复合函数的求导法

ex2 (2x)cos2 x ex2 2cos x(sin x) 2ex2 cos x(x cos x sin x).
该题先用乘积，再用锁链法则.
例11已知 f ( x) (e x log 5 x)arcsin 2x, 求 y
解f ( x) (e x log 5 x)arcsin 2x (e x log 5 x)(arcsin 2x)
x 复合而成，
2
2
因而
dy dx
dy du dv du dv dx
(ln
u)u
(tanv
)v
(
1 2
x)x
1 sec2 v 1 csc x.
u
2
8
例4
已知 y
x sin x
( x 0)，求 dy .
dx
解 y xsin x esin xln x 由 y eu，u sin x ln x
( x ) x1（ R） (e x ) e x
(sin x) cos x
(cos x) sin x (tan x) sec2 x
(cot x) csc2 x
(a x ) a x ln a
(ln x) 1
x
(log a
x)
1 x ln a
( x) 1
(
1 x
)
1 x2
（ x） 1 2x
解
y lntan x,
可看作由
dx
y
ln
u，u
tan
x
复合而成，
因而 dy dy du 1 sec2 x cot x sec2 x 1
dx du dx u
sin x cos x
例3 已知 y ln tan x , 求 dy .
解
y
ln tan
x
由
y
2 dx ln u，u
tan v, v
du
dx
dy dx
(sin2x)
2 cos 2 x
(2 x)
cos
u
(2x)(sinu) (sinu)(2x)
dy du . du dx
即:是否有
dy dy du dx du dx
成立？
4
三、 复合函数的求导法则
定理：如果 u ( x)在点 x 可导，而 y f (u) 在点
例1 求y (2x3 4x 5)6的导数. 解 设 y u6 , u 2x3 4x 5, 则有
y (u6 )u (2 x3 4 x 5)x 6u5 (6 x 2 4)
12(3 x2 2)(2 x3 4x 5)5 .
7
例2 已知 y lntan x, 求 dy .
3sin2 x cos xf (sin3 x)
说明：[ f (sin3 x)] f (sin3 x)
19
例19求函数 y f n[n (sin xn )]的导数.
解 y nf n1[ n(sin xn )] f [ n(sin xn )] nf n1[ n(sin xn )] f [ n (sin xn )] n(sin xn )
由 y f (u) 在点 u 可导， lim y f (u)
u0 u
故 y f (u) ( lim 0)
u
u0
则 y f (u)u u
dy f (u)( x)
dx
lim y lim[ f (u) u u]
x0 x x0
x x
f (u) lim u lim lim u
x0 x x0 x0 x
nf n1[ n (sin xn )] f [ n (sin xn )]
n n1(sin xn ) (sin xn )
n2 f n1[ n (sin x n )] f [ n (sin xn )]
n1(sin xn ) (sin xn ) sin xn
n2 f n1[ n (sin xn )] f [ n (sin xn )]
f (u)( x).
证毕
6
推广 设 y f (u), u (v), v ( x), 则复合函数
y f {[ ( x)]}的导数为 dy dy du dv .
dx du dv dx
注意：可推广到有限次复合.
如 y sin2x， 由 y sinu 与 u 2x 复合而成.
(sin2x) (sin u)u (2x) 2cosu 2cos2x
x2 a2
18
例18 求 y f (sin3 x) 的导数( 其中 f ( x) 可导)
解 它可分解为 y f (u), u v3 ,v sinx.
y dy du dv f (u)(v3 ) (sin x) du dv dx
f (u) 3v2 cos x f (sin3 x) 3sin2 x cos x
(e x 1 )arcsin2x e x log5 x (2x)
x ln5
1 (2x)2
(e x 1 )arcsin2x 2(e x log5 x) .
x ln5
1 4x2
14
ln x x 0
例12已知
y
ln
x
ln（
x）
x0
求 y
解 y ln x ln x2，
( x2 )
５.求导法则：（注意使用条件）
f
(
x)
1 ( y)
(u v) u v;(uv) uv uv;(Cu) Cu;
( u ) v
uv uv ， v2
( 1 ) v
v v2
(v 0)
1
5.求导公式：
(sec x) secx tan x
(C ) 0
(csc x) csc x cot x
解 dy (lnsin x) 1dx(sin x) cos x cot x.
dx
sin x
sin x
例8 已知
y arcsin
1 x2 , 求
dy . dx
解 dy arcsin
1 x2
1
( 1 x2 )
dx
1 (1 x2 )
x
1 , 1 x2
0 x 1,
x 1 x2
y ( x2 ) 2 x2 x 1
x2
x2 x2 x
故 （ln x） 1 x
15
例13 已知 y 1 , 求 y x x2 1
解 变形：有理化 y x x2 1
y 1 2x 1 x
2 x2 1
x2 1
例14 已知 y x x x , 求 y
解
变形 y
x
x
x
7
x 8， 故
lim
t 0
u t
,
函数 x
f (t) 对t可导，xt
dx dt
lim
t 0
x t
,
函数x
f ( y)对y可导，xy
dx dy
lim
y0
x y
,
3
回忆 y sin2x y cos2x
(sin2x) 2cos2x
原因：y sin2x 是由 y sinu, u 2x 复合而成.
dy (sinu) cos u, du (2x) 2,
复合而成，
dy dy du eu (cos x ln x sin x )
dx du dx
x
xsin x (cos x ln x sin x ). x
注意：对幂指函数需要变形后才能进行求导，
否则无法求出.
9
例5 证明：( x ) x 1 ( R).
证 y x e ln x由 y eu，u ln x 复合而成，
n1(sin xn ) (sin xn ) cos xn xn
n3 x n1 cos x n f n1[ n (sin x n )]
f [ n (sin xn )] n1(sin xn ) (sin xn ).
20
小结
1.链式法则
dy dx
f (u)( x)， yx
yu
ux
复习
1.导数定义：f ( x) lim y lim f ( x x) f ( x)
x0 x x0
x
2.导数的几何意义：曲线上该点处切线的斜率.
3.可导的几何意义：
x 曲线 y f (x) 在（x0，f (x0 )) 存在不垂直于 轴的切线.
４.反函数的求导法则：
x ( y)，( y) 0 , y f (x)
1
, 1 x 0.
1 x 2
12
例9 已知 y ln cos(e x ), 求 dy
dx
解
dy dx
cos(e x ) cos(e x )
sin(e x ) cos(e x )
(e
x
)
e x tan( e x ).
13
例10 已知 y ex2 cos2 x，求 y
解 y (ex2 )cos2 x ex2 (cos2 x)
y
7
1
x8
.
8
16
例15 已知 y earcsin x，求 y.
解 y (earcsin x ) earcsin x (arcsin x )
earcsin x
1
( x )
1 ( x )2
earcsin x
.
2 x(1 x)
17
例16
求函数
y
sin 1
ex
的导数.
解
y
sin 1
e x (sin
(tan x) sec2 x (cot x) csc2 x
(sec x) secx tan x
(csc x) csc x cot x
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x)
1 1 x2
(arc
(e x
cot
)
x)
ex
1
1 x
2
(a x ) a x ln a
(ln x) 1
2
现在看：
函数 y f (x) 对x可导，y dy dx
lim y , x0 x
yx
函数 y f (u) 对u可导，y dy lim y , du u0 u
yu
函数 y f (t) 对t可导，y dy dt
lim
t 0
y t
,
y t
于是
函数 u
f
(t)
对t可导，ut
du dt
dy dy du eu e ln x
dx du dx
x
x
x x1. 证毕
x
例6 求y=f(x2)的导数(其中f(x)可导).
解 可分解为 y f (u), u x2 ,
y dy du f (u)(2x) 2 xf ( x 2 ). du dx
10
பைடு நூலகம்
复合函数的求导法则有三个步骤： （1）分解复合函数，分解到基本初等函数或
1 ) x
sin 1
e x
cos
1 ( 1 )
xx
1 x2
sin 1
ex
cos
1 x
.
例17 求y ln（x x2 a2）的导数
解 y
1
( x x2 a2 )
x x2 a2
1
[(x) ( x2 a2 )]
x x2 a2
1
x x2 a2
1
x x2 a2 x2 a2
u (x)可导，则复合函数 y f ( x)在点 x可导，
且其导数为 dy f (u)( x)
dx
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量
求导,乘以中间变量对自变量求导. (链式法则)
即 dy dy du dx du dx
或 yx yu ux
5
证 给x一个改变量x,则相应的有u, y
推广 yx yu uv vw wx
2.求导法则
(u v) u v (Cu) Cu
(uv) uv uv
yx yu ux
3.求导公式汇总
( u) v
uv uv v2
(v 0)
yx
1 xy
21
(C ) 0
(arccos x) 1
( x ) x（1 R）
1 x2
(sin x) cos x (cos x) sin x
简单函数为止. （2）按锁链法则进行计算. （3）把中间变量回代到原来的变量. 注意：（1）关键是分解，分解原则：各个分函数的
导数可求.
（2）熟练后这种分解可省去，即省去中间变量
（3）该法则可推广到多（有限）层复合函数，
即 yx yu uv vw wx
11
例7已知 y lnsin x，求 dy .
x
(loga x)
1 x ln a
22