2)由直线的方程可求出斜率 k=－m2－m－3m2＋2＝1，解得 m＝0．
探究：课本P65
在方程Ax By C 0中，A, B,C为何值时，方程表示的直线
k 0, y y0
y
y0
l
yAxC C BB B
l与x轴平行 B 0, A 0,C 0 x l与x轴重合 B 0, A 0,C 0
法二由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0. 将点(－1,3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
练习2.已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l平行； (2)过点(－1,3)，且与l垂直
解（2）法一 ∵ kl=－34, l′与 l 垂直，∴l′的斜率为43，又 l′过点(－1,3)，
练习2.已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1,3)，且与直线l平行； (2)过点(－1,3)，且与直线l垂直
解（1）法一 l 的方程可化为 y＝－34x＋3，∴l 的斜率为－34. ∵l′与 l 平行，∴l′的斜率为－34. 又∵l′过点(－1,3) ∴由点斜式知方程为 y－3＝－34(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
（1）已知直线 l
过点
A(5, 3)
，倾斜角为
2
，则直线 l
y 3 3(x 5)
方程为________________.
3
y 5x 3 （2）已知直线 l 过点 A(0, 3) ，斜率为 5 ，则直线 l 方程为________________.

直线的几种表达形式

直线的几种表达形式直线是平面几何中最基本的图形之一，我们常常需要用不同的方式来表达直线的性质和特点。

本文将介绍直线的几种常见表达形式，帮助读者更好地理解和应用直线的相关概念。

1. 两点式表达直线的两点式表达是最常见和直观的表达方式之一。

两点式表达通过给出直线上的两个点的坐标来唯一确定一条直线。

其中，直线上的两个点分别称为直线的首点和末点。

例如，我们可以表示一条直线L通过两个点A(2, 3)和B(5, 7)的两点式表达为：L：[(2, 3), (5, 7)]。

这意味着直线L上的所有点都满足直线上点的坐标满足点到直线两个端点的距离与线段的长度成比例的关系。

2. 斜截式表达斜截式是另一种常用的直线表达形式，它将直线的性质与直线在坐标系中的截距联系起来。

斜截式表达形式为y = mx + c，其中m为直线的斜率，c为直线与y轴的截距。

例如，我们可以表示一条斜率为2，截距为3的直线L的斜截式表达为：L：y = 2x + 3。

这表示直线L上的每个点都满足y坐标等于2倍的x坐标加上3。

斜截式表达形式可以直接通过直线与坐标轴的交点确定直线的截距，通过斜率可以推导直线的斜率与直线在坐标系中的夹角。

3. 一般式表达一般式是直线的另一种常见表达形式，也被称为标准型。

一般式表达形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A、B至少有一个不为零。

例如，我们可以表示一条过点(3, 4)和(1, 2)的直线L的一般式表达为：L：2x -y + 2 = 0。

这表示直线L上的每个点都满足2倍的x坐标减去y坐标再加上2等于0。

一般式表达形式可以通过将斜截式表达式整理并与0相等得到。

它能够用于表示任意方向的直线，对于可以写成斜截式的直线，一般式表达形式与斜截式相等。

4. 参数方程表达参数方程是一种特殊的直线表达形式，通过使用一个或多个参数来描述直线上的点。

参数方程表达形式为x = x₀ + at，y = y₀ + bt，其中x₀、y₀为直线上的一个已知点的坐标，a、b为直线的方向向量的两个分量，t为参数。

2.2.3 直线的一般式方程

直线的方程．
小试牛刀
1.直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为
化为截距式为
;
.
1.直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为
化为截距式为
2
;
.
1
解析:方程化为 3y=-2x-1,则 y=-3x-3;
x
y
-
-
方程化为 2x+3y=-1,得-2x-3y=1,即 1 + 1=1.
2
2
1
答案:y=-3x-3;
x
y
-
-
1 + 1=1
2
3
3
典例解析
例1 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.
(1)斜率是 3 ,且经过点A(5,3);
(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;
(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;
(4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.
思路分析:先选择合适的形式将直线方程写出来,再化为一般式.
C．2x＋y＝2＝0
D．x＋2y－1＝0
)
答案 A
解析：设所求直线方程为 x－2y＋c＝0，把点(1,0)代入可求得 c＝－1.
所以所求直线方程为 x－2y－1＝0.故选 A.
5．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0 表示直线．
(1)求实数 m 的范围；
(2)若该直线的斜率 k＝1，求实数 m 的值．
人教2019 A版选择性必修一
第二章
直线和圆的方程
2.2.3直线的一般式方程
问题导学
问题：由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形.
(1)斜率是1,经过点A(1,8);

直线的一般式方程

A.C=0,B>0
B.C=0,B>0,A>0
C.C=0,AB<0
D.C=0,AB>0
【解析】选D.直线过原点,则C=0,又过第二、四象限,所以斜率为负值,即 A 0 ,
B
所以C=0,AB>0.
4.已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1，1)和 Q(2，2)，若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点，求实数m的取值范围. 解：如图所示，直线l:x+my+m=0过定点 A(0，-1)，当m≠0时，
3.2.3 直线的一般式方程
我们共学习了哪几种直线方程的形式?
yy0k(xx0)
点斜式
y kxb
斜截式
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
两点式
x y 1把关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0(A,B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式. 一般式适用于任意一条直线.
(1)求实数m的范围.(2)若该直线的斜率k=1,求实数
m的值.
【解析】(1) 由
m2－3m
解2 得0, m=2,
m 2 0,
若方程表示直线，则m2-3m+2与m-2不能同时为
0，
故m≠2(.m23m2) 1,
m2
(2)由
解得m=0.
例.如果直线l经过点P(2,1),且与两坐标轴围成的三角形面积为S.若这样的直线l有且只有2条, 求S的取值范围.
-4·4S<0,解得0<S<4.
1.直线方程的一般式Ax+By+C=0（A，B不同时为0） 2.直线方程的一般式与特殊式的互化. 3.两条直线平行与垂直的判定.

直线的5种形式

直线的5种形式直线的五种形式包括：
1、一般式：Ax+By+C=0，其中A和B不同时为0。

2、点斜式：y-y
0=k(x-x
)，其中(x
,y
)是直线上的一点，k是直线的斜率。

3、截距式：x/a+y/b=1，其中a和b分别是直线在x轴和y轴上的截距，且a 和b都不为0。

4、斜截式：y=kx+b，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。

5、两点式：(y-y
1)/(y
2
-y
1
)=(x-x
1
)/(x
2
-x
1
)，其中(x
1
,y
1
)和(x
2
,y
2
)是直线上的
两点，且x
1≠x
2
，y
1
≠y
2。

这五种形式都可以用来表示直线方程，但各有其适用场景和限制。

例如，一般式适用于所有直线，但可能不是最直观的形式；点斜式适用于知道直线上一点和斜率的情况；截距式适用于知道直线在坐标轴上的截距的情况；斜截式适用于知道直线的斜率和在y轴上的截距的情况；两点式适用于知道直线上两点的情况。

3.2.1 直线的一般式方程

y
解：由 x 2 y 6 0 1 y x3 有 2 1 故 l 的斜率 k 2 纵截距为3 令y 0 则
B(0,3)
A(6,0)
0
x
x 6
即横截距为－6
针对性练习：课本P99 练习1、2、3
课堂小结：
斜率和一点坐标斜率k和截距b 点斜式斜截式
y y0 k ( x x0 )
轴
平行
；
时，方
2.当 A 0，B 0，C为任意实数程表示的直线与x轴垂直；
3.当 A 0，B 0，C 0 时，方程表示的直重合线与x轴———————— ；
4.当A 0，B 0，C 0 时，方程表示的直线与y轴重合；
5.当 C 0, A, B不同时为0 时，方程
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，求①BC边所在直线的方程 ②AC边所在直线的方程
y C .
. A
O
x
. B
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，求③BC边上中线所在直线的方程
y C .
. A
O
.M
. B
x
中点坐标公式
y
A(x1，y1)
.
C
. A
O
.
M
x
.
B
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，
求①BC边所在直线的方程
②AC边所在直线的方程
两点式截距式
③BC边上中线所在直线的方程两点式
④BC边上垂直平分线所在直线的方程? 点斜式
⑤BC边上高所在直线的方程?
点斜式

直线的一般式方程

(A) A·B>0,A·C>0
(B) A·B>0,A·C<0
(C) A·B<0,A·C>0
(D) A·B<0,A·C<0
2、设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且 │PA│=│PB│，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程是( )
A.2y-x-4=0 B.2x-y-1=0
C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0
例题分析
例2、把直线l 的方程x –2y+6= 0化成斜截式，求出
直线l 的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.
y
. B
.
A
O
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
；舟山出海捕鱼舟山出海捕鱼
；
、相互照见即简易得多、笔直得多。哪像今人这般诡秘周折？什么叫“天地作合”？ ? 《诗经》里慢慢找。懂得天地，方懂男女。最后，我想对孩子说一句：多闻草木少识人。 ? 这年头，名人的繁殖速度比细菌还快，都急疯了。 ? 草木润性，尘沸乱心。这个信息爆炸和绿色稀疏的年代，即便“少识”，业已识多；即便“多闻”，亦然寡闻。生命的舞鞋偶尔，在路边的鞋店里，你会遇见一些特殊的顾客，他（她）是一位拄着双拐或摇着轮椅的不幸的人，空荡荡的裤管暗示他们已经失去了一条左腿或一条右腿……或许，一开始你并未多虑什么，只是用同情和尊敬的目光轻轻地掠过那些受伤的躯体。可冷不丁，一个清冷的念头升了起来：在其一生中，会有多少永不曾穿用过的鞋子啊！而那只永远多余的鞋子又将在他们敏感脆弱的心灵中占据什么样的位置？这个念头久久折磨并感动着你。虽思忖不出更多的理性的意义，但觉得有一种清洌的生命之美隐含在其中。我曾亲眼目睹一位豆蔻少女，由双亲陪着将一辆轮椅摇进了鞋店。全家人兴致勃勃地围着柜台指点个不停，请老板把一只只精美的盒子打开、浏览，再换一只，打开……约半小时光景，他们在这不足十二平米的店铺里已研究了不下十双鞋子。奇怪的是，那少女总嫌左鞋的质地不够完美而遗憾的摇头，在常人看来，这不免显得赘余，因为这命运已经注定她永无可能将这只实际的鞋子穿在脚上……但她和家人却挑剔得如此仔细、专注，笃诚的神情让人联想到收藏家。一团美丽的小小的谜，像睫毛上的雾，不是么？直到后来—— 那天，我应邀到一位朋友的朋友家参加一个晚会。到了才发现，晚会的女主人——那位弹奏出美妙琴声的典雅女子竟是位残疾人。她就那样怡静地坐在琴台后，披一袭水样的黑裙，不时回眸冲客人微笑着致意…… 那是一支名叫《在水一方》的曲子，我躲在最远的一处沙发上用心听着，惟觉得她身上有一股月光般的清洁和摄人魂魄的力量……朋友告诉我，她曾是位小有名气的舞蹈演员，跳芭蕾舞的，在国内比赛中获过奖，四年前，她在旅游登山时遇上了滚石，失去了一条左腿。我愣住了，这灾难对一个靠足尖支撑生命的艺术女子而言，难道不比死亡更残酷吗？是的，朋友感触地说，她绝望过、痛不欲生过、也曾偷偷服下过安眠药……可她毕竟挺过来了，现在她活得很出色，除了每天教学生练琴，还坚持写作，刚出了本散文集，很值得一读。怀着好奇和钦佩的心情，我提出参观一下主人的书房。迎面墙上有一幅放大的黑白剧照，那是她在全国比赛中演出《天鹅湖》的情景……最后，我驻足在一排栗色的工艺橱前，透过浅蓝的挡板玻璃，我看到十几双洁白纤巧的专用舞鞋，灵秀极了，被主人拼列成几组优美的几何图，翩然欲飞的神态……旁边还附有“年、月”等字样的纸卡，显然这都是她当初训练或比赛用过的。令人惊奇的是，在下方橱格里，还躺着些极普通的鞋子，和常人用的并无二致，可它们仅有单只，准确地说，是左鞋，全是新的，是一只只从未穿过的左鞋…… 见我隐隐发怔的样子，女主人微笑着解释道：“我用不着，就留下了，算个纪念吧。” 眼前霍然一亮，我兴奋得有些颤抖，啊，找到啦！我终于找到它们啦！这些神秘的永不曾穿用的鞋子，它们并没有像所担心的那样莫名其妙地失踪或遭遗弃，而是一直被很好地珍藏着，像其主人那样真实有力地生活在这个世界上。千真万确，它们即在眼前啊！猛想起日前遇见的残疾少女和她的家人，那萦绕于怀的疑窦倏然澄明了：那些鞋子的真正价值并非形式上的实用，而是出于精神的完整和对美之对称的需要，对一个有追求有尊严的生命来说，它们是永不可或缺和漠视的啊！正像这位可敬的女演员，虽然失去了一条极有价值的腿，但却赋予了人生更丰厚的美和价值，她的生命并没有掉队…… 临别时，女主人送了我一本她自己的书。书的封面正好是那幅感人的《天鹅湖》，空白处有一段醒目的作者手记—— “人生真正的道路是一条简陋的绳索。倘若你能优雅地走在上面，你要微笑，你要感激生命给予你这么多……而一旦你不幸被它绊倒，跌出了眼泪，当你爬起来重新上路时，你仍要始终不渝地微笑，你仍要感激生命给了你这么多……” 消逝的“放学路上” ? 1 “小呀么小儿郎，背着那书包上学堂。不怕太阳晒，也不怕那风雨狂；只怕先生骂我懒呀，没有学问呀无脸见爹娘。” 30年前的儿歌倏然苏醒，当我经过一所小学的时候。下午四点半，方才还空荡荡的小街，像迅速充胀的救生圈，被各式私车和眼巴巴的家长塞满了。开闸了，小人儿鱼贯而出，大人们蜂拥而上。一瞬间，无数的昵称像蝉鸣般绽放，在空中结成一团热云。这个激动人心的场面，只能用“失物招领”来形容。就在这时，那首歌突然跃出了记忆，一字不差。我觉得像被什么拍了下肩，它就在耳畔奏响了。这支叫《读书郎》的儿歌，陪伴了我整个童年和红领巾季节。那会儿，它几乎是我每天上学路上的喉咙伴奏，或叫脑海音乐罢。偏爱有个理由：它不像其他歌那么“正”，念书不是为“四个现代化”或“革命接班人”，而是“先生”和“爹娘” 我觉得新鲜，莫名的亲切。哼唱时，我觉得自己就是歌里的小儿郎。甚至想，要是老师变成“先生”该多好啊。好在哪，不知道。那个黄昏，当它突然奏响时，我感觉后背爬上了一只书包，情不自禁，竟有股蹦蹦跳跳的念头从前，上学或放学路上的孩子，就是一群没纪律的麻雀。无人护驾，无人押送，叽叽喳喳，兴高采烈，玩透了、玩饿了再回家。回头想，童年最大的快乐就是在路上，尤其放学路上。那是三教九流、七行八作、形形色色、千奇百怪的大戏台，那是面孔、语言、腔调、扮相、故事的孵化器，那是一个孩子独闯世界的第一步，乃其精神发育的露天课堂、人生历练的风雨操场我孩提时代几乎所有的趣人趣事趣闻，都是放学路上邂逅的。那是个最值得想象和期待的空间，每天充满新奇与陌生，充满未知的可能性，我作文里那些真实或瞎编的“一件有意义的事”，皆上演在其中。它的每一条巷子和拐角，每一只流浪狗和墙头猫，那烧饼铺、裁缝店、竹器行、小磨坊，那打锡壶的小炉灶、卖冰糖葫芦的吆喝、爆米花的香味、弹棉弓的铮铮响，还有谁家出墙的杏子最甜、谁家树上新筑了鸟窝都会在某一时分与我发生联系。对成长来说，这是最肥沃的土壤。很难想象，若抽掉“放学路上”这个页码，童年还剩下什么呢？于我而言，啥都没了，连日记都不会写。那个黄昏，我突然替眼前的孩子惋惜他们不会再有“放学路上”了。他们被装进一只只豪华笼子，直接运回了家，像贵重行李。 2 为何会丢失“放学路上”呢？我以为，除城市膨胀让路程变遥远、为脚力所不及外，更重要的是“路途”变了，此路已非彼路。具体说，即“传统街区” 的消逝那温暖而有趣的沿途，那细节充沛、滋养脚步的空间，消逝了。何谓传统街区？它是怎样的情形呢？ “城市应是孩子嬉戏玩耍的小街，是拐角处开到半夜的点心店，是列成一排的锁匠鞋匠，是二楼窗口探出头凝视远方的白发老奶奶街道要短，要很容易出现拐角。”这是简·雅各布斯在《美国大城市的死与生》中的话，我以为是对传统街区最传神的描述。这样的街区生趣盎然、信息肥沃、故事量大，能为童年生长提供最充分的乐趣、最周到的服务和养分，而且它是安全的，家长和教育者放心。为何现在保险箱里的儿童，其事故风险却高于自由放养的年代？雅各布斯在这部伟大的书里，回忆了多年前的一个下午 “从二楼的窗户望去，街上正发生的一幕引起她的注意：一个男人试图让一个八九岁的小女孩跟自己走，他一边极力哄劝，一边装出凶恶的样子；小女孩靠在墙上，很固执，就像孩子抵抗时的那种模样我心里正盘算着如何干预，但很快发现没必要。从肉店里出来一位妇女，站在离男人不远的地方，叉着胳膊，脸上露出坚定的神色。同时，旁边店里的科尔纳基亚和女婿也走了出来，稳稳站在另一边锁匠、水果店主、洗衣店老板都出来了，楼上很多窗户也打开了。男人并未留意到这些，但他已被包围了，没人会让他把小女孩弄走结果，大家感到很抱歉，小女孩是那个男人的女儿。” 这就是老街的能量和涵义，这就是它的神奇和美感。在表面的松散与杂乱之下，它有一种无形的篦梳秩序和维护系统，凭借它，生活是温情、安定和慈祥的。它并不过多搜索别人的隐私，但当疑点和危机出现时，所有眼睛都倏然睁开，所有脚步都会及时赶到。其实，这很像中国人的一个词，一个生态关键词：“街坊”。这样的背景下，一个孩子独自上学或放学，需要被忧虑吗？自由，源于安全与信赖。若整个社区都给人以“家”的亲切和熟悉，那一个孩子，无论怎样穿梭和游走，结果都是快乐地、收获颇丰地回到家里。而路上所有的插曲，包括挨骂的那些顽皮、冒险和出格，都是世界给他的礼物，都是对成长的奖励和爱抚。在雅各布斯看来，城市人彼此之间最深刻的关系，“莫过于共享一个地理位置”。她反对仅把公共设施和住房作为衡量生活的指标，认为一个理想社区应丰富人与人间的交流，促进公共关系的繁育，而非把生活一块块切开，以“独立”和“私人”的名义封闭化、决裂化。这个视角，对人类有着重大的精神意义。顺着她的思路往下走，你很快即发现：我们通常讲的“家园”“故乡” 这些饱含体温与感情的地点词汇，其全部基础皆在于某种良好的人际关系、熟悉的街区内容、有安全感的共同生活所谓“家园”，并非一个单纯的物理空间，而是一个和地点联手的精神概念，代表一群人对生活属地的集体认同和相互依赖。单纯的个体是没有“故乡”的，单纯的门户是无“家”可言的。就像水，孤独的一滴构不成“水” 之涵义，它只能叫“液体”。 3 我越来越觉得如今孩子尤其大城市孩子，正面临一个危险：失去“家”“故乡”这些精神地点。有位朋友，儿子6岁时搬了次家，10岁时又搬了次家，原因很简单，又购置了更大的房子。我问，儿子还记不记得从前的家？带之回去过吗？他主动要求过吗？

3.2.3 直线的一般式方程

解 y－2＝0.
跟踪训练1 已知直线l经过点A(2,1)，B(3,3)，求直线l的点斜式、斜截式和一般式方程，并根据方程指出直线在x轴、y轴上的截距.
3－1 解因为 kl＝3－2＝2，所以点斜式方程为y－1＝2(x－2)，斜截式方程为y＝2x－3，一般式方程为2x－y－3＝0，直线 l 在 x 轴上的截距为32，在 y 轴上的截距为－3.
2.根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法 (1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1. (2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2 ＋B1B2＝0. 这种判定方法可避免讨论，减小失误.
类型二直线的一般式方程的应用
命题角度1 根据直线特征求参数
例2 设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝_－__53__；
解析由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，
2m－6 令 y＝0，则 x＝m2－2m－3，
反思与感悟 (1)对于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论：设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋ B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，
则 l1∥l2⇔BA11CB22－－AB22BC11＝≠00，或A1C2－A2C1≠0. l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. (2) 一般地，与直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0 平行的直线可设为 Ax＋ By ＋ m ＝ 0(m≠C)，垂直的直线可设为Bx－Ay＋n＝0.
第三章 §3.2 直线的方程

高二数学直线的一般式方程

直线l的斜截式方程是___________ 4x+3y+16=0 直线l的一般式方程是___________
例2：把直线L的方程x –2y+6= 0化成斜截式，求出直线L的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图。 y
3
解：将原方程移项，得2y = x+6，两边除以2，得斜截式
-6
o
x
因此，直线L的斜率k=1/2，它在y轴上的截距是3 ，
例3：设直线l的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1） y=2m-6根据下列条件确定m的值（1）l在x轴上的截距是-3；（2）斜率是-1。解：（1）由题意得
(2)由题意得
巩固训练（三） 1、若直线（2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾斜角为450，则m的值是（ B ）（ A） 3 （B） 2 （C）-2 （ D） 2与 3
2、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截 -6 距为3，则m的值是__________
例4：利用直线方程的一般式，求过点（0，3）并且与坐标轴围成三角形面积是6的直线方程。
解：设直线为Ax+By+C=0， ∵直线过点（0，3）代入直线方程得3B= -C， B= －C/3 又直线与x，y轴的截距分别为x= -C/A ,y= -C/B 由三角形面积为6得
③在x轴和y轴上的截距分别是3/2，- 3；
④经过两点P1（3，-2），P2（5，-4）；
y+2 -2 x-3 = 2
，x+y-1=0，
2已知直线Ax+By+C=0 ①当B≠0时，斜率是多少？当B=0呢？
答：B≠0时，k= -A/B；B=0时，斜率不存在；

直线的一般式方程

x轴上截距a y轴上截距b (a≠0，b≠0)
不能表示倾斜角为0。、90。的x=x0
x=x1 y=y1
x=a y=b y=kx
巩固练习：
写出满足下列条件的直线方程 :
1.斜率是 3 , 经过点A(8, 2); 3
2.经过点B(2, 0),且与x轴垂直; 3.斜率为 4, 在y轴上的截距为7; 4.经过点A(1,8), B(4, 2); 5.在y轴上的截距是2, 且与x轴平行; 6.在x轴, y轴上的截距分别是4, 3.
思考2:二元一次方程的一般形式是什么？
Ax+By+C=0
直线的一般式方程
新知探究
思考1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x, y的二元一次方程表示吗？
任意一条直线l，在其上任取一点P0(x0,y0). 当直线l斜率为k时，方程为y-y0=k(x-x0)是关于 x,y的二元一次方程；当直线l斜率不存在时, 方程为 x-x0=0也是关于 x,y的二元一次方程，其中y的系数为0.
复习回顾
1.直线的点斜式方程 3.直线的两点式方程
y y0 k(x x0 )
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
2.直线的斜截式方程 4.直线的截距式方程
y=kx+b
x y 1 ab
直线方程的形式及其适用范围
方程名称方程形式
确定条件适用范围
点斜式 y y0 k(x x0)
且A1A2＋B1B2＝0，求证: l1⊥l2.
解 :由A1A2 B1B2 0,
(1)设B1B2
0, 有直线l1的斜率k1
A1 B1
,
直线l2的斜率k2
A2 B2
,且
A1 B1

直线的一般式方程ppt课件

2
m 2
率为，由两条直线互相垂直得− ⋅
5
4 5
= −1，解得m = 10，故选D.
方法二：由两条直线互相垂直得m ⋅ 2 + 4 × −5 = 0，解得m = 10.故选D.
课中探究
（2）已知直线l：ax − 2y − a + 4 = 0.
①求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
解：证明：直线l的方程可化为 x − 1 a = 2 y − 2 ，
1
2
+ = 1，解得a = − ，所以直线的方程为
x + 2y + 1 = 0；
当直线过原点时，设所求直线的方程为y = kx，则−5k = 2，解得k =
2
5
以直线的方程为y = − x，即2x + 5y = 0.
综上，所求直线的方程为2x + 5y = 0或x + 2y + 1 = 0.
2
− ，所
② l1 ⊥ l2 ⇔ A1 A2 + B1 B2 = 0 .
（2）与直线Ax + By + C = 0平行的直线方程可设为Ax + By + m = 0 m ≠ C ；
与直线Ax + By + C = 0垂直的直线方程可设为Bx − Ay + m = 0.
课中探究
拓展
已知直线l：Ax + By + C = 0．
2.2 直线的方程
2.2.3 直线的一般式方程
【学习目标】
1.能根据直线特殊形式的方程归纳出直线的一般式方程.
2.能讨论特殊形式与一般式的关系，并能熟练地进行互化.
课前预习

直线的一般式方程(附答案解析)

直线的一般式方程[学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax＋By＋C＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.知识点直线的一般式方程1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式.2.对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－AB，在y轴上的截距为－CB；当B＝0时，在x轴上的截距为－CA；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－CA，－CB.3.直线一般式方程的结构特征(1)方程是关于x，y的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.(3)x的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.思考(1)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0表示什么？(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？答(1)当C＝0时，方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；当C≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.故方程Ax＋By＋C＝0，不一定代表直线，只有当A，B不同时为零时，即A2＋B2≠0时才代表直线.(2)不是.当一般式方程中的B＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.题型一直线的一般形式与其他形式的转化例1 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( ) A.3x ＋4y ＋7＝0B.4x ＋3y ＋7＝0C.4x ＋3y －42＝0D.3x ＋4y －42＝0 (2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A. 3 B.－5 C.95D.－3 3 答案 (1)B (2)D解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项. 又y ＝－43x ＋14过点(0,14)即直线过第一象限，所以只有B 项正确.(2)令y ＝0则x ＝－33.跟踪训练1 一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程.解设所求直线方程为x a ＋y b＝1， ∵点A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b＝1.① 又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2.第二个方程组无解. 故所求直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y －2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.题型二直线方程的应用例2 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l 平行；(2)过点(－1,3)，且与l 垂直.解方法一 l 的方程可化为y ＝－34x ＋3， ∴l 的斜率为－34. (1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34. 又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.方法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1,3)代入上式得m ＝－9.∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0.将(－1,3)代入上式得n ＝13.∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.跟踪训练2 a 为何值时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0与x －ay －1＝0.(1)平行；(2)垂直.解当a ＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；当a ≠0且a ≠1时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0的斜率为k 1＝－1＋a 2，b 1＝2；直线x －ay －1＝0的斜率为k 2＝1a ，b 2＝－1a. (1)当两直线平行时，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，得1a ＝－1＋a 2，a ≠－12，解得a ＝－1或a ＝2.所以当a ＝－1或2时，两直线平行.(2)当两直线垂直时，由k 1·k 2＝－1，即1a ·(－1＋a )2＝－1，解得a ＝13. 所以当a ＝13时，两直线垂直. 题型三由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3 (1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足______.(2)当实数m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1.①倾斜角为45°；②在x 轴上的截距为1.(1)答案 m ≠－3解析若方程不能表示直线，则m 2＋5m ＋6＝0且m 2＋3m ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2＋3m ＝0，得m ＝－3，所以m ≠－3时，方程表示一条直线.(2)解 ①因为已知直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1，所以－2m 2＋m －3m 2－m ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－(m 2－m )，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1. ②因为已知直线在x 轴上的截距为1，令y ＝0得x ＝4m －12m 2＋m －3，所以4m －12m 2＋m －3＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2.跟踪训练3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围.(1)证明直线方程变形为y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15，它表示经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，斜率为a 的直线.∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，∴直线l 必过第一象限.(2)解如图所示，直线OA 的斜率k ＝35－015－0＝3.∵直线不过第二象限，∴直线的斜率a ≥3.∴a 的取值范围为[3，＋∞).一般式求斜率考虑不全致误例4 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －(2m －6)＝0，若此直线的斜率为1，试确定实数m 的值.分析由直线方程的一般式，可转化为斜截式，利用斜率为1，建立方程求解，但要注意分母不为0.解由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，①2m 2＋m －1≠0. ②由①，得m ＝－1或m ＝43.当m ＝－1时，②式不成立，不符合题意，故应舍去；当m ＝43时，②式成立，符合题意.故m ＝43.1.若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为() A.A ≠0 B.B ≠0C.A ·B ≠0 D.A 2＋B 2≠02.已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( )A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限3.过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A.x －2y －1＝0B.x －2y ＋1＝0C.2x ＋y －2＝0D.x ＋2y －1＝04.若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( )A.－1B.1C.12D.－125.已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a ＝________.一、选择题1.直线x ＋y －3＝0的倾斜角的大小是( )A.45°B.135°C.1D.－12.直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( )A.－2B.2C.－3D.33.直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( )A.C ＝0，B >0B.A >0，B >0，C ＝0C.AB <0，C ＝0D.AB >0，C ＝04.直线ax ＋3my ＋2a ＝0(m ≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k 等于( )A.－3B.3C.13D.－135.直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R )必过定点( )A.(3,2)B.(－3,2)C.(－3，－2)D.(3，－2)6.若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3构成三角形，则a 的取值范围是( )A.a ≠±1B.a ≠1，a ≠2C.a ≠－1D.a ≠±1，a ≠27.直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )二、填空题8.已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝_______.9.若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝______.10.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是______________.11.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________.三、解答题12.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.13.(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值.(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？当堂检测答案1.答案 D解析方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A 、B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0.2.答案 C解析由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋c b， ∵ab <0，∴直线的斜率k ＝－a b>0，直线在y 轴上的截距c b<0.由此可知直线通过第一、三、四象限.3.答案 A解析由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1,0).故所求直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.4.答案 B解析由两直线垂直，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m ＝－1，解得m ＝1. 5.答案－3或1解析两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，所以a 3＝1a ＋2≠－21，解得a ＝－3或a ＝1.课时精练答案一、选择题1.答案 B解析直线x ＋y －3＝0，即y ＝－x ＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°，故选B.2.答案 D解析由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，解得：m ＝3.3.答案 D解析通过直线的斜率和截距进行判断.4.答案 D解析由点(1，－1)在直线上可得a －3m ＋2a ＝0(m ≠0)，解得m ＝a ，故直线方程为ax＋3ay ＋2a ＝0(a ≠0)，即x ＋3y ＋2＝0，其斜率k ＝－13. 5.答案 A解析由y ＝mx －3m ＋2，得y －2＝m (x －3).所以直线必过点(3,2).6.答案 A解析因为直线x ＋ay ＝3恒过点(3,0)，所以此直线只需不和x ＋y ＝0，x －y ＝0两直线平行就能构成三角形.所以a ≠±1.7.答案 C解析将l 1与l 2的方程化为斜截式得：y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C.二、填空题8.答案 35解析由两直线垂直的条件，得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35. 9.答案 2解析线段AB 的中点为(1,1)，则m ＋3－5＝0，即m ＝2.10.答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞) 解析当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1，只要－aa ＋1>1或者－aa ＋1<0即可，解得－1<a <－12或者a <－1或者a >0. 综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－12)∪(0，＋∞). 11.答案 2x ＋3y ＋4＝0解析由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋3b 1＋4＝0，2a 2＋3b 2＋4＝0，易知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋4＝0上，即2x ＋3y ＋4＝0为所求.三、解答题12.解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为0，当然相等，所以a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当a ≠2时，截距存在且均不为0，所以a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.所以a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，所以a ≤－1.综上，a 的取值范围是a ≤－1.13.解方法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0， l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行.②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3.(2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直.②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直. ③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3. 当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1， ∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 方法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.∴m 的值为2或－3.(2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意.故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.。

直线的一般式方程

直线方程的一般式前面我们学习了直线方程的四种表达形式，它们都含有x 、y 这两个变量，并且x 、y 的次数都是一次的，即它们都是关于x 、y 的二元一次方程，那么直线的方程与二元一次方程有怎样的关系？1．直线的一般式方程(1)定义：关于x 、y 的二元一次方程__Ax ＋By ＋C ＝0__(其中A 、B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义：①当B ≠0时，则－A B ＝k (斜率)，－CB＝b (y 轴上的截距)；②当B ＝0，A ≠0时，则－CA＝a (x 轴上的截距)，此时不存在斜率．(4)二元一次方程与直线的关系：二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的．[归纳总结] AB >0时，k <0，倾斜角α为钝角；AB <0时，k >0，倾斜角α为锐角；A ＝0时，k ＝0，倾斜角α＝0°；B ＝0时，k 不存在，倾斜角α＝90°．2．直线方程的一般式与其他形式的互化一般式化斜截式的步骤： ①移项：By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －CB ．一般式化截距式的步骤：①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ；②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C ＝1；③再化为截距式：x －C A ＋y－C B ＝1．预习自测1．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( D ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0D ．A 2＋B 2≠0[解析] A 、B 不能同时为0，则A 2＋B 2≠0． 2．直线2x ＋y ＋4＝0的斜率k ＝( B ) A ．2 B ．－2 C ．12D ．－12[解析] A ＝2，B ＝1，则k ＝－AB＝－2．3．直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变化时，所有直线都恒过点( C ) A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1)D ．(2,1) [解析] 直线方程可化为y －1＝k (x －3) ∴无论k 为何值时，都过定点(3,1)．4．若直线l 1：x ＋ay －2＝0与直线l 2：2ax ＋(a －1)y ＋3＝0垂直，则a 的值为__－1或0__.[解析] 由题意，得2a ＋a (a －1)＝0 解得a ＝－1或0．命题方向1 ⇨直线的一般式方程典例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. (1)斜率是3，且经过点A (5,3)； (2)过点B (－3,0)，且垂直于x 轴； (3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴； (5)经过A (－1,5)、B (2，－1)两点； (6)在x 、y 轴上的截距分别是－3，－1．[思路分析] 根据条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程． [解析] (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，整理得3x －y ＋3－53＝0． (2)x ＝－3，即x ＋3＝0． (3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0． (4)y ＝3，即y －3＝0．(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，整理得2x ＋y －3＝0．(6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，整理得x ＋3y ＋3＝0. 〔跟踪练习1〕已知直线l 经过点A (－5,6)和点B (－4,8)，求直线的一般式方程和截距式方程． [解析] 直线过A (－5,6)、B (－4,8)两点由两点式得y －68－6＝x ＋5－4＋5整理得2x －y ＋16＝0∴2x －y ＝－16，两边同除以－16得，x －8＋y16＝1．故所求直线的一般式方程为2x －y ＋16＝0，截距式方程为x －8＋y16＝1. 命题方向2 ⇨直线的一般式方程的应用典例2 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R ). (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．[解析] (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，当然相等．则(a ＋1)×0＋0＋2－a ＝0，∴a ＝2，方程即3x ＋y ＝0；若a ≠2，由题设l 在两轴上的截距相等，∴a －2a ＋1＝a －2即a ＋1＝1，∴a ＝0，方程即x ＋y ＋2＝0． ∴l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0． (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2∴欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0a －2≤0，∴a ≤－1．综上可知a 的取值范围是a ≤－1．『规律方法』 (1)在题目中出现“截距相等”、“截距互为相反数”、“一截距是另一截距的几倍”等条件时要全面考察，直线l 不经过某象限不要漏掉过原点的情况．(2)由直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)求直线在两轴上的截距时，令x ＝0得纵截距；令y ＝0得横截距．由两截距位置可知直线的位置．〔跟踪练习2〕设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，根据下列条件分别确定k 的值： (1)直线l 的斜率为－1；(2)直线l 在x 轴，y 轴上的截距之和等于0．[解析] (1)∵直线l 的斜率存在，∴直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2.由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5．(2)直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1．由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1．命题方向3 ⇨平行与垂直的应用典例3 求过点A (2,2)且分别满足下列条件的直线方程： (1)与直线l ：3x ＋4y －20＝0平行； (2)与直线l ：3x ＋4y －20＝0垂直．[解析] 解法一：已知直线l ：3x ＋4y －20＝0的斜率k ＝－34．(1)过A (2,2)与l 平行的直线方程为 y －2＝－34(x －2)．即3x ＋4y －14＝0．(2)过A 与l 垂直的直线的斜率k 1＝－1k ＝43方程为y －2＝43(x －2)．即4x －3y －2＝0为所求．解法二：(1)设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0 由(2,2)点在直线上，∴3×2＋4×2＋c ＝0 ∴c ＝－14.∴所求直线为3x ＋4y －14＝0． (2)设所求直线方程为4x －3y ＋λ＝0 由(2,2)点在直线上，∴4×2－3×2＋λ＝0 ∴λ＝－2.∴所求直线为4x －3y －2＝0．『规律方法』 1.与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线可设为Bx －Ay ＋m ＝0．2．直线l 1∶A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0若l 1⊥l 2则：A 1A 2＋B 1B 2＝0；若A 1A 2＋B 1B 2＝0则l 1⊥l 2．若l 1∥l 2，则A 1B 2－A 2B 1＝0，反之若A 1B 2－A 2B 1＝0，则l 1∥l 2或l 1与l 2重合． 3.过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法：(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程；(2)可利用如下待定系数法：与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋C 1＝0，再由直线所过的点确定C 1；与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋C 2＝0，再由直线所过的点确定C 2．〔跟踪练习3〕(1)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( A )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0(2)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( A ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0[解析] (1)所求直线与直线x －2y －2＝0平行，故所求直线的斜率k ＝12，又直线过点(1,0)，利用点斜式得所求直线方程y －0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0．(2)由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l的典例4 已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值.[错解] 由1×3－m (m －2)＝0，得m ＝－1或3．[错因分析] 因存在斜率的两直线平行的等价条件为斜率相等且截距不等，所以上述解法忽略检验截距是否相等．[正解] 由1×3－m (m －2)＝0得，m ＝－1或m ＝3．当m ＝－1时，l 1：x －y ＋6＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0．两直线显然不重合，即l 1∥l 2．当m ＝3时，l 1：x ＋3y ＋6＝0，l 2：x ＋3y ＋6＝0．两直线重合．故m 的值为－1．[警示] (1)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则A 1B 2－A 2B 1＝0⇔l 1∥l 2或l 1与l 2重合．所以，由A 1B 2－A 2B ＝0求出参数值后，需检验两直线是否重合． (2)在直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A 2＋B 2≠0； (3)直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，斜率为k ＝－AB .〔跟踪练习4〕直线l 1：(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5＝0的斜率与直线l 2：x －y ＋1＝0的斜率相同，则m 等于( C )A ．2或3B ．2C ．3D ．－3[错解] 直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即2m 2－5m ＋2＝m 2－4，m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3.故选A ．[错因分析] 错解忽视了当m ＝2时，2m 2－5m ＋2＝0且－(m 2－4)＝0．[思路分析] 直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A 与B 满足的条件是A 与B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0.当A ＝B ＝0时，方程变为C ＝0，不表示任何图形．[正解] 直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即2m 2－5m ＋2＝m 2－4，m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3，当m ＝2时，2m 2－5m ＋2＝0，－(m 2－4)＝0，则m ＝2不合题意，仅有m ＝3，故选C ．1．点线接合关系若点P 在曲线(直线)C 上，则点P 的坐标满足曲线(直线)C 的方程，反之也成立．典例5 已知直线ax ＋3y ＋2a －1＝0过点(－1,1)，则a ＝__－2__. [解析] 由条件得，－a ＋3＋2a －1＝0 ∴a ＝－2．〔跟踪练习5〕已知2a 1＋3b 1＝1,2a 2＋3b 2＝1，则过点A (a 1，b 1)，B (a 2，b 2)的直线方程为__2x ＋3y ＝1__． [解析] 由条件知，点A ，B 的坐标满足方程2x ＋3y ＝1，又经过A ，B 两点有且仅有一条直线，∴过A ，B 的直线方程为2x ＋3y ＝1．2．过直线定点典例6 直线(2λ＋1)x ＋(1－λ)y ＋λ－4＝0恒过定点__(1,3)__.[解析] 分离参数得λ(2x －y ＋1)＋(x ＋y －4)＝0由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0x ＋y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3所以无论λ取何值，直线都过定点(1,3)．〔跟踪练习6〕直线(t ＋2)x ＋(1－t )y ＋3－t ＝0过定点__⎝⎛⎭⎫－23，－53__． [解析] 分离参数得：(x －y －1)t ＋2x ＋y ＋3＝0由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3＝0x －y －1＝0得⎩⎨⎧x ＝－23y ＝－53.∴直线过定点⎝⎛⎭⎫－23，－53． 1．直线3x －2y －4＝0的截距式方程为( D ) A ．4x 3－y2＝1B ．x 13－y 12＝1C ．3x 4－y－2＝1D ．y 43＋y－2＝1[解析] 由3x －2y －4＝0，得3x －2y ＝4，即x 43＋y－2＝1，故选D ．2．已知点A (3，a )在直线2x ＋y －7＝0上，则a 等于( A ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2[解析] ∵点A (3，a )在直线2x ＋y －7＝0上，∴2×3＋a －7＝0，∴a ＝1．3．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a 、b 、c 应满足( B ) A ．ab >0，bc >0 B ．ab >0，bc <0 C ．ab <0，bc >0 D ．ab <0，bc <0[解析] 如图由图可知，直线的斜率k ＝－a b <0，∴ab >0，又直线在y 轴上的截距为－cb >0，∴bc <0，故选B ．4．直线l 1、l 2的斜率k 1、k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝__2__；若l 1∥l 2，则b ＝__－98__.[解析] 由根与系数的关系可知k 1＋k 2＝32，k 1·k 2＝－b 2，则当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－b2＝－1，解得b ＝2，当l 1∥l 2时，k 1＝k 2＝34，解得b ＝－2k 1·k 2＝－98．A 级基础巩固一、选择题1．(2016·南安一中高一检测)直线x －y ＋2＝0的倾斜角是( B ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90[解析] 由x －y ＋2＝0，得y ＝x ＋2．其斜率为1，倾斜角为45°．2．若直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为( D ) A ．－2B ．－3C ．－2或－3D ．2或3[解析] ∵两直线平行，∴2×3＝m (m ＋1)，∴m 2＋m －6＝0 解得m ＝2或m ＝－3，经检验满足题意．3．直线3x －2y －4＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是( D ) A ．34，－12B ．13，12C ．34，－2D ．43，－2[解析] 将3x －2y －4＝0化成截距式为x 43＋y－2＝1，故该直线在x 轴、y 轴上的截距分别是43，－2．4．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，则a 的值为( D ) A ．1 B ．－13C ．－23D ．－2[解析] 由题意，得(－a2)×(－1)＝－1，a ＝－2．5．直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，且l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程是( A ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0[解析] 解法一：因为直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，所以设直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，又l 在y 轴上截距为2，所以所求直线l 的方程为y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0．解法二：将直线y ＝x ＋1化为一般式x －y ＋1＝0，因为直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，可以设直线l 的方程为x ＋y ＋c ＝0，令x ＝0，得y ＝－c ，又直线l 在y 轴上截距为2，所以－c ＝2，即c ＝－2，所以直线l 的方程为x ＋y －2＝0．6．直线l ：(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0恒过定点( B ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－1，－1)D ．(1,1)[解析] 由(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0，得k (x －y －2)＋x ＋y ＝0由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2＝0x ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1． ∴直线l 过定点(1，－1)．二、填空题7．若直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为__2或－3__.[解析] 若m ＝－1，则l 1的斜率不存在，l 2的斜率为13，此时l 1与l 2不平行；若m ≠－1，则l 1的斜率为k 1＝－2m ＋1，l 2的斜率为k 2＝－m 3.因为l 1∥l 2，所以k 1＝k 2，即－2m ＋1＝－m3，解得m ＝2或－3.经检验均符合题意．8．若直线(2t －3)x ＋y ＋6＝0不经过第一象限，则t 的取值范围是__⎣⎡⎭⎫32，＋∞__. [解析] 直线方程可化为y ＝(3－2t )x －6 ∴3－2t ≤0，∴t ≥32．三、解答题9．求与直线3x －4y ＋7＝0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 的方程. [解析] 解法一：由题意知：可设l 的方程为3x －4y ＋m ＝0 则l 在x 轴、y 轴上的截距分别为－m 3，m4．由－m 3＋m4＝1知，m ＝－12．∴直线l 的方程为：3x －4y －12＝0．解法二：设直线方程为x a ＋yb＝1由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－b a ＝34. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－3．∴直线l 的方程为：x 4＋y－3＝1．即3x －4y －12＝0．10．(2018·武威一中高一期末)当0<a <2时，直线l 1：ax －2y ＝2a －4与l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4和两坐标轴围成一个四边形，问a 取何值时，这个四边形面积最小，并求这个最小值.[解析] 如图，由已知l 1：a (x －2)－2(y －2)＝0，l 2：2(x －2)＋a 2(y －2)＝0． ∴l 1、l 2都过定点(2,2)，且l 1在y 轴上的截距为2－a ，l 2在x 轴上的截距为a 2＋2． ∴四边形面积：S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(2＋a 2)＝a 2－a ＋4＝(a －12)2＋154，又0<a <2，故当a ＝12时，S min ＝154．B 级素养提升一、选择题 1．若直线y ＝－33x ＋4与直线l 垂直，则l 的倾斜角为( B ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°[解析] ∵直线l 与y ＝－33x ＋4垂直，∴k l ＝3．直线倾斜角θ的正切值tan θ＝3，故θ＝60°．2．直线ax ＋by －1＝0(ab ≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是( D ) A ．12abB ．12|ab |C ．12abD ．12|ab |[解析] ∵ab ≠0，∴令y ＝0，得x ＝1a令x ＝0，得y ＝1b∴三角形的面积S ＝12·1|a |·1|b |＝12|ab |．3．方程y ＝k (x ＋4)表示( C ) A ．过点(－4,0)的一切直线 B ．过点(4,0)的一切直线C ．过点(－4,0)且不垂直于x 轴的一切直线D ．过点(－4,0)且不平行于x 轴的一切直线[解析] 方程y ＝k (x ＋4)表示过点(－4,0)且斜率存在的直线，故选C ． 4．两直线mx ＋y －n ＝0与x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( D ) A ．m ＝1B ．m ＝±1C ．⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ≠－1D ．⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ≠－1，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ≠1[解析] 根据两直线平行可得m 1＝1m ，所以m ＝±1，又两直线不可重合，所以m ＝1时，n ≠－1；m ＝－1时，n ≠1．二、填空题5．(2016～2017·合肥高一检测)已知直线l 与直线3x ＋4y －7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l 的方程为__3x ＋4y ±24＝0__.[解析] 设直线l 方程为3x ＋4y ＋b ＝0令x ＝0得y ＝－b 4；令y ＝0得x ＝－b 3．由条件知12·⎪⎪⎪⎪－b 4·⎪⎪⎪⎪－b 3＝24．解之得b ＝±24．∴直线l 方程为3x ＋y ±24＝0．6．若直线(m ＋1)x ＋(m 2－m －2)y ＝m ＋1在y 轴上截距等于1，则实数m 的值__3__.[解析] 直线(m ＋1)x ＋(m 2－m －2)y ＝m ＋1的方程可化为(m ＋1)x ＋(m ＋1)(m －2)y ＝m ＋1由题意知m ＋1≠0，(m －2)y ＝1，由题意得1m －2＝1 ∴m ＝3．C 级能力拔高1．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线l 不经过第一、三、四象限，求a 的取值范围．[解析] (1)将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15，所以l 的斜率为a ，且过定点A ⎝⎛⎭⎫15，35，而点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，直线l 恒过第一象限．(2)将方程化为斜截式方程：y ＝ax －a －35.要使l 经过第一、三、四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0－a －35<0，解得a >3．2．求满足下列条件的直线方程.(1)经过点A (－1，－3)，且斜率等于直线3x ＋8y －1＝0斜率的2倍；(2)过点M (0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12．[解析] (1)因为3x ＋8y －1＝0可化为y ＝－38x ＋18所以直线3x ＋8y －1＝0的斜率为－38则所求直线的斜率k ＝2×(－38)＝－34．又直线经过点(－1，－3)因此所求直线的方程为y ＋3＝－34(x ＋1) 即3x ＋4y ＋15＝0．(2)设直线与x 轴的交点为(a,0)因为点M (0,4)在y 轴上，所以由题意有4＋a 2＋42＋|a |＝12 解得a ＝±3所以所求直线的方程为x 3＋y 4＝1或x －3＋y 4＝1 即4x ＋3y －12＝0或4x －3y ＋12＝0．。

直线的一般方程怎么求斜率

直线的一般方程怎么求斜率直线是几何学中最基本的概念之一，而直线的一般方程是描述直线特性的重要工具。

在数学中，求直线的斜率是研究直线性质的重要一环。

本文将介绍如何根据给定的直线方程求解其斜率。

一般方程的形式直线的一般方程可以写成如下形式：Ax + By = C其中，A、B、C是任意给定的实数，A和B不能同时为0。

直线上的每个点（x，y）都满足这个方程。

斜率的定义斜率是直线的重要属性，它描述了直线在平面坐标系中上升或下降的程度。

数学上，直线的斜率表示为m。

直线的斜率可以通过直线上两点的坐标来计算。

设直线上两点为（x1，y1）和（x2，y2），则直线的斜率m可以使用下式计算：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)求解斜率的步骤给定直线的一般方程Ax + By = C，我们可以通过以下步骤找出直线的斜率：步骤一：将一般方程转换为斜截式方程。

斜截式方程的形式为y = mx + b，其中m为斜率，b为直线在y轴上的截距。

通过将一般方程转换为斜截式方程，我们可以得到y的表达式：y = (-A/B)x + C/B步骤二：从斜截式方程中读取斜率。

根据斜截式方程y = mx + b，m即为直线的斜率。

从上一步得到的斜截式方程中，我们可以读取斜率m的值。

示例假设我们有一条直线，其一般方程为2x + 3y = 6。

我们来求解该直线的斜率。

步骤一：将一般方程转换为斜截式方程。

将方程2x + 3y = 6转换为斜截式方程，得到表达式：y = (-2/3)x + 2步骤二：从斜截式方程中读取斜率。

根据斜截式方程y = (-2/3)x + 2，我们可以读取斜率为-2/3。

因此，给定直线2x + 3y = 6，其斜率为-2/3。

总结直线的斜率是描述直线特性的重要属性，它可以通过直线上两点的坐标来计算。

我们可以根据直线的一般方程求解其斜率，通过将一般方程转换为斜截式方程，然后读取斜截式方程中的斜率值。

通过本文的介绍，希望读者能够理解直线斜率的概念以及如何求解直线的斜率。

直线的一般式

方程，但都有局限性。
那么是否存在某种形式的方程能表示任意的一条直线？二元一次方程的一般形式是
Ax By C 0
新课
直线的方程—一般式
Question：方程 Ax By C 0 总是表示直线吗？
A C (1)若B 0，则y x B B (2)若B 0，则Ax C 0
两直线垂直与平行的判定
已知直线 l1 : y k1 x b1 , l 2 : y k 2 x b2，则：l1 // l 2 k1 k 2 且 b1 b2
若已知直线 l1 : A1 x B1 y C1 0, l 2 : A2 x B2 y C 2 0， ( A1 B1C1 0, A2 B2C 2 0)
2、方程 Ax By C 0 总是表示直线吗？
A C (1)若B 0，则y x B B
(2)若B 0，则Ax C 0
2)若A 0，则0 x C 0 若C 0，与C 0矛盾
C 1)若A 0，则x A
若C 0，则表示整个平面
结论当A, B不全为0时，方程 Ax By C 0 表示直线
方程 Ax By C 0( A、B不同时为0) 叫做直线方程的一般式
直线方程的五种形式
名称已知条件方程说明
点斜式点P1(x1,y1)和斜率k
y-y1=k(x-x1) 不包括y轴和平行于 y轴的直线不包括y轴和平行于 y轴的直线
C 1)若A 0，则x A
2)若A 0，则0 x C 0 若C 0，则表示整个平面结论当A, B不全为0时，方程 Ax By C 0 表示直线

直线方程的一般形式

注：对于直线方程的一般式，一般作以下约定： 1.一般按含x项，y项，常数项顺序排列。 2.X项的系数为正。 3.x,y的系数和常数项一般不出现分数。 4.无特别说明，最好将所求的直线方程写结果写成一般式。
例1：求下列直线的一般式方程
1.过点 3,2 ，且斜率为-2 2.过点 5,5，倾斜角为 120
直线的一般式方程
微机66班李俊芝
知识回顾
一.直线方程的形式
1.点斜式： y y0 k x x0 斜率k，已知点 x0, y0
2.斜截式： y kx b
斜率k ,直线在y轴的截距b
3.截距式：
x y 1 ab
直线与坐标轴交点 a,0 0,b
根据已知条件写出下列直线方程：
解：1 .根据 y y0 kx x0 得 y+2=-2(x+3) 即2x-y=4=0
例2 求下列直线的斜率和在y轴的截距：（1）3x+y-5=0 (2）x+2y-1=0 （3）3x+4=0
解：（1） 3x+y-5=0 y=-3x+5
即，k=-3,b= 1 ，截距是-4 2
3 经过两点 4,0 0,3
4 经过点 4,2 ，平行于x轴
5 经过点 4,2 ，平行于y轴
你能发现什么规律呢？
讲授新课
直线方程都可表示为：
Ax By C 0
其中A,B不同时为0