《离散数学》第1—7章 习题详解

第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案1、是命题的为（1）、（2）、（3）、（6）、（7）、（10）、（11）、（12）、（13）是简单命题的为（1）、（2）、（7）、（10）、（13）是真命题的为（1）、（2）、（3）、（10）、（11）真值现在不知道的为（13）2、3略4.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；6.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.7.因为p与q不能同时为真.8. 设p:2<1，q:3<2(1) p→q，真值为1(2) p→┐q，真值为1(3) ┐q→p，真值为0(4) ┐q→p，真值为0(5) ┐q→p，真值为0(6) p→q，真值为19.（2）、（6）真值为0，其余为110. （1）、（4）真值为0，其余为111、12略13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.14略15、p、q为真命题，r为假命题，（4）的真值为1，其余为016、（4）的真值为1，其余为017、真18、小王会唱歌，小李不会跳舞19、（1）（4）（6）为重言式，（3）为矛盾式，其余为非重言式的可满足式20、（1）01,10,11（2）00,10,11（3）00,01,10（4）01,10,1121、（1）011；（2）010,110,101,100；（3）100,10122、无成真赋值23、无成假赋值24、均为重言式25、均为矛盾式26、前者为矛盾式，后者为重言式27略；28不能；29略；30不能返回第二章命题逻辑等值演算本章自测答案3、（1）矛盾式；（2）重言式；（3）可满足式5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；(2)：0，矛盾式，无成真赋值；(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；7.(1)：∨∨∨∨⇔∧∧；(2)：∨∨∨⇔∧∧∧；8.(1)：1⇔∨∨∨,重言式；(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨；(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，矛盾式.11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧；(2)：∨∨∨∨∨∨∨⇔1；(3)：0⇔∧∧∧.12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.第三章命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*1)在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(p→q)∧p→q ⇒ q(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*2)可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(p→q)∧q→p⇔(┐p∨q) ∧q →p⇔q →p⇔┐p∨┐q⇔⇔∨∨从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数推理的形式结构为(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r⇔110.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.推理的形式结构为(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)⇔p∨(┐q∧┐r)⇔∨∨∨由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明① p→(q→r)前提引入② P前提引入③ q→r①②假言推理④ q前提引入⑤ r③④假言推理⑥ r∨s前提引入（2）证明：① ┐(p∧r)前提引入② ┐q∨┐r①置换③ r前提引入④ ┐q ②③析取三段论⑤ p→q前提引入⑥ ┐p④⑤拒取式（3）证明：② ┐q∨q①置换③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换④ ┐p∨(q∧p③置换⑤ p→(p∨q) ④置换15.(1)证明：① S结论否定引入② S→P前提引入③ P①②假言推理④ P→(q→r)前提引入⑤ q→r③④假言推论⑥ q前提引入⑦ r⑤⑥假言推理（2）证明：① p附加前提引入② p∨q①附加③ (p∨q)→(r∧s)前提引入④ r∧s②③假言推理⑤ s④化简⑥ s∨t⑤附加⑦ (s∨t)→u前提引入⑧ u⑥⑦拒取式16.(1)证明：① p结论否定引入② p→ ┐q前提引入③ ┐q ①②假言推理④ ┐r∨q前提引入⑤ ┐r③④析取三段论⑥ r∧┐s前提引入⑦ r⑥化简⑧ ┐r∧r⑤⑦合取（2）证明：① ┐(r∨s)结论否定引入② ┐r∨┐s①置换③ ┐r②化简④ ┐s②化简⑤ p→r前提引入⑥ ┐p③⑤拒取式⑦ q→s前提引入⑧ ┐q④⑦拒取式⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取⑩ ┐(p∨q)⑨置换⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。

前提：(p∧┐q) →r , p ,q →s , ┐s结论：r证明：① q→s 前提引入② ┐s 前提引入③ ┐q ①②拒取式④ p 前提引入⑤ p∧┐q ③④合取⑥（p∧┐q）→r 前提引入⑦ r ⑤⑥假言推理18．（1）设 p：今天是星期六，q：我们要到颐和园玩，s：颐和园游人太多。

前提：p→(p∨r) , s→┐q , p , s结论：r证明：① s→┐q前提引入② s前提引入③ ┐q①②假言推理④ p前提引入⑤ p→(q∨r)前提引入⑥ q∨r④⑤假言推理⑦r③⑥析取三段论（2）设p:小王是理科学生，q：小王数学成绩好，r：小王是文科学生。

前提：p→q ,┐r→p ,┐q结论：r证明：① p→q前提引入② ┐q前提引入③ ┐p①②拒取式④ ┐r→p前提引入⑤ r③④拒取式返回第四章 (一阶)谓词逻辑基本概念本章自测答案4.(1)┐x(F(x)∧ ┐G(x))⇔x( F (x) →G (x) ),其中,F(x)：x是有理数,G(x) ：x能表示成分数；(2)┐x( F (x) →G (x) ) ⇔x(F(x)∧ ┐G(x)),其中,F (x)：x在北京卖菜,G (x) ：x是外地人；(3)x( F (x) →G (x) ),其中,F (x)：x是乌鸦,G (x) ：x是黑色的；(4)xF(x)∧ G(x)),其中,F (x)：x是人,G (x) ：x天天锻炼身体。

因为本题中没有指明个体域,因而使用全总个体域。

5.(1)x y (F(x) ∧ G( y ) → H(x,y)),其中,F(x)：x是火车,G(y) ：y是轮船,H(x,y)：x比y快；(2)x y (F(x) ∧ G( y ) → H(x,y)),其中,F(x)：x是火车,G(y) ：y是汽车,H(x,y)：x比y快；(3)┐x(F(x)∧y(G (y) → H (x,y)))⇔x(F(x) → y(G(y) ∧ ┐H(x,y))),其中,F(x)：x是汽车,G (y) ：y是火车,H(x,y)：x比y快；(4)┐x(F(x)→y(G(y) → H(x,y)))⇔x y(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y))),其中,F(x)：x是汽车,G(y) ：y是火车,H(x,y)：x比y慢。

6.各命题符号化形式如下：(1)x y (x ．y = 0)；(2)x y (x ．y = 0)；(3)x y (y =x+1)(4)x y(x ．y = y．x)(5)x y(x ．y =x+ y)(6)x y (x + y ＜0 )9.(1)对任意数的实数x和y,若x ＜y,则x ≠ y；(2)对任意数的实数x和y,若x–y = 0,则x＜y；(3)对任意数的实数x和y,若x＜y,则x–y≠0；(4)对任意数的实数x和y,若x–y ＜0,则x=y.其中,(1)(3)真值为1(2)与(4)真值为0.11.(1)、(4)为永真式,(2)、(6)为永假式,(3)、(5)为可满足式。

这里仅对(3)、(4)、(5)给出证明。

(3)取解释I 为：个体域为自然数集合N,F(x,y)：x ≤ y,在下,x y F(x,y)为真,而x y F(x,y)也为真(只需取x =0即可),于是(3)中公式为真,取解释为：个体域仍为自然数集合N,而F(x,y)：x = y。

此时,x yF(x,y)为真(取y为x即可),可是x yF(x,y)为假,于是(3)中公式在下为假,这说明(3)中公式为可满足式。

(4)设I为任意一个解释,若在I下,蕴涵式前件xy F(x,y)为假,则x yF(x,y)→y xF(x,y)为真,若前件x yF(x,y)为真,必存在I的个体域D1中的个体常项x0,使yF(x0,y)为真,并且对于任意y∈,F(x0,y)为真,由于有x0∈,F(x0,y)为真,所以xF(x,y)为真,又其中y是任意个体变项,所以y xF(x,y )为真,由于I的任意性,所以(4)中公式为永真式(其实,次永真式可用第五章的构造证明法证明之)。