欧拉方程的求解

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欧拉方程的求解

1.引言

在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（LeonhardEuler,1707--1783）.

式”、i 表示形如2.2.1二阶齐次欧拉方程：2120x y a xy a y '''++=.（2） (其中1a ,2a 为已知常数）

我们注意到，方程（2）的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数（分别是2x 、1a x 和02a x ），且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂函数K y x =来尝试，看能否选取适当的常数K ，使得K y x =满足方程（2）.

对K y x =求一、二阶导数，并带入方程（2），得 或

212[(1)]0K K a K a x +-+=,

消去K x ，有212(1)0K a K a +-+=.（3）

定义2以K 为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程. 由此可见，只要常数K 满足特征方程（3），则幂函数K y x =就是方程（2）的解.

(i)y (ii)(iii)证明1x y =且设，2y 线约去由于1K 是特征方程（3）的二重根， 因此 或

112(1)0K a +-=,

于是，得 或

0xu u '''+=,

即()0xu ''=, 故12()ln u x c x c =+.

不妨取()ln u x x =，可得方程（2）的另一个特解

12ln K y x x =,

所以，方程（2）的通解为

1112ln K K y c x c x x =+.

（ii 1x y =又21y y （iii 1x y =和

是方程（2）的两个线性无关的实函数解. 所以，方程（2）的通解为

12cos(ln )sin(ln )x x x x y c c ααββ=+.

（其中1c ，2c 为任意常数）

例1求方程20x y xy y '''-+=的通解.

解该欧拉方程的特征方程为

(1)10K K K --+=，

即2(1)0K -=, 其根为：121K K ==, 所以原方程的通解为

12(ln )y c c x x =+.

例2即2K 即2K 1,2所以原方程的通解为

121

[cos(2ln )sin(2ln )]y c x c x x

=+.

（其中1c ，2c 为任意常数）

2.2二阶非齐次欧拉方程的求解（初等积分法）

二阶非齐次欧拉方程：212()x y a xy a y f x ++='''.（4）

（其中1a ，2a 为已知实常数，()f x 为已知实函数）

为了使方程（4）降阶为一阶线性微分方程，不妨设

1121a K K =--，212a K K =,（5）

则方程（4）变为

212122)(1()K a x y K K xy K y f x +--+='''，

即

令xy '和

由定理2知，只需要通过两个不定积分（当（7）式中的积分可积时）即可求得方程（4）的通解.为了方便计算，给出如下更直接的结论.

定理3若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则

（i ）当12K K =是方程（2）的相等的实特征根时，方程（4）的通解为

1

1

1

11[ln ()ln ()]K K K x x f x dx x x f x dx y x -----⋅=⎰⎰,

（ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的实特征根时，方程（4）的通解为

11221112

1

[()()]K K K K x x f x dx x x f x dx K K y ------=

⎰⎰,

（iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，方程（4）的通解为

证明（ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的的实特征根时， 将方程（1）的通解（7）进行分部积分，得

2

1

2

1

11[()]K K K K x x x f x dx dx

y ----=⎰⎰（y =

ii ）

所以由定理3，原方程的通解为

（其中1c ，2c 为任意常数）

例2求方程2322x x y xy y x e -+='''的通解. 解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为

2320K K -+=，

特征根为12K =，21K =， 所以由定理3，原方程的通解为 （其中1c ，2c 为任意常数）

例3求方程2cos(ln )

2x

x x y xy y -+=

'''的通解.

解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为

2220k k -+=，

(i)y (ii)(iii)2.3（9123特征方程为321123(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=.（11）

定理4设1K 是方程（11）的根，2K 是方程22122112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++= 的根，则（9）的通解为

1

2

2

1

1

2

1

1

(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰.（12）

证明根据条件1K y cx =（c 为任意常数）是方程（10）的解.