第二章 第一节函数的概念与表示

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一、选择题

1．设集合A ＝R ，集合B ＝正实数集，则从集合A 到集合B 的映射f 只可能是( )

A ．f ：x →y ＝|x |

B ．f ：x →y ＝x

C ．f ：x →y ＝3－x

D ．f ：x →y ＝log 2(1＋|x |)

答案：C

解析：指数函数的定义域是R ，值域是(0，＋∞)，所以f 是x →y ＝3－x .

2．设f (x )＝|x －1|－|x |，则f [f (12

)]＝( ) A ．－12

B ．0 C.12

D ．1 答案：D

解析：f (12)＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪

⎪12＝0， f [f (12

)]＝f (0)＝|0－1|－|0|＝1，故选D. 3．函数f ：{1,2,3}→{1,2,3}满足f [f (x )]＝f (x )，则这样的函数个数共有( )

A ．1个

B ．4个

C ．8个

D ．10个

答案：D

解析：本题考查映射的性质．

根据映射一对一、多对一的性质，以及f [f (x )]＝f (x )的条件，可列举出来10个符合要求的函数：如等．

4．(2009·北京市东城区)设f (x )＝

⎩⎪⎨⎪⎧

2－x (0≤x ≤1)(x －2)2 (1

B.14 C ．2－62 D ．2＋62

答案：A

解析：设f －1(32)＝n ，则f (n )＝32，解方程2－n ＝32(0≤n ≤1)，得n ＝12

，函数f (x )有反函数，满足f (n )＝32的n 只有一个值(不必再解方程(n －2)2＝32

(1

⎪⎨⎪⎧

log 2x (x >0)3x (x ≤0)，则f [f (14)]的值是( ) A ．－19

B ．－9 C.19

D ．9 答案：C

解析：依题意得f (14)＝log 214＝－2，f [f (14)]＝f (－2)＝3－2＝19，选C.

6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

sin(πx 2) (－1

B ．1，－22

C ．－22

D ．1，22

答案：B

解析：当a ≥0时，f (1)＝1，f (a )＝e a －1，∴1＋e a －1＝2，∴a ＝1，当－1

f (a )＝sin(πa 2)，

∴1＋sin(πa 2)＝2，∴a 2＝12，∴a ＝－22

.故选B. 7．(2008·西南师大附中)集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－1,0,1}，从A 到B 的映射f 满足f (a )＝f (b )＋f (c )，那么这样的映射f 的个数是( )

A ．2个

B ．4个

C ．5个

D ．7个

答案：D

解析：当f (a )＝－1时，f (b )，f (c )为－1,0或0，－1，这样的映射有两个；当f (a )＝0时，f (b )，f (c )为－1,1或1，－1或0,0，这样的映射有三个；当f (a )＝1时，f (b )，f (c )为1,0或0,1，这样的映射有两个；综上所述，所求映射共7个，故选D.

8．(2009·江西五校联考)已知函数f (x )＝

⎩

⎪⎨⎪⎧

2－x －1，(x ≤0)f (x －1)，(x >0)，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )

A ．(－∞，0]

B ．[0,1)

C ．(－∞，1)

D ．[0，＋∞)

答案：C

解析：函数f (x )的图象如下图所示，从图中可知，当a ≥1时，方程f (x )＝x ＋a 只有一个根，当a <1时，满足条件，故选C.

二、填空题

9．(2008·北京海淀)已知函数f (x )＝

⎩

⎪⎨⎪⎧ －|x ＋1| (x ≤0)，x 2－1 (x >0)，那么不等式f (x )<0的解集为________． 答案：(－∞，－1)∪(－1,1)

解析：由⎩

⎪⎨⎪⎧ －|x ＋1|<0，x ≤0， 得x ≤0且x ≠－1，

由⎩

⎪⎨⎪⎧ x 2－1<0，x >0，得0

10．(2008·北京崇文)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

1 (－1

答案：－1

解析：f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，则f(x)＝－f(x＋1)＝－[－f(x＋2)]＝f(x＋2)，则f(x)的周期为2，f(3)＝f(1)＝－1，故填－1.

11．(2009·北京海淀区)已知：对于给定的q∈N*及映射f：A→B，B⊆N*.若集合C⊆A，且C中所有元素对应的象之和大于或等于q，则称C为集合A的好子集．

①对于q＝2，A＝{a，b，c}，映射f：x→1，x∈A，那么集合A的所有好子集的个数为________；

②对于给定的q

若当且仅当C中5个整数时，C为集合A的好子集．写出所有满足条件的数组(q，y，z)：________.

答案：4，(5,1,3)

解析：①依题意得集合C中的所有元素的象都是1，且要求C中的所有元素的象之和不小于2，因此集合C中的元素个数可以是2个或3个，满足题意的集合C的个数是C23＋C33＝

4.

②依题意知当C中恰好含有A中5个整数时，C为集合A的好子集，因此q≤5；当C 中仅含有A中4个整数时，C不是集合A的好子集，因此q>4.又q∈N*，于是q＝5.当C中恰好含有π和A中2个整数时，C为集合A的好子集，因此z＋y＋1≥5，z＋2≥5；当C中恰好含有π和A中1个整数时，C不是集合A的好子集，因此5>1＋z,5>y＋z,3≤z<4，又z∈N*，故z＝3，y≥1且y<2，又y∈N*，于是y＝1，所以满足条件的数组(q，y，z)＝(5,1,3)．

三、解答题

12.

如右图所示．

(1)求对应于折线OABC函数f(x)的解析表达式；

(2)若x=t与折线OABC及x轴所围成(x≤t)的部分面积为S，当t∈[0,3]时，求S与t的函数关系式，并画出图象．

图象如下图所示．