哈工大大学物理第10章 机械波(波函数)

10.2 波动过程的几何描述和基本物理量
波形图 （波形曲线 ）
y
x：质元平衡位置的坐标 y：质元相对 x 的位移
t 时刻
t+dt 时刻
振动曲线：y t曲线 O 波射线： 沿波传播方向的 射线，简称波线。 波面：不同波线上相位相同 的点所连成的曲面。 波阵面（波前） 各向同 性介质 点源 球面波 线 源 柱面波 面源：平面波
T

21 dC
3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示， 求 O、a、b、c 各 点振动初相位.
t =0
A
O
y
a
u
b c
t=T/4
(- π ~ π ) A o π O y

-A

O

x
A 0 b y
π c 2

O百度文库
A
y
π a 2
A
O

y
例： y(cm) 已知：图示为波源（x=0处）振动曲线 且波速u = 4m/s, 方向沿x轴正向. 求：t = 3s时波形曲线（大致画出） 解： 0 1 y(cm) 0.5 0 -0.5 4 8 12 x(m) u=4m/s 2 3 4 t(s) 0.5
2 y 1 2 y 2 2 x u t 2
对比上式
u
E

G 横波波速 u2 G为剪切模量
三维情况：
2 2
纵波波速 u1
E
E为杨氏模量
2 2 2 2 2 2 2 称为 拉普拉斯算子 x y z
1 - 2 2 0 u t
说明： 1、给出了波速的性质，波速决定于媒质的性质
2、波动方程的物理意义：任何物理量（力学量、电 学量、其他量），只要时间和坐标满足波动方程， 则这个物理量以波的形式传播，时间偏导的系数的 倒数为波的传播速度
10.4 波的能量
一、波的能量
x 处, 质元
能流密度
dm
dm dV
2
动能:
1 x y 1 1 2 2 2 2 d V A sin t - dV dEk dm v 2 t 2 2 u
因此
2 y ( F dF ) - F dm 2 t
(应力与应变成正比）
E为杨氏模量
y F Es x
可以看出倔强系数
Es K dx
y 2 y 2 y 2 y F Es dF Es 2 dx dm 2 sdx 2 x x t t
y y 2 2 x E t
x0 令常数 - u
0 1
2 y A cos t 1 T
t每增加T，y不变 反映了振动的时间周期性
2 T
y A cost 1 ----x0处简谐振动运动方程
2、当
t=t0=常数
x y A cos t0 - 0 u
波的能量与振幅的平方成正比
能流 （单位时间垂直通过某一面积的能量）
w Su dt wSu P dt
平均能流
P 平均能流密度 --- 波的强度 I wu S
P w Su
1 I 2 A2u 2
平面简谐波的强度
1 2 2 I A u 2
Z
球面谐波
式中 A, B, C 为正常数，求波长、波速、波传播方 向上相距为 d 的两点间的相位差. t x y A cos(Bt - Cx) 与 y A cos 2 π ( - ) 比较
1）给出下列波函数所表示的波的传播方向 x 0 点的初相位.
2π C
2π T B
B u T C

-0.5
例2 正向波在t =0时的波形图 y (cm) 波速 u=1200m/s 0.05 求：波函数和波长 M x 解：设 y A cos[ (t - ) 0 ] 0 10 u 由图 A 0.10(cm) -0.10 如何确定 0 ? 由初始条件：y0=A/2 v0<0 0=π/3 如何确定 ? M= -π/2 由M点状态 yM=0 vM>0
t = 0时 u x (m) t =0 x=0 A
0= π/3
y 10 A/2 0 - 100 A 1200 3 2 x -2 y 0.10 10 cos[100 (t ) ](SI) 1200 3 t=0 M处 M= -π/2 2
uT u
机械波产生的条件：
横波与纵波
1. 波源——被传播的机械振动 2. 弹性介质——任意质点离开平衡位置会受到弹性力 作用。在波源发生振动后，由于弹性力作用，会带动 邻近的质点也以同样的频率振动。 这样，就把振动传播出去。 故机械振动只能在弹性介质中传播。
二、横波与纵波
质点振动方向
波峰
软绳
波的传播方向 波谷
令
t0 0 1
2 2 x y A cos (t0 0 ) x A cos 1
x每增加λ，y不变 反映了波的空间周期性
t0时刻的波形
x y A cos t - 0 3、x , t 都变 u 表示波射线上不同质点在不同时刻的位移
----行波
反映了振动状态的传播，波形的传播，能量的传播， 由
t x y A cos 2 ( - ) 0 T
看出t或x每增加T或λ,相位重复出现，反映了时间和空间的周期性。
讨论 和
t x π） y - A cos 2π ( - ) （向x 轴正向传播， T x π） y - A cos (-t - ) （向x 轴负向传播， u 2）平面简谐波的波函数为 y A cos(Bt - Cx)
O
y
u
x
t 时刻
简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐运动时，在介质中所形成的波. 平面简谐波：波面为平面的简谐波.
设平面简谐波以相速 u 沿 x 轴正向传播, t时刻波形如图
y
u
O
O 点的振动位移为
P
x
y(0, t ) A cos(t 0 )
P 点的振动位移为
( op = x )

24(m)
三、平面波的波动方程*
取小质元 a b = d x 体积为 d V = s d x 质量为 d m = s d x 设质元被拉伸形变：
x a
y
dx
x dx
b
y dy
x dx y dy 受弹性力 F dF
x y
受弹性力 F
F l y 利用胡克定律有： E E s l x
2
1 2 2 2 x 1 y 1 2 dE p k dy E dV A sin t - dV 势能： 2 x 2 u 2
dEP dEk
动能和势能同相且相等
dE dEP dEk
2 2
总能和动能、势能同相
x A sin t - dV u
u
媒质的特性阻抗
波疏介质，波密介质
波的强度 I A2，2，Z
1 1 2 2 2 2 2 2 u A ( r ) 4 π r P u A (r1 ) 4π r1 2 2 2 2
A(r 振幅与半径成反比 1)r 1 A(r 2 )r 2
2πr (r , t ) cos[( t ) ] r
2
二、能流密度
x dE A sin t - dV u dE x 2 2 2 A sin t - 能量密度 w dV u 能量随空间时间的分布 1 T 1 2 2 平均能量密度 w w d t A 0 T 2
2 2 2
A0
横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直
稠密
质点振动方向
软弹簧
波的传播方向
稀疏
纵波：质点的振动方向与波的传播方向平行
纵波与横波的特征： 横波存在波腹和波谷。 纵波存在相间的稀疏和稠密区域。
波的传播特征： 1 ．介质中每一质点仅在各自平衡位置附近振动 , 不随波逐流。 2．介质中各质点之间沿波传播方向相位依次落后。 （这是导出波函数的依据） 3．波形在传播，能量在传播。
x
y～x曲线：波形图 ；波形曲线
波的特征量
波长： 振动状态完全相同的相邻两质元之间的距离(空间周期)。 周期： T 波传播一个波长的时间 (时间)频率： 1 / T
角频率： 2 / T
A O -A
y
u
~ 1/ (空间)频率：
波数： k

x
2
波速：振动状态在媒质中的传播速度 u v 振动状态由位相决定，波速也称相速 T 2
波数:
k
2



u
y( x, t ) A cos(t - kx 0 )
沿负方向传播的波函数
同一振动状态x处比0处超前t=x/u
x y ( x, t ) A cos t 0 u
定义 波矢 k
y( x, t ) A cos(t kx 0 )
2 2
x y ( x, t ) A cos t - 0 u
2
为波动微分方程的解
y x 2 - A cos (t - ) 2 t u 2 2 y x - 2 A cos (t - ) 2 x u u
或
x y ( x, t ) A cos t - 0 u
t x y ( x, t ) A cos 2 - 0 T
x y ( x, t ) A cos t - 0 u


周期或频率只决定于波源的振动，和介质无关! 波速只决定于媒质的性质！
10.3 平面简谐波的波函数
一、平面简谐波的波函数
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移 （坐标为 y）随时间的变化关系，即 y ( x, t ) 称为波函数.
y y ( x, t )
各质点相对平衡 位置的位移 波线上各质 点平衡位置
第10章 机械波
波动: 振动在空间的传播过程 波动的种类
机械波 机械振动在弹性介质中的传播 电磁波 变化的电场和磁场在空间的传播
物质波
微观粒子波动性
波动的共同特征：
具有一定的传播速度，且都伴有能量的传播。能 产生干涉、衍射等现象。
波是运动状态的传播，介质的质点并不随波逐流.
10.1 机械波产生
一、机械波的产生
(r , t ) A cos(t - k r 0 )
二、波函数的物理意义
1、当 x 一定时, 例: x = x0 = 常数
x y A cos t - 0 u
x0 y A cos t - 0 u