2020年高中物理竞赛-电磁学C：05恒定磁场：矢量磁位和标量磁位(共13张PPT)

求得
2 A B
2 A 0J 可见，矢量磁位 A 满足矢量泊松方程。
前述矢量磁位的积分表达式可以认为是该方程的特解——自由空间
中的解。
在无源区中，J = 0，则上式变为下述矢量拉普拉斯方程
2A 0
已知在直角坐标系中，泊松方程及拉普拉斯方程均可分解为三个坐 标分量的标量方程。因此，前述的格林函数法以及分离变量法均可用 于求解矢量磁位 A 的各个直角坐标分量所满足的标量泊松方程及拉普 拉斯方程。此外，镜像法也可适用于求解恒定磁场的边值问题。
2020高中物理竞赛
电磁学C
3. 矢量磁位与标量磁位 已知矢量磁位 A 与磁感应强度 B 的关系为 B A
矢量磁位与电位不同，它没有任何物理意义，仅是一个计算辅助量。
当电流分布未知时，必须利用边界条件求解恒定电磁场的方程。为此， 需要导出矢量磁位应该满足的微分方程。
已知 A， 0那么
A A 2 A
种磁性能称为抗磁性，如银、铜、铋、锌、铅及汞
等。
顺磁性。在正常情况下，合成磁矩不为零。由于热运动结果，宏 观的合成磁矩为零。在外加磁场的作用下，除了引起电子进动以外， 磁偶极子的磁矩方向朝着外加磁场方向转动。因此，合成磁场增强， 这种磁性能称为顺磁性。如铝、锡、镁、钨、铂及钯等。
铁磁性。内部存在“磁畴”，每个“磁畴”中磁矩方向相同， 但是各个“磁畴”的磁矩方向杂乱无章，对外不显示磁性。在外磁 场作用下，各个“磁畴”方向趋向一致，且畴界面积还会扩大，因 而产生很强的磁性。例如铁、钴、镍等。这种铁磁性媒质的磁性能 还具有非线性，且存在磁滞及剩磁现象。
零。
0
y
x
又知表面磁化电流密度
J S M en
式中en 为表面的外法线方向上单位矢。因 M ezM ，所以表面磁化电 流密度 J S 仅存在于圆柱侧壁，上下端面的磁化电流密度为零。因此
J S M en Mez er Me
z P(0,0, z)Fra Baidu bibliotek
a
显然，这种表面磁化电流在侧壁上形成环形电 流。位于 z 处宽度为dz 的环形电流为( J Sdz) ， 那么该环形电流在轴线上 z 处(z >> a)产生的磁
例 已知半径为a，长度为 l 的圆柱形磁性材料，沿轴线方向获得均匀 磁化。若磁化强度为M，试求位于圆柱轴线上距离远大于圆柱半径 P 点处由磁化电流产生的磁感应强度。
z P(0,0, z)
a
解 取圆柱坐标系，令 z 轴与圆柱轴线一致， 如图示。
由于是均匀磁化，磁化强度与坐标无关，
l
J s
因此，J M，即0 体分布的磁化电流密度为
亚铁磁性。是一种金属氧化物，磁化现象比铁磁媒质稍弱一些， 但剩磁小，且电导率很低，这类媒质称为亚铁磁媒质。例如铁氧体等。 由于其电导率很低，高频电磁波可以进入内部，产生一些可贵的特性， 使得铁氧体在微波器件中获得广泛的应用。
磁化结果产生了磁矩。为了衡量磁化程度，我们定义单位体积中 磁矩的矢量和称为磁化强度，以 M 表示，即
z dV'
A(r) 0 M (r) dV 0 M (r) en dS
4π V r r
4π S r r
S'
V' r - r'
第一项为体分布的磁化电流产生的矢量磁
r' O x
r P 位，第二项为面分布的磁化电流产生的矢 y 量磁位，因此两种磁化电流密度与磁化强
度的关系为
J M
J S M en
l
J s dz'
感应强度 dB 为
0
z
y
x
dB
ez
0a2M
2(z z)3
dz
那么侧壁上全部磁化电流在轴线上z 处产生的合成磁感应强度为
B
ez
0a2M 2
l 0
(
z
1 z
)3
dz
ez
0a2M 4
( z
1 l)2
1 z2
由于热运动的结果，这些磁偶极子的排列方向杂乱无章，合成磁矩为 零，对外不显示磁性。
当外加磁场时，在磁场力的作用下，这些带电粒子的运动方向发生变化， 甚至产生新的电流，导致各个磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为零， 这种现象称为磁化。
外加场Ba
合成场Ba+ Bs 媒 质
二次场Bs 磁 化
与极化现象不同，磁化结果使媒质中的合成磁场可能减弱或增 强，而介质极化总是导致合成电场减弱。
根据磁化过程，媒质的磁性能分为抗磁性 、顺磁性、铁磁性及亚 铁磁性等。
抗磁性。
在正常情况下，原子中的合成磁矩为零。当 外加磁场时，电子除了仍然自旋及轨道运动外， 轨道还要围绕外加磁场发生运动，这种运动方 式称为进动。
Bt
电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁场
的方向相反，导致媒质中合成磁场减弱。因此，这
式中标量 m 称为标量磁位。因 B 0 ，由上式得
2m 0
可见，标量磁位满足拉普拉斯方程。这样，根据边界条件，求解标量 磁位满足的拉普拉斯方程，可得标量磁位，然后即可求出磁感应强度。
注意，标量磁位的应用仅限于无源区。
4. 媒质磁化
电子围绕原子核旋转形成一个闭合的环形电流，这种环形电流相当于 一个磁偶极子。电子及原子核本身自旋也相当于形成磁偶极子。
N
mi
M i1 V
式中mi 为V中第 i 个磁偶极子具有的磁矩。V为物理无限小体积。
磁化后，媒质中形成新的电流，这种电流称为磁化电流。形成磁化 电流的电子仍然被束缚在原子或分子周围，所以磁化电流又称为束缚电 流。磁化电流密度以J ' 表示。利用矢量磁位与磁矩的关系，可以导出矢 量磁位与磁化强度 M 的关系为
已知磁通表达式为
Φ
B，d那S 么
S
Φ S ( A) dS
再利用斯托克斯定理，得 Φ l Adl
由此可见，利用矢量磁位 A 计算磁通十分简便。
在无源区中，因J = 0，得 B 0。可见，无源区中磁感应强度
B 是无旋的。 因此，无源区中磁感应强度 B 可以表示为一个标量场
的梯度，令
B 0m