《离散数学》第1—7章 习题详解

第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案

1、是命题的为（1）、（2）、（3）、（6）、（7）、（10）、（11）、（12）、（13）

是简单命题的为（1）、（2）、（7）、（10）、（13）

是真命题的为（1）、（2）、（3）、（10）、（11）

真值现在不知道的为（13）

2、3略

4.将下列命题符号化，并指出真值：

（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；

（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；

（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；

（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；

（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.

5.将下列命题符号化，并指出真值：

（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；

（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；

（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；

（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；

（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；

6.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；

（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.

7.因为p与q不能同时为真.

8. 设p:2<1，q:3<2

(1) p→q，真值为1

(2) p→┐q，真值为1

(3) ┐q→p，真值为0

(4) ┐q→p，真值为0

(5) ┐q→p，真值为0

(6) p→q，真值为1

9.（2）、（6）真值为0，其余为1

10. （1）、（4）真值为0，其余为1

11、12略

13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：

（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；

（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；

（3）p q，真值为1；

（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.

14略

15、p、q为真命题，r为假命题，（4）的真值为1，其余为0

16、（4）的真值为1，其余为0

17、真

18、小王会唱歌，小李不会跳舞

19、（1）（4）（6）为重言式，（3）为矛盾式，其余为非重言式的可满足式

20、（1）01,10,11

（2）00,10,11

（3）00,01,10

（4）01,10,11

21、（1）011；（2）010,110,101,100；（3）100,101

22、无成真赋值

23、无成假赋值

24、均为重言式

25、均为矛盾式

26、前者为矛盾式，后者为重言式

27略；28不能；29略；30不能

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第二章命题逻辑等值演算

本章自测答案

3、（1）矛盾式；（2）重言式；（3）可满足式

5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；

(2)：0，矛盾式，无成真赋值；

(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；

7.(1)：∨∨∨∨⇔∧∧；

(2)：∨∨∨⇔∧∧∧；

8.(1)：1⇔∨∨∨,重言式；

(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨；

(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，矛盾式.

11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧；

(2)：∨∨∨∨∨∨∨⇔1；

(3)：0⇔∧∧∧.

12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.

第三章命题逻辑的推理理论

本章自测答案

6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系

(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确

(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为

(p→q)∧p→q(记作*1)

在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.

可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(p→q)∧p→q ⇒ q

(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为

(p→q)∧p→q(记作*2)

可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等

(p→q)∧q→p

⇔(┐p∨q) ∧q →p

⇔q →p

⇔┐p∨┐q

⇔⇔∨∨

从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.

9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数

推理的形式结构为

(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)

可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：

(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)

⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)

⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r

⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)

⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r

⇔1

10.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.

推理的形式结构为

(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)

⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)

⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)

⇔p∨(┐q∧┐r)

⇔∨∨∨

由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.

11.略

14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明

① p→(q→r)前提引入

② P前提引入

③ q→r①②假言推理

④ q前提引入

⑤ r③④假言推理

⑥ r∨s前提引入

（2）证明：

① ┐(p∧r)前提引入

② ┐q∨┐r①置换

③ r前提引入

④ ┐q ②③析取三段论

⑤ p→q前提引入

⑥ ┐p④⑤拒取式

（3）证明：