清华大学数学科学学院2015 年直博生摸底平行考试试题

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4. 设集合 G 是 Rn 中的有界开集, D 是 G 的紧致子集. 映射 F : G → Rn 是连续可微的, 且 在集合 D 中是单射, 并且 det |F′ (x)| ̸= 0, x ∈ D. 证明:
(1) d(D, ∂G)>0; (2) 存在 ε, 0 < ε < d(D, ∂G), 使得 F 在集合
Dε = {x|d(x, D) < ε}
上是单射.
5. 设函数 f (z) 是单位圆盘上的解析函数, |z| < 1 时 | f (z)| < 1, α 是满足 |α| < 1 的复数,
且 f (α) = 0. 证明 |α| < 1 时
| f (z)| ≤
z−α 1 − αz
.
注：这份试卷是考完后的第一天好友同学回忆的，感谢他们的辛劳，同时也祝贺他们在昨 天下午的初试中获得成功。之所以叫作平行考试，是由于同学说这个还不能叫直博生摸底考试， 只是在我们学校数院招生时的考试题目，清华正式的直博考试要 5 月份，只不过这个平行考试 初试过了就不用参加 5 月份的笔试了，可直接参加面试.
清华大学数学科学学院 2015 年直博生摸底平行考试试题
2609480070@qq.com 2015 年 4 月 11 日
1.
求极限
lim
n→∞
n
∑
k=0
( 1
−
k n
)n
Βιβλιοθήκη Baidu
.
2. A 是 n 阶可逆复矩阵, Am 是对角阵, m > 1. 求证: A 可对角化.
3. V 是全体 R 上的多项式构成的线性空间, 对 ∀p ∈ V, A(p) = p + p′. 求证 A 可逆.