第三章 集合

4： 设A={a,b}, B={0,1,2}，则 A×B= {（a,0）, （ a,1 ）, （ a,2 ）, （ b,0 ）, （ b,1 ）, （ b,2 ）}； B×A= {（ 0,a ）, （ 0,b ）, （ 1,a ）, （ 1,b ）, （ 2,a ）, （ 2,b ）}。
合论基础上的前景而陶醉了。
他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集 合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦。 在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家 庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算 术化了。今天，我们可以说绝对的严格已经达 到了。”然而这种自得的情绪并没能持续多久。 不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学 界。这就是1902年罗素得出的罗素悖论。罗素 构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作 为元素）的集合R。现在问R是否属于R？


5：A包含于C∧B包含于D,则A×B包含于C×D 性质5的证明和性质4类似，也采用命题演算的方法。 注意：性质5的逆命题不成立，可分以下情况讨论。 (a) 当A=B=时，显然有AC和BD成立。 (b) 当A≠且B≠时，也有AC和BD成立。证明如下：任取x∈A， 由于B≠,必存在y∈B，因此有 x∈A∧y∈B<x,y>∈A×B<x,y>∈C×Dx∈C∧y∈Dx∈C， 从而证明了AC。同理可证BD。 (c) 当A=而B≠时，有AC成立，但不一定有BD成立。 反例：令A=，B={1}，C={3}，D={4}。 (d) 当A≠而B=时，有BD成立，但不一定有AC成立。反例类 似于(c)。
集合运算定律
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证明：吸收律和双重否定律 德﹒摩根律
集合运算性质
Page 6 定理1.4 1.5
证明：定理1.4 性质(2) 证明：定理1.5 性质(8)
广义并和广义交
n个集合的并与交
例：A＝｛１，２，３｝;Ｂ＝｛２，３｝; Ｃ＝｛３｝则A、B、C的并与交？ 无穷集合的并与交 （广义）分配律：
| AUB | = | A | + | B | - | A∩B |
差集运算
定义：A和B是集合，由在A中但不在B中的 元素组成的集合，称为A和B的差集 记为： A－B 用描述法：
A－B＝｛x |(x ∈ A)∧ ┒(x ∈B)｝ 用文恩图：
例：｛2，3，5｝－｛1，3，6｝＝ ｛1，3，5｝－｛2，4，6｝＝ A是质数集合，B是奇数集合， 则A－B＝? B－A＝? A 与B不相交时 A －B=? | A－B | = | A | - | B |? | A－B | = | A | - | A∩B |（从文恩图）
幂集运算
定义：A的幂集是A的所有子集为元 素构成的集合。
记为：P（A） 用逻辑符号描述即是：
P（A）＝｛x | x A｝
例题
计算空集、一个元素的集合、 两个元素的集合、三个元素的集合、 n个元素的集合的幂集
序偶
在日常生活中，许多事物是成对出现的并具有 一定的顺序。 例如，平面直角坐标系上的坐标点，两个数的 小于关系… 为此我们引入序偶的概念
n个集合的卡氏集：由所有第一个元素取自于A1， 第二个元素取自于A2，…..，第n个元素取自于An 的n元组组成的集合
记为：A1xA2x….xAn 或
Ai
1
n
逻辑符号表示为： A1xA2x….xAn={(a1,a2,….,an) | (a1 ∈ A1)∧ (a2 ∈ A2)…. ∧ (an ∈ An)｝
集合的表示（三）
图示法（文恩图）： 矩形：表示全集U（相当于全总个体域） 用逻辑符号表示: ( x)（x∈U）是真命题。 圆形：一般的集合 点：表示元素 如：a ∈A， a A
集合之间的关系（一）
子集的关系：集合A的每个元素都是集合B的成员， 称A是B的子集。 记为A B 读作：A包含于B，或B包含A。 （注：不能读作A属于B） 用逻辑符号表示： x（x∈A￫x∈B）
自然数集合与偶数集合哪个元素的数目多？ 自然数集合与正数集合呢？
集合论的诞生
到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的 概念。他对集合所下的定义是：把若干确定 的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物 合并起来，看作一个整体，就称为一个集合， 其中各事物称为该集合的元素。人们把康托 尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提 出集合论思想的那一天定为集合论诞生日。
AUB＝｛x |(x ∈ A)V(x ∈B)｝ 用文恩图： 例：
交集运算
定义：A和B是集合，同时在A中和B中的元 素组成的集合，称为A和B的交集 记为：A ∩B 用描述法：
A∩B＝｛x |(x ∈ A)∧(x ∈B)｝ 用文恩图： 例：
A 与B不相交： A ∩B= Ø | AUB | = | A | + | B | ?从文恩图）
集合的概念
定义：一些对象组成的一个整体就是一个集 合。这些对象就是集合的元素或成员。
例如：商店里的电脑，学校里的学生，电脑 里的文件系统，实数集，实数集上的连续函 数，一些集合组成的集合…
集合的标识ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
集合：大写的斜体英文字母A，B，C来标识 特定的集合：固定的大写黑体英文字母来标识。 如：Ｎ，Ｚ，Ｒ 空集：不含任何元素的集合。用｛｝或Ø标识 集合的元素：小写的英文字母a等来标识。 对象a是集合A的元素：记为 a∈A读作a属于A 对象a不是集合A的元素：记为 a A，读作a不 属于A 。
公理化集合论的建立
集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反 对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲 品。在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他 得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃。然而集 合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认。 到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同。 数学家们为一切数学成果都可建立在集
集合之间的关系（一）
真子集的关系：
用文恩图表示： 子集的关系具有自反性和传递性：
（用逻辑符号表示）
练习
判断下列命题的真值： 1. A包含于A 2. A包含于全集U 3. 空集包含于任一集合A 4. A包含于｛A，｛A｝｝ 5. ｛A｝真包含于｛A，｛A｝｝ 6. A 的三个特殊子集： 空集，A，｛a｝, 其中a属于A
若R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属 于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属 于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身
即R属于R。这样，不论何种情况都存在矛盾。
这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论
如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩
解的余地。绝对严密的数学陷入了自相矛盾之
中。这就是数学史上的第三次数学危机。
补集运算
定义：U是全集， A是集合 ，不在A中的元素组成 的集合，称为A的补集 记为： A 用描述法： A ＝｛x | (x A) ｝＝U－A
用文恩图：
例： 1.设U是全校同学，A是全校女同学， 则A的补是? 2. U＝｛1，2，3，….｝; A=｛11,12,13,……｝ 则A的补＝? 3.全集的补集是 ? ，空集的补集是?
练习
由排列组合的知识不难证明：
如果|A|=m，|B|=n，则|A×B|=?
广义卡氏集
n元组:n个元素a1,a2,….,an组成的有序结构, 记为：(a1,a2,….,an)， 其中， a1是第一个元素， a2是第二个元素 an是第n个元素
两个n元组相等当且仅当他们的对应元素相等
广义卡氏集
危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工 作中去。1908年，策梅罗提出公理化集合论， 后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称 ZF公理系统。原本直观的集合概念被建立在严 格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现。 这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合 论。
与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的 集合论被称为朴素集合论。公理化集合论是 对朴素集合论的严格处理。它保留了朴素集 合论的有价值的成果并消除了其可能存在的 悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机。 公理化集合论的建立，标志着著名数学家希 耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾 呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的 乐园中赶出去。
第三章 集合
集合论的诞生：集合论是德国著名数学家康托尔于19世 纪 末创立的。
十七世纪数学中出现了一门新的分支：微 积分。在之后一二百年中这一崭新学科获
得了飞速发展并结出了丰硕成果。其推进
速度之快使人来不及检查和巩固它的理论
基础。
十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出 现了一场重建数学基础的运动。正是在这场 运动中，康托尔开始探讨前人从未碰过的实 数点集，这是集合论研究的开端。
序偶的定义
定义：两个具有固定次序的客体构成的（有序）组合
记为： （a,b） a称为第一个元素，b称为第二个元素。 序偶可以看作是具有确定次序的两个元素的集合
序偶相等
(a,b)=(c,d)当且仅当a=c,b=d （a,b)=(b,a)?
卡氏集（笛卡儿集，直积）
定义：A 与B的卡氏集是所有第一元素在A中， 第二元素在B中的序偶组成的集合。
2：化简 ((A∪B∪C)∩(A∪B))－((A∪(B－C))∩A)
解因为A∪B包含于A∪B∪C，A包含于 A∪(B－C)，故有 ((A∪B∪C)∩(A∪B))－((A∪(B－C))∩A)＝ (A∪B)－A＝B－A。
3： 已知（x+2,4）=（5,2x+y），求x和y。
解 由有序对相等的充要条件有x+2=5，2x+y=4， 解得x=3，y=-2。
练习
{Ø} 的基数?
集合的相等关系与子集关系
定理：A＝B当且仅当A包含于B，且B包含于A。 （两个集合相等的判定条件） 证明：
练习:证明空集是唯一的
集合的运算
主要介绍
并，交，差，补
幂 ，卡氏集
并集运算
定义：A和B是集合，由A中或B中的元素组 成的集合，称为A和B的并集 记为：AUB 用描述法：
集合之间的关系（二）
相等的关系（外延公里）：
对任何元素x，x∈A当且仅当x∈B，称A＝B （外延相等：即两个集合有相同的成员） 判断下列哪些集合是相等的：
A＝｛a,b｝；Ｂ＝ ｛b,a｝;Ｃ＝ ｛a,b,b,b,b,b｝ Ｄ＝ ｛b,a,b,a, Ø ｝
集合的基数
多重集：有元素在集合中多次出现 单重集：没有元素在集合中多次出现 集合A的基数：A中元素的个数。记为| A | 多重集的基数：是与之相等的单重集的基 数，即重复的元素个数不算。 无穷集： | A |为无穷大时 有穷集： | A |为有限时 约定： | Ø |=0
广义卡氏集
特别A1＝A2＝….＝An＝A时 它们的卡氏集记为：An
习题课
1：证明A∩E＝A。 证对任意的x，x∈A∩Ex∈A∧x∈Ex∈A(因为 x∈E是恒真命题)，所以A∩E＝A。 注意：以上证明的基本思想是：设P，Q为集合公式， 欲证P＝Q，即证PQ∧QP为真。 也就是要证对于任意的x有 x∈Px∈Q和x∈Qx∈P 成立。对于某些恒等式可以将这两个方向的推理合 到一起，就是 x∈Px∈Q。 不难看出，集合运算的规律和命题演算的某些规律 是一致的，所以命题演算的方法是证明集合恒等式 的基本方法。
集合的表示（二）
描述法（叙述法）：通过描述元素的性质来 确定集合的成员。如： A＝ ｛x|P(x) ｝ P(x)是任何一个谓词;若P(a)为 真，则说明a属于A，否则，a不属于A B=｛ x|x是偶数 ｝； C＝｛ x|x是谓词的合式公式｝ D＝｛ x|x是谓词演算的推理规则｝ E＝ ｛ (f,x)|函数f 在x处连续 ｝；P(f,x)
AxB＝｛（x,y）| (x ∈ A)∧(y ∈ B)｝
例
A＝｛a,b｝,B=｛1,2,3｝，求：
AxA＝A2， BxA, A2 xB, AxB, B 2， （AxB）2
一般的，AxB不等于BxA 一般的，卡氏集不满足结合律 但有下列性质：
定理1.7, （证明性质5 ）
定理 1.8 （page8）
练习
例如A＝{a，{b，c}，d，{{d}}}，
这里a∈A?，{b，c}∈A?，d∈A?， {{d}}∈A?，b∈A?，{d} ∈A?
b和{d}是A的元素的元素。
集合的表示（一）
枚举法（列举法）：将集合的元素全部列举 出来。用｛｝括起来，元素之间用“，”分 割。 例如：A＝｛离散数学｝； B＝｛离,散,数,学｝； C＝｛2,4,6,….2n,…｝； Ｄ＝ ｛2,4,6,…2n｝； Ｅ＝｛ Ø ｝； F＝ ｛ P规则, T规则, CP规则,US规 则,UG规则,ES规则,EG规则｝；