MATLAB实验-最优化 数学软件与数学实验 教学课件

s.t. 3x1 + 2x2 60，
2x2 24， x1，x2 0；
2020/6/17
解： (1)、确定可行域
x2
x1 0;
x2 0;
30
x1+2x2 30
x1+2x2 =30 20
与坐标轴交点:
(0,15) (30,0)
A
3x1+2x2 60
10
3x1+2x2 =60 0
(0,30), (20,0)
x11 +x21+x31 = 40，
车间 仓库
1
2
3
1 213
2 224
x12 +x22+x32 =15，
3 342
x13 +x23+x33 =35，
需求 40 15 35
xij 0， i ＝1,2,3; j ＝1,2,3;
库存容量 50 30 10
2020/6/17
例5、连续投资10万元于4个项目。各项目投资时间 和本利情况如下：
maxZ=cx (1)
Ax=b
(2)
x0
(3)
定义1：满足约束(2)、(3)的x=(x1 , … , xn)T称为 LP问题的可行解，全部可行解的集合称为可行 域。
定义2：满足(1)的可行解称为LP问题的最优解.
2020/6/17
２、二元线性规划问题的图解法
例1: max Z= 40x1 +50x2 x1 + 2x2 30，
或
m in (或 m a x )zfTx
s.t. 2020/6/17
A x(或 ,或 )b
x i0 (i 1 ,2 ,L ,n )
三、线性规划问题的求解方法
二元线性规划问题的图解法 线性规划问题的理论解法 线性规划问题的MATLAB软件解法
2020/6/17
线性规划问题的图解法
1、两个概念
a1m+1 … a1n a2m+1 … a2n ……………
am1 … amm amm+1 … amn
B＝ [P1 … Pm] ，N =[Pm+1 … Pn]
P1 … Pm Pm+1 … Pn
定义2：基(基阵) ——若A中一个子矩阵方阵B可逆， 则矩阵B称为LP问题的一个基(基阵) 。
项目A：从第1年 到第4年每年初要投资，次年末 回收本利1.15倍。
项目B：第3年初投资，到第5年末回收本利1.25倍， 最大投资4万元。
项目C：第2年初投资，到第5年末回收本利1.40倍， 最大投资3万元。
项目D：每年初投资，每年末回收本利1.11倍。
求：如何分配投资资金使得5年末总资本最大？
11
x2
30
3x1+2x2 = 60
20
2x2 = 24
A
B
10
C
x1+2x2 = 30
D
0
10
20
x 30
1
Z=0
Z=975
来自百度文库2
例2: 求解
maxZ=40x1+ 80x2
x1+2x2 30,
s.t. 3x1+2x2 60,
2x2 24, x1 , x2 0;
最优解：BC线段 B点 : x(1)=(6,12)'
2020/6/17
线性规划问题的一般形式
max(min)Z=c1x1+ c2x2+…+cnxn
a11x1+ a12x2+…+ a1nxn (=, )b1, a21x1+ a22x2+…+ a2nxn (=, )b2,
s.t. … … …
am1x1+ am2x2+…+ amnxn (=, )bm,
xj 0(j=1,…,n);
３、线性规划问题的理论解法:
Ax=b
(1)
设线性规划的标准型 x 0
(2)
定义1：凸集：
maxZ=cx (3)
设D是n维欧氏空间的一个集合。
任意点x(1), x(2)∈D,若任一满足
.x(1)
. .x(2)
x
x= x(1)+(1-) x(2) (0
1)
2020/6/17
设 A＝
a11 … a1m a21 … a2m …………
j1
令Z' = -Z
n
max Z' cj xj j1
Z
Z
o
2020/6/17
x Z'
例5: 将以下线性规划问题 min Z = -x1+2x2 –3x3 x1+x2 +x3 7,
s.t. x1 -x2 +x3 2,
x1 , x2 0， x3为自由变量; 化为标准型。
2020/6/17
解：
① 令x3 =x4 - x5 ② 加松弛变量x6 ③加剩余变量x7 ④ 令 Z'= -Z
根。每种下料方案及剩余料头如下表所示：
2.9m 2.1m 1.5m 合计 料头
ⅠⅡⅢⅣⅤ 12010 00221 31203 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 0 0.1 0.2 0.3 0.8
问：如何下料使得剩余料头最少？
2020/6/17
解：设按第i种方案下料的原材料为xi根，则：
minZ= 0.1x2 + 0.2x3+0.3x4+0.8x5
料头 2020/6/17
0 0.1 0.2 0.3 0.8
8
例4、(运输问题)
某棉纺厂的原棉需从仓库运送到各车间。各车间原 棉需求量，单位产品从各仓库运往各车间的运输费 以及各仓库的库存容量如下表所列：
仓库 车间 1
2
3 库存容量
1
213
50
2
224
30
3
342
10
需求
40 15 35
问：如何安排运输任务使得总运费最小？
xni 称为松弛变量或剩余变量
2020/6/17
例1:
max Z= 40x1 +50x2
x1 + 2x2 30，
3x1 + 2x2 60，
s.t.
2x2 24，
x1，x2 0；
maxZ=40x1+ 50x2+0·x3 +0·x4+0·x5
x1 +2x2 +x3
=30，
s.t.
3x1 +2x2 +x4 =60，
amnxn
bm
xi 0,i 1,2, ,n
mZ ax C T x A称为约束矩阵.
2020/6/17
s.t
Ax x
0
b
CT称 为 价 值 向 量
２．化一般线性规划问题为标准形
（1）约束条件的转换：
n
aijxj bi(bi)
j1
n
aijxj
xni
n
bi(或
aijxj
xni
bi)
j1
j1
xni 0
xi 0 (i =1,…,4)；
minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4 +0x5 +0x6 +0x7
4x1 + 6x2 + x3+2x4 -x5
=12，
s.t. x1 + x2 +7x3+5x4
-x6 =14，
2x2 + x3+3x4
–x7= 8，
xi 0 (i =1,2,…,7)；
其中x 2020/6/17
5
,
x6,
x7
为剩余变量
。
(2)、变量
3x1+2x2 8,
例3:
x1 –4x2 14,
(1)
x20, x1 为自由变量;
令: x1= x1'- x1 "
3 x1' – 3 x1 " +2x2 8,
(2)
(1)
x1' – x1 " – 4x2 14,
x1' , x1" , x2 0;
2020/6/17
2020/6/17
解： 设xik( i =1,2,3,4,5; k =A,B,C,D)表示第i年初投
资第k项目的资金数。
年份
项目
12345
A x1A x2A x3A x4A
B
x3B
C
x2C
D x1D x2D x3D x4D x5D
12
2020/6/17
xik( i =1,2,…,5; k =A,B,C,D)为第i年初投k项目的
Experiments in
MathMemaatthicesmLaabtoicrastory
阮小娥博士
Matlab数学实验
2020/6/17
——最优化方法
解:设产品A, B的产量分别为变量x1 ， x2，则：
max Z= 40x1 +50x2
x1 + 2x2 30，
s.t.
3x1 + 2x2 60， 2x2 24，
9
2020/6/17
解： 设xij为i 仓库运到 j车间的原棉数量(i ＝1,2,3; j ＝1,2,3)。则
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33
x11 +x12+x13 =50， x21+x22+x23 = 30，
s.t. x31+x32+x33 = 10，
x1 + 2x2 + x4 =100，
s.t.
2x3 +2x4+ x5=100，
3x1+ x2+2x3 +3x5=100，
xi 0 (i =1,…,5)，且为整数；
ⅠⅡⅢⅣⅤ
2.9m 1 2 0 1 0 2.1m 0 0 2 2 1
1.5m 3 1 2 0 3
合计 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6
资金数.则： maxZ= 1.15x4A +1.40 x2C+1.25x3B+1.11x5D
x1A+x1D=10 x2A+x2C+x2D= 1.11 x1D x2C 3
s.t. x3A +x3B+x3D =1.15 x1A+ 1.11 x2D
x3B 4 x4A +x4D =1.15 x2A+ 1.11 x3D x5D =1.15 x3A+ 1.11 x4D xik 0, i =1,2,…,5; k =A,B,C,D;
13
2020/6/17
以上问题的特点:
1.在人力、财力、资源给定条件下，如何 合理安排任务，使得效益最高.
2.某项任务确定后，如何安排人力、财力 、物力，使之最省.
即以上问题都是在一定条件下，求线性函数 的最大值或最小值问题。这类问题称为线性 规划LP (Linear Programming) 问题。
s.t. x1 , x2 0;
x2 -x1 -x2 =1
可行域无解.
-1
0
x1
即无可行解.
-1
2020/6/17
线性规划问题的理论解法
１、 线性规划问题的标准形式
m Z c 1 x a 1 c 2 x x 2 c n x n
a11x1 a12x2 a1nxn b1
s.tam1x1
am2x2
C点: x(2)=(15,7.5)'
30
3x1+2x2 = 60
20
2x2 = 24
A
B
10
C
x1+2x2 = 30
D
0
10
20
x 30
1
Z=1200
maxZ=1200
Z=0
BC线段: 2020/6/17 x x x1 2 x11 x2 (0 1)
例３、 max Z=3x1+2x2
-x1 -x2 1,
12 14 8
每单位成本 2 5 6 8
求：最低成本的原料混合方案。
2020/6/17
解：设每单位添加剂中原料i的用量为xi(i =1,2,3,4)，则：
minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4
4x1 + 6x2 + x3+2x4 12，
s.t.
x1 + x2 +7x3+5x4 14， 2x2 + x3+3x4 8，
min Z = -x1+2x2 –3x3
x1+x2 +x3 7,
s.t. x1 -x2 +x3 2,
x1 , x2 0；
max Z'= x1 –2x2 +3x4 –3x5 x1 +x2 +x4 -x5 +x6 =7,
s.t. x1 -x2 +x4 -x5 -x7 =2,
2020/6/17
x1 , x2 , x4 , x5 , x6 , x7 0;
xi 0 (i =1,…,4)；
A B Ｃ 每单位成本
原料1 4 1 0
2
原料2 6 1 2
5
原料3 1 7 1
6
原料4 2 5 3
8
每单位添加剂中 维生素最低含量
12
2020/6/17
14 8
例3、 (资源配置问题)
有一批长度为7.4m的钢筋若干根。现有5种下料方
案，分别作成2.9m， 2.1m，1.5m的钢筋架子各100
x1，x2 0；
A B 备用资源
煤
1 2 30
劳动日 3 2 60
仓库 0 2 24
利润 40 50
2020/6/17
例2：(资源配置问题) 现有四种原料，其单位成本
和所含维生素A，B，C成分如下：
原料1 原料2 原料3 原料4 每单位添加剂中 维生素最低含量
ABＣ 4 10 6 12 1 71 2 53
2x2 +
+x5 =24， x1 , …,
x1-5 0 ；
其中x3 , x4, x5 为松弛变量 。
2020/6/17
例2： minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4
4x1 + 6x2 + x3+2x4 12，
s.t.
x1 + x2 +7x3+5x4 14， 2x2 + x3+3x4 8，
2x 24 22020/6/17
2x2 =24
3x1+2x2 = 60
B
2x2 =24
C x1+2x2 = 30
D
10
20
x 30
1
(2)、求最优解 Z=40x1+50x2 0=40x1+50x2
C点: x1+2x2 =30 3x1+2x2 =60
x* = (15,7.5)
Zmax =975
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x1+x2 5, 例4: -6 x1 10, (3)
x20;
易知: -6+6 x1+6 10+6
令: x1 ' = x1 +6, 则 0 x1' 16 x1' +x2 11,
(3)
x1 ' 16, (4)
x1' , x2 0;
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(3)、目标函数的转换
n
minZ cj xj